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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Groupement B2 Conception et industrialisation en microtechniques}
\lfoot{\small{BTS Métropole--Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Métropole~\decofourright\\[5pt]Groupement B2 (CIM) session 2006}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}
\end{center}

\medskip
\emph{A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle (E) :

\[y'' - 3 y^{\prime} - 4 y = - 5 \text{e}^{- x}\]

où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R,~y'$ la fonction dérivée de $y$ et $y''$ sa fonction dérivée seconde.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle
 
\[(\text{E}_0) ~~:\quad  y'' - 3y'- 4y = 0.\]

\item Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x)=x\text{e}^{-x}$.

Démontrer que la fonction $h$ est une solution particulière de l'équation différentielle (E).
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).
\item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle (E) qui vérifie les conditions initiales $f(0) = 2$ et $f'(0) = -1$.
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{B. Étude locale d'une fonction}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormal \Oij, de la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = (x + 2)\text{e}^{-x}.\]

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le développement limité à l'ordre 3, au voisinage de 0, de la fonction $f$ est

\[f(x) = 2 - x+\dfrac{x^3}{6}+x^3\varepsilon(x)~ \text{ avec } \lim_{x \to 0} \varepsilon(x) = 0.\]

\item Déduire du \textbf{1} une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.
\item Étudier la position relative de $\mathcal{C}$ et $T$ au voisinage du point d'abscisse $0$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1.1cm}
\begin{pspicture}(-4.1,-4.1)(4.1,4.1)
\psaxes{->}(0,0)(-4.1,-4.1)(4.1,4.1)
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-2.375}{4}{x 2 add  2.71828 x exp div}
\psgrid[subgriddiv=1,griddots=10,gridlabels=0pt,gridcolor=orange,gridwidth=1pt](-4,-4)(4,4)
\rput(-0.3,-0.3){O}
\rput(3.8,-0.4){$x$}
\rput(-0.3,3.8){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\emph{C. Calcul intégral}

\medskip

On note $I= \displaystyle\int_{0}^{0,6} f(x)\:\text{d}x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que $I = 3 - 3,6\text{e}^{-0,6}$.
\item Donner la valeur approchée arrondie à $10^{-3}$ de $I$.
\item Donner une interprétation graphique du nombre $I$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(6,1.5)
\psline{->}(0,1)(1.5,1)\psline{->}(4.5,1)(6,1)
\psframe(1.5,0.5)(4.5,1.5)
\uput[u](0.75,1){$e(t)$}\uput[u](5.25,1){$s(t)$}
\rput(3,1){Système}
\end{pspicture}
\end{center}

On considère un système (électrique ou mécanique) et on note $e(t)$ le signal d'entrée et $s(t)$ le signal de sortie. Un système du 1\up{er} ordre est un système régi par une équation différentielle du type $\left(\text{E}_{\text{D}} \right) : \quad T \dfrac{\text{d}s}{\text{d}t} + s(t) = Ke(t)$, où $T$ et $K$ sont des constantes réelles positives.

On note $E(p) = \mathcal{L}(e(t))$ et $S(p) = \mathcal{L}(s(t))$ où $\mathcal{L}$ est la transformation de Laplace.

La fonction de transfert $H$ du système est alors définie par : $H(p) = \dfrac{S(p)}{E(p)}$.

\medskip

\begin{center}\textbf{Les trois parties \primo, \secundo et \tertio peuvent être traitées de façon indépendante} \end{center}

\primo \emph{Recherche de la fonction de transfert}

\medskip

En appliquant la transformation de Laplace $\mathcal{L}$ aux deux membres de l'équation différentielle $\left(\text{E}_{\text{D}} \right)$ et en supposant que $s\left(0^+\right) = 0$ (le système est initialement au repos), montrer que :

\[H(p) = \dfrac{K}{1 + Tp}.\]

\textbf{Dans le reste de l'exercice, on prendra } \boldmath $K = T = 1$ \unboldmath

\secundo \emph{Recherche du signal de sortie dans un cas particulier}

\medskip

On suppose que le signal d'entrée est $e(t) = 2 \mathcal{U}(t - 3)$.

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] Représenter sur la feuille de copie la fonction $e$ dans un repère orthogonal pour $t$ élément de $[-1~;~6]$.
\item[\textbf{b.}] Calculer $E(p)$.
\item[\textbf{c.}] Montrer que $S(p) = 2\left(\dfrac{\text{e}^{-3p}}{p} - \dfrac{\text{e}^{-3p}}{p + 1} \right)$.
\item[\textbf{d.}] En déduire l'expression du signal de sortie $s(t) = \mathcal{L}^{-1}(S(p))$.
\end{enumerate}

\tertio \emph{On se propose dans cette question de déterminer le \og lieu de transfert \fg{} associé à la fonction de transfert $H$}

\medskip

On note j le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$ et on pose $p = \text{j}\omega$ avec $\omega \in ]0~;~+ \infty[$.

On a alors : $H(\text{j}\omega) = \dfrac{1}{1 + \text{j}\omega}$.

Dans ce qui suit, les représentations graphiques demandées sont à réaliser sur une feuille de papier millimétré avec un repère orthonormal \Ouv{ d'unité graphique 5 centimètres.

On appelle $M_{\omega}$ le point d'affixe $z = 1 + \text{j}\omega$ et $N_{\omega}$ le point d'affixe $H(\text{j}\omega)$ pour tout $\omega$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] On lit sur l'écran d'une calculatrice que les valeurs de $H(\text{j}\omega)$ pour $\omega = \dfrac{3}{4},~\omega = 1$ et $\omega = \sqrt{3}$ sont :

\[H\left(\text{j}\dfrac{3}{4}\right) = \dfrac{16}{25} - \dfrac{12}{25}\text{j}\quad ; \quad H(\text{j}) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\text{j} \quad ; \quad H\left(\text{j}\sqrt{3}\right) = \dfrac{1}{4} - \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{j}.\]

Placer sur une figure les points $M_{\omega}$ et $N_{\omega}$ pour $\omega = \dfrac{3}{4},~\omega = 1$ puis $\omega = \sqrt{3}$.
\item[\textbf{b.}] Tracer sur la figure du \tertio \textbf{a.} l'ensemble $\mathcal{E}_{1}$ décrit par le point $M_{\omega}$ lorsque $\omega$ varie dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
\item[\textbf{c.}] Quelle est la transformation complexe qui associe au point $M_{\omega}$ d'affixe 

$z = 1 + \text{j}\omega$ le point $N_{\omega}$ d'affixe $Z = \dfrac{1}{1 + \text{j}\omega}$.
\item[\textbf{d.}] Tracer l'ensemble $\mathcal{E}_{2}$ décrit par le point $N_{\omega}$
lorsque $\omega$ varie dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Formulaire}

\bigskip

On rappelle les formules suivantes sur la transformation de Laplace.

\begin{center} 
$\mathcal{L}[\mathcal{U}(t)] = \dfrac{1}{p}$ ;
\end{center} 

Plus généralement, si on note $\mathcal{L}[f(t)\mathcal{U}(t)] = F(p)$ alors,

\begin{center} 
 
$\mathcal{L}[f(t - \tau)\mathcal{U}(t - \tau)] = F(p)\text{e}^{-\tau p}$ ;

$\mathcal{L}[f(t) \text{e}^{-at} \mathcal{U}(t)] = F(p + a)$ ;

$\mathcal{L}[f'(t)\mathcal{U}(t)] = pF(p) - f\left(0^+\right)$.
\end{center} 
\end{document}