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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Groupement E\\Concepteur en art et industrie céramique, Design de communication espace et volume\\Design d'espace, Design de produit}}
\rfoot{\small{14 mai 2013}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center}\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Groupement E  session 2013}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

Concepteur en art et industrie céramique

Design de communication espace et volume

Design d'espace

Design de produit

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 11 points}

\medskip

Afin de consolider un meuble, un fabriquant souhaite concevoir une cale en la découpant dans un cube de 6 cm de côté. 

\medskip
 
L'espace est muni d'un repère orthonormal $\left(A~;~\vect{AI},~\vect{AJ} ,~\vect{AK}\right)$ d'unité graphique 1~cm.
 
Le cube à découper est représenté sur la figure donnée en annexe 1 par $ABCDEFGH$. On le découpe selon le plan (BDL), où L est le point de coordonnées $(2~;~0~;~6)$. 

Parmi les deux solides obtenus, la cale correspond à celui contenant le point A. 


\begin{center}\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}
\end{center}
 
\textbf{A. Une contrainte d'angle}

\medskip
 
Le cahier des charges demande que la mesure de l'angle $\widehat{DBL}$ soit comprise entre 65\:\degres{} et 70\:\degres.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner sans justification les coordonnées des points $A, B, D$ et $E$. 
		\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{BL}$ et $\vect{BD}$. 
		\item Montrer que $\vect{BL} \cdot  \vect{BD} = 24$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les valeurs exactes des distances $BL$ et $BD$. 
		\item En déduire la valeur approchée arrondie au degré de la mesure de l'angle $\widehat{DBL}$.
		 
La contrainte d'angle est-elle respectée ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	

\bigskip
	 
\textbf{B. Le plan de découpe}

\medskip
 
On souhaite découper le cube selon le plan $(BDL)$.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le vecteur $\vect{n}(3~;~3~;~2)$ est un vecteur normal au plan $(BDL)$. 
		\item Montrer que le plan $(BDL)$ a pour équation $3x + 3y + 2z - 18 = 0$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $M$ le point du segment $[EH]$ de coordonnées $(0~;~2~;~6)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le point $M$ appartient au plan de découpe $(BDL)$. 
		\item Placer le point $M$ sur la figure donnée en annexe 1, puis représenter sur cette figure la section du cube par le plan de découpe $(BDL)$. 
		\item On rappelle que, parmi les deux solides obtenus, la cale est celui contenant le point $A$. 
		
Combien la cale possède-t-elle de faces ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
	 
\textbf{C. Le volume de la cale}

\medskip
 
On admet que les droites $(BL), (DM)$ et $(AE)$ sont concourantes au point $S$ de coordonnées $(0~;~0~;~9)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que le volume de la pyramide $SLEM$ est 2~cm$^3$.
 
(On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par $\dfrac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire de la base et $h$ la hauteur.) 
\item \emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous paraÎt exacte. On ne demande aucune justification. La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}
 
Le volume de la cale est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
6~cm$^3$&16~cm$^3$&52~cm$^3$&72~cm$^3$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Afin d'adapter sa cale à un meuble plus grand, le fabriquant décide d'en multiplier les dimensions par deux. Quel sera alors le volume de la nouvelle cale ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}

\medskip

On veut créer une police de caractères en utilisant des courbes de Bézier.
 
Dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2cm, on considère 
la courbe de Bézier $C_{1}$ définie par les points de contrôle :
 
\[P_{0}(1~;~3); P_{1}(3~;~- 2) ; P_{2}(3~;~1) \text{et }\: P_{3}(1~;~1).\]
 
Cette courbe est tracée sur la figure donnée en annexe 2.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Placer les points $P_{0}, P_{1}, P_{2}$ et $P_{3}$ sur la figure donnée en annexe 2. 
\item Peut-on connaître, sans calcul, des tangentes à la courbe $C_{1}$ et, si oui, les nommer. 
\item On considère maintenant la courbe de Bézier $C_{2}$ définie par les points de contrôle :
 
\[P_{4}(0~;~0) ; P_{5}(1,5~;~1) \quad \text{et}\:\: P_{0}(1~;~3).\]
 
