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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Groupement E\\Concepteur en art et industrie céramique, Design de communication espace et volume\\Design d'espace, Design de produit}}
\rfoot{\small{13 mai 2014}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center}\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Groupement E  session 2014}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

Concepteur en art et industrie céramique

Design de communication espace et volume

Design d'espace

Design de produit

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\parbox{0.7\linewidth}{Un artisan souhaite concevoir un vase en céramique, dont la forme sera celle d'une pyramide tronquée à base triangulaire.
 
L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(\text{O}~;~\vect{\text{OI}},\: \vect{\text{OJ}},\:\vect{\text{OK}}\right)$ d'unité graphique réduite par rapport à la réalité.
 
Sur la figure donnée en annexe 1, on a déjà placé les points A, B, C et D de coordonnées :
\[ 
\text{A}(6~;~0~;~0) ; \text{B}(4~;~8~;~0) ; \text{C}(- 4~;~0~;~0) ; \text{D}(- 4~;~0~;~20).\]
 
Le triangle ABC constitue la base du vase.}\hfill
\parbox{0.28\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(3.5,6.5)
\pspolygon[linestyle=dashed](0,0)(3.2,0.4)(2.3,2.3)
\pspolygon(1.5,5.3)(3.1,5.5)(2.3,6.3)
\psline(0,0)(1.5,5.3) 
\psline(3.2,0.4)(3.1,5.5)
\psline(0,0)(3.2,0.4) 
\psline[linestyle=dashed](2.3,2.3)(2.3,6.3)
\end{pspicture}}

\begin{center}
\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}
\end{center}
 
\textbf{A. Étude de la base du vase}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{BA}}$ et $\vect{\text{BC}}$. 
		\item Montrer que $\vect{\text{BA}} \cdot \vect{\text{BC}} = 48$. 
		\item Calculer les valeurs exactes des distances BA et BC. 
		\item En déduire la valeur approchée arrondie au degré de la mesure de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$.
	\end{enumerate} 
\item En déduire que la valeur approchée de l'aire du triangle ABC, arrondie à l'unité d'aire, est $40$ unités d'aire.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{B. Représentation du vase}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que le vecteur $\vect{\textbf{BD}} \wedge  \vect{\textbf{BA}}$ a pour coordonnées : (160~;~40~;~80).
 
En déduire que le plan (ABD) a pour équation : $4x + y + 2z - 24 = 0$. 
\item On note M le point d'intersection du plan (ABD) avec l'axe (O$z$).
 
Déterminer les coordonnées de M puis placer ce point sur la figure donnée en annexe 1. 
\item Pour créer l'embouchure du vase, on réalise la section de la pyramide ABCD par le plan passant par M et parallèle au plan $(x\text{O}y)$. 

Sur la figure donnée en annexe 1, représenter la pyramide ABCD, puis la section définie précédemment. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{C. Contenance du vase}

\medskip
 
L'artisan souhaite que la contenance de son vase soit approximativement égale à un quart de litre.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que le segment [DC] est une hauteur de la pyramide ABCD. 
		\item Montrer que la valeur approchée du volume de ABCD, arrondie à l'unité, est $267$ unités de volume.
		 
(On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par $\dfrac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire de la base et $h$ la hauteur.)
	\end{enumerate} 
\item \emph{Cette question est un questionnaire à choix multiples. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous para\^{\i}t exacte. On ne demande aucune justification. La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}

\medskip
 
On admet l'égalité suivante : DM = $\dfrac{2}{5}$DA.
 
La valeur approchée, arrondie à l'unité, du volume du vase est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
17 unités de volume& 107 unités de volume& 160 unités de volume& 250 unités de volume\\ \hline
\end{tabularx} 
\item Dans la réalité, l'unité de longueur est le centimètre. Une unité de volume sur le graphique correspond donc à un cm$^3$ dans la réalité.
 
On rappelle qu'un litre correspond à 1 dm$^3$.
 
La contenance du vase étudié précédemment va-t-elle satisfaire les exigences de l'artisan ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip
 
Lors du réaménagement d'une base de loisirs, une municipalité décide d'implanter une piscine pour les jeunes enfants. La forme du bassin est dessinée en utilisant des courbes de Bézier. 

\medskip
 
Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij d'unité graphique 1~cm, on considère la courbe de Bézier $C_{1}$ définie par les points de contrôle P$_{0}(0~;~2)$ ; P$_{1}(0~;~- 6)$ ; P$_{2}(5~;~2)$ et P$_{3}(7~;~0)$.
 
Cette courbe a été tracée à l'aide d'un logiciel de géométrie dont une image d'écran est fournie à la question 3. a.
 
Elle est également tracée sur la figure donnée en annexe 2.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Placer les points P$_{0}$, P$_{1}$, P$_{2}$ et P$_{3}$ sur la figure donnée en annexe 2. 
\item Quelle(s) tangente(s) à la courbe $C_{1}$ peut-on connaître sans effectuer aucun calcul ?
 
