\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-text}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupement A2}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Métropole ~\decofourright\\ Groupement A2 mai 2006\footnote{Électrotechnique, Génie optique, Techniques physiques pour l'industrie et le laboratoire}}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 11 points}

\medskip

\vspace{0.5cm}
 
\textbf{Partie A}

\medskip

Une entreprise produit, en grande quantité, des appareils. Chaque appareil fabriqué peut présenter deux défauts que l'on appellera défaut $a$ et défaut
$b$.

On prélève un appareil au hasard dans la production
d'une journée.

On note $A$ l'évènement : \og l'appareil
présente le défaut $a$ \fg ~et $B$ l'évènement : \og
l'appareil présente le défaut $b$ \fg.

Les probabilités des évènements $A$ et $B$ sont $P(A)=0,03$ et $P(B)=0,02$ ; on
suppose que ces deux évènements sont indépendants.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilité de l'évènement $E_1$ : \og l'appareil présente le défaut $a$ et le défaut $b$ \fg.
\item Calculer la probabilité de l'évènement $E_2$ : \og l'appareil est défectueux, c'est-à-dire qu'il présente au moins un des deux défauts \fg.
\item Calculer la probabilité de l'évènement $E_3$ : \og l'appareil ne présente aucun défaut \fg.
\item Sachant que l'appareil est défectueux, quelle est la probabilité qu'il présente les deux défauts ?

\emph{Le résultat sera arrondi au millième.}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Dans les parties B et C, les résultats seront à arrondir au centième.}

\medskip 

\textbf{Partie B}

\medskip

Les appareils sont conditionnés par lots de
$100$ pour l'expédition aux distributeurs de pièces
détachées. On prélève au hasard un échantillon de $100$
appareils dans la production d'une journée. La production est
suffisamment importante pour que l'on assimile ce prélèvement
à un tirage avec remise de $100$ appareils.

Pour cette partie, on considère que, à chaque prélèvement, la probabilité
que l'appareil soit défectueux est $0,05$.

On considère la variable aléatoire $X_1$ qui, à tout prélèvement de $100$
appareils, associe le nombre d'appareils défectueux.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la variable aléatoire $X_1$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
		\item Donner l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X_1$.
	\end{enumerate}
\item On suppose que l'on peut approcher la loi de $X_1$ par une loi de Poisson de paramètre $\lambda$.
	\begin{enumerate}
		\item On choisit $\lambda=5$ ; justifier ce choix.
		\item En utilisant cette loi de Poisson, calculer la probabilité qu'il y ait au plus deux appareils défectueux dans un lot.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Les appareils sont aussi conditionnés par lots de $800$ pour l'expédition aux usines de montage. On prélève au hasard un lot de $800$ appareils. On considère la variable aléatoire $X_2$ qui, à tout prélèvement de $800$ appareils, associe le nombre d'appareils défectueux. On décide d'approcher la loi de la variable aléatoire $X_2$ par la loi normale de moyenne $40$ et d'écart-type $6,2.$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité qu'il y ait au plus 50 appareils défectueux dans le lot.
\item Déterminer le réel $x$ tel que $P(X_2>x)=0,01$.

En déduire, sans justification, le plus petit entier $k$ tel que la probabilité que le lot comporte plus de $k$ appareils défectueux soit inférieure à $0,01$.
\end{enumerate}

\bigskip

{\large{\textbf{Exercice 2 \hfill $9$ points}}}

\medskip
 
\textbf{Les parties A et B sont indépendantes.}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip

Soient $\alpha$ et $\beta$ deux nombres réels.

Soit $f$ une fonction périodique de période $1$, définie sur l'intervalle $[0~;~1[$ par $f(t)=\alpha t + \beta$.

On appelle $a_0$, $a_n$ et $b_n$ les coefficients de Fourier associés à la fonction $f$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $a_0=\dfrac{\alpha}{2} + \beta$.
\item Montrer que $b_n=-\dfrac{\alpha}{n\pi}$ pour tout nombre entier naturel $n$ non nul.

\medskip

On admet que $a_n=0$ pour tout entier naturel $n$ non nul.
    \item On se propose de déterminer les nombres réels $\alpha$ et $\beta$ pour que le développement $S$ en série de Fourier de la fonction $f$ soit défini pour tout nombre réel $t$ par $S(t)=\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n} \sin (2n\pi t).$
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les nombres réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $a_0=0$ et $b_n=\dfrac{1}{n}.$

En déduire l'expression de la fonction $f$.
		\item Représenter la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2~;~2]$ dans un repère orthogonal.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On veut résoudre l'équation différentielle :

\[s''(t)+ s(t)=f(t)\]

On admet que l'on obtient une bonne approximation de la fonction $s$ en remplaçant $f(t)$ par les premiers termes du développement en série de Fourier de la fonction $f$ obtenus dans la partie A, c'est-à-dire par :

\[\sin (2\pi t)+\dfrac{1}{2} \sin (4 \pi t)\]

Soit (E) l'équation différentielle :

\[s''(t)+s(t) = \sin (2\pi t)+\dfrac{1}{2} \sin (4 \pi t)\]

\begin{enumerate}
    \item Vérifier que la fonction $s_1$ définie pour tout nombre réel $t$ par :
    \[s_1(t) = \dfrac{1}{1-4\pi ^2} \sin(2\pi t) + \dfrac{1}{2(1-16\pi ^2)} \sin(4 \pi t)\] est solution de l'équation différentielle (E).
    \item Résoudre l'équation différentielle (E).
\end{enumerate}


\end{document}