Cette courbe est l'ensemble des points $M(t)$ tels que, pour tout $t$ de l'intervalle [0~;~1] : 

\[\vect{OM(t)} = (1 - t)^2 \vect{OP_{4}} + 2t(1 - t) \vect{OP_{5}} + t^2 \vect{OP_{0}}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les coordonnées $x$ et $y$ des points $M(t)$ de la courbe $C_{2}$ ont pour expression : 
		
		\[x = f (t) = - 2t^2 + 3t\quad  \text{et} \quad  y = g(t) = t^2 + 2t.\]
		 
		\item Étudier les variations des fonctions $f$ et $g$ définies pour $t$ dans l'intervalle $[0~;~1]$ par : $f(t) = - 2t^2 + 3t$ et $g(t) = t^2 + 2t$.
		 
Rassembler les résultats dans un tableau unique.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner un vecteur directeur de la tangente à la courbe $C_{2}$ en chacun des points $P_{0}$ et $P_{4}$. 
		\item Expliquer pourquoi les courbes $C_{1}$ et $C_{2}$ n'ont pas la même tangente au point $P_{0}$. 
		\item \emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous paraÎt exacte. On ne demande aucune justification.\\ 
La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}
 
Un vecteur directeur de la tangente à la courbe $C_{2}$ au point $N$ obtenu pour $t = 0,75$ est : 
 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$\vect{\imath}$&$\vect{\jmath}$&$1,125\vect{\imath} + 2,062\vect{\jmath}$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

	\end{enumerate} 
\item Sur la figure donnée en annexe 2, placer les points $P_{4}$ et $P_{5}$, puis les tangentes à la courbe $C_{2}$ aux points $P_{0}$ et $P_{4}$.
 
Tracer la courbe $C_{2}$. 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1 À RENDRE AVEC LA COPIE }

\vspace{1.5cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-5)(6,10)
\psframe(-2.8,-2.8)(2.8,2.8)%BCGF
\psline(2.8,-2.8)(5.6,0)(5.6,5.6)(2.8,2.8)%CDHG
\psline(5.6,5.6)(0,5.6)(-2.8,2.8)%HEF
\psline[linestyle=dashed](-2.8,-2.8)(0,0)(1.8,1.8)
\psline[linestyle=dashed](-2.8,0)(5.6,0)
\psline[linestyle=dashed](0,-2.8)(0,5.6)
\psdots(1,0)(0,1)(-0.6,-0.6)(-1,4.6)(0,8.45)%JKILS
\uput[ul](0,5.6){$E$} \uput[ul](-2.8,2.8){$F$} \uput[ul](2.8,2.8){$G$} \uput[ur](5.6,5.6){$H$} 
\uput[ul](0,0){$A$} \uput[dr](-2.8,-2.8){$B$} \uput[dr](2.8,-2.8){$C$} \uput[ur](5.6,0){$D$}\uput[l](0,8.45){S}\uput[ul](-1,4.6){$L$} 
\uput[ul](-0.6,-0.6){$I$} \uput[u](1,0){$J$} \uput[l](0,1){$K$}
\psline{->}(5.6,0)(8.3,0)
\psline{->}(0,5.6)(0,9.3)
\psline{->}(-2.8,-2.8)(-4.8,-4.8)
\rput(-4.9,-4.9){$x$} \rput(8.5,0){$y$}\rput(0,9.5){$z$}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 2 À RENDRE AVEC LA COPIE }

\vspace{1.5cm}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-2.5)(4.5,4.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1.5,-2.5)(4.5,4.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2]
\parametricplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{6 t mul  t 2 exp 6 mul sub 1 add t 2 exp 24 mul 15 t mul sub t 3 exp 11 mul sub 3 add}
\uput[u](4.4,0){$x$}\uput[r](0,4.4){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{document}