Justifier la réponse puis tracer ces tangentes sur la figure donnée en annexe 2. 
\item On considère maintenant la courbe de Bézier $C_{2}$ définie par les points de contrôle : 

\[\text{P}_{0}(0~;~2) \quad ;\quad  \text{P}_{4}(0~;~11) \text{et \quad  P}_{3}(7~;~0).\]
 
Cette courbe est l'ensemble des points $M(t)$ tels que, pour tout $t$ de l'intervalle [0~;~1] : 

\[\vect{\text{O}M(t)} = (1 - t)^2 \vect{\text{OP}_{0}} + 2t(1 - t)\vect{\text{OP}_{4}} + t^2 \vect{\text{OP}_{3}}.\] 

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les coordonnées $x$ et $y$ des points $M(t)$ de la courbe $C_{2}$ ont pour expression : 
		
		\[x = f(t) = 7t^2 \quad \text{et}\quad  y = g(t) = - 20t^2 + 18t + 2.\]
		 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.9cm}|X|}\hline
Algèbre&Graphique\\ \hline
\vspace{-3cm}Courbe Paramétrique

\footnotesize $C_{1} :\left.\begin{array}{l c l}
x&=&- 8t^3 +  15t^2\\
y&=&- 26t^3 + 48t^2 - 24t + 2
 \end{array}\right\} \: 0 \leqslant t \leqslant 1$
 
\footnotesize $C_{2} :\left.\begin{array}{l c l}
 x &=&7t^2\\
 y&=&- 20t^2 + 18t  + 2
\end{array}\right\} \: 0 \leqslant t \leqslant 1$&\psset{unit=0.48cm}
\begin{pspicture}(-1,-2.1)(7.2,5.1)
\def\pshlabel#1{\footnotesize#1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize#1} 
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.9,-2)(7.2,3.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(7.2,3.1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=5](-1,-2.)(7.,3.)
\parametricplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue]{0}{1}{t dup mul 15 mul t 3 exp 8 mul sub  t dup  mul 48 mul 2 add t 3 exp 26 mul sub 24 t mul sub} 
\end{pspicture}\\ \hline
\end{tabularx} 
		\item On considère les fonctions $f$ et $g$ définies pour $t$ dans l'intervalle $[0~;~1]$ par : 
		
		\[f(t) = 7t^2 \quad \text{et} \quad  g(t) = - 20t^2 + 18t + 2.\]
		 
Donner une expression des fonctions dérivées $f'$ et $g'$. 
		\item Étudier les variations des fonctions $f$ et $g$.
		 
Rassembler les résultats dans un tableau unique. 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner un vecteur directeur de la tangente à la courbe $C_{2}$ en chacun des points P$_{0}$ et P$_{3}$. 
		\item Les courbes $C_{1}$ et $C_{2}$ ont-elles la même tangente au point P$_{0}$ ? au point P$_{3}$ ? 
		\item \emph{Cette question est un questionnaire à choix multiples. Une seule réponse est exacte.\\
Recopier sur la copie la réponse qui vous para\^{\i}t exacte. On ne demande aucune justification. \\
La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}
 
La courbe $C_{2}$ admet au point S, obtenu pour $t = 0,45$, une tangente de vecteur directeur: 

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline 
$\vect{\imath}$&$\vect{\jmath}$&$6,3\vect{\imath} + \vect{\jmath}$&$\np{1,4175}\vect{\imath} + 6,05\vect{\jmath}$\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{1}
\end{center} 
	\end{enumerate} 
\item Sur la figure donnée en annexe 2, placer les points P$_{4}$ et S, puis tracer les tangentes à la courbe $C_{2}$ aux points P$_{0}$, S et P$_{3}$.
 
Tracer la courbe $C_{2}$. 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 2.5}
\begin{pspicture}(13,20)
\psline(1,1)(4.5,4.5)(4.5,18)
\psline(4.5,4.5)(11.5,4.5)
\psline{->}(4.5,4.5)(5,4.5)
\psline{->}(4.5,4.5)(4.5,5.)
\psline{->}(4.5,4.5)(4.1,4.1)
\psline(2.35,2.35)(7.15,3.1)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](2.35,2.35)(7.15,3.1)(5.95,5.95)(5.95,15.95)%ABCD
\uput[l](2.35,2.35){A} \uput[ur](7.15,3.1){B} \uput[ur](5.95,5.95){C} \uput[ur](5.95,15.95){D} 
\rput(0.3,0.3){O$x$} \rput(12,4.5){O$y$} \rput(4.5,18.5){O$z$}
\uput[l](4.1,4.1){I} \uput[ur](5,4.5){J}\uput[l](4.5,5){K}
\end{pspicture}
\newpage
\textbf{ANNEXE 2 À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{2cm}

\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-3,-6.1)(11.5,13)
\def\pshlabel#1{\footnotesize#1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize#1} 
%\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-1,0)(7.2,3.1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=8]
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-2.95,-6)(11.5,13)
\parametricplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue]{0}{1}{t dup mul 15 mul t 3 exp 8 mul sub  t dup  mul 48 mul 2 add t 3 exp 26 mul sub 24 t mul sub}
\uput[u](11.3,0){$x$} \uput[r](0,12.8){$y$} 
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}