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%Sujet aimablement fourni par Éric Loutoby
%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupement E : design d'espace, de produits,\\de communication espace et volume\\
concepteur en art et industrie céramique}}
\rfoot{\small{13 mai 2015}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center}{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur session 2015\\ Groupement E Design d'espace}}

\vspace{0,25cm}

{\large Les deux exercices sont indépendants}   
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

Un designer a conçu un bac à fleurs qui ornera le centre d'une place. On en donne ci-dessous
une représentation en perspective cavalière.
\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(16,6)
\uput[d](1.3,0.5){A}\uput[l](1.3,3.3){B}\uput[dr](11.5,2.6){C}
\uput[dr](11.5,-0.2){D}\uput[ul](5,5){E} \uput[ur](15.2,4.3){F}
\uput[ul](15.2,1.5){G}\uput[ul](5,2.2){O}
\uput[dr](3.1,1.35){I} \uput[d](8.3,2){J} \uput[ur](5,5.7){K} 
\uput[u](8.2,2.4){H}
\pspolygon(1.3,3.3)(11.5,2.6)(15.2,4.3)(5,5)%BCFE
\psline(1.3,0.5)(1.3,3.3)%AB
\psline(11.5,-0.2)(11.5,2.6)%DC
\psline(15.2,1.5)(15.2,4.3)%GF
\psline(5,2.2)(5,2.8)%O?
\psline[linestyle=dashed](5,2.8)(5,5)%?E
\psline(1.3,3.3)(8.2,2.4)(11.5,2.6)%BHC
\psline(5,5)(7.6,2.8)%E?
\psline[linestyle=dashed](7.6,2.8)(8.2,2.4)%?H
\psline(15.2,4.3)(9.3,2.75)%F?
\psline[linestyle=dashed](9.3,2.75)(8.2,2.4)%?H
\psline(5,2.2)(0,-0.05)%(OA)
\psline(5,2.2)(16,1.45)%(OG)
\psline(5,2.2)(5,6)%(OK)
\rput(8,-0.8){Figure 1}
\psdots(1.3,0.5)(1.3,3.3)(11.5,2.6)(11.5,-0.3)(5,5)(15.2,4.3)(15.2,1.5)(5,2.2)(3.1,1.35)(8.3,2)(5,5.7)(8.2,2.4)     	
\end{pspicture}
\end{center}

Le bac a la forme d'une pyramide dont la base est un rectangle EBCF et le sommet est H.

Le côté EB mesure 2 m, et le côté EF mesure 3 m.

Le bac est positionné sur des pieds de 80 cm de haut.

Le point H se situe à mi-hauteur et la hauteur issue de H passe par le centre du rectangle
EBCF.

\begin{center}
\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}
\end{center}


\textbf{A. Volume du bac à fleurs}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la hauteur de la pyramide, exprimée en mètres.
\item En déduire le volume de terre nécessaire pour remplir le bac, exprimé en m$^3$, puis en
litres.

(On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par $\dfrac{1}{3} \times B \times h$, où $B$ est l'aire de la base et $h$ la hauteur.)
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Surface de matériau nécessaire}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(\text{O}~;~\vect{\text{OI}}, \vect{\text{OJ}}, \vect{\text{OK}}\right)$ d'unité graphique 1~m, comme indiqué sur la figure 1 fournie en annexe.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner les coordonnées des points B, C, E et F lues sur la figure 1.
		\item On admet que le point H a pour coordonnées H(1~;~1,5~;~0,4).

Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{HE}},\: \vect{\text{HB}}$ et $\vect{\text{HF}}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les longueurs HE, HB et HF sont égales et valent chacune environ 1,85~m.
		\item Représenter sur la copie les triangles EBH et EFH à l'échelle 1/50.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les produits scalaires $\vect{\text{HE}} \cdot  \vect{\text{HB}}$ et $\vect{\text{HE}} \cdot \vect{\text{HF}}$.
		\item En déduire une valeur approchée des angles $\widehat{\text{EHB}}$ et $\widehat{\text{EHF}}$ arrondie au dixième de degré.
		\item On rappelle la formule suivante :
		
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|}\hline
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(4,2.5)
\pspolygon(0.5,0.3)(3.5,0.3)(1.8,1.75)%BCA
\uput[ul](1.8,1.75){A}\uput[l](0.5,0.3){B}\uput[r](3.5,0.3){C}
\uput[u](1.15,1.1){$c$}\uput[u](2.65,1.15){$b$}\uput[d](2,0.3){$c$}
\end{pspicture}\\
L'aire du triangle ABC est égale à $\dfrac{1}{2}bc \sin \widehat{A}$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

Déterminer l'aire de la surface de matériau nécessaire pour construire le bac (donner le
résultat en m$^2$, arrondi au dixième).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C. Représentation en perspective centrale}

\medskip

L'objectif de cette partie est de représenter le bac à fleurs en perspective centrale avec
comme plan frontal le plan (ABC). Pour ce faire, il s'agira de compléter la figure 2 de
l'annexe, où la ligne d'horizon est déjà tracée. On note \texttt{a, b, c, d, e, f, g, h, o} les images respectives des points A, B, C, D, E, F, G, H, O dans cette représentation en perspective
centrale.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note \texttt{w} le point d'intersection de la droite (\texttt{eb}) avec la ligne d'horizon.

Justifier que \texttt{w} est le point de fuite principal.
\item Compléter soigneusement la représentation en perspective centrale du bac à fleurs sur la
figure 2 de l'annexe, en laissant apparents les traits de construction ..
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

Le but de cet exercice est de représenter, en utilisant des courbes de Bézier, une lettre de
l'alphabet grec.

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij{} donné en annexe 2, on considère les
points A(0~;~1) ; B$(- 3~;~1,5)$ et C(1~;~5).

La courbe de Bézier $C_1$ définie par ces trois points de contrôle est l'ensemble des points
$M_1(t)$ tels que, pour tout $t$ de l'intervalle [0~;~1] :

\[\vect{\text{O}M_1(t)} = (1 - t)^2 \vect{\text{OA}} + 2t(1 - t) \vect{\text{OB}} + t^2 \vect{\text{OC}}.\]

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les coordonnées $x_1$ et $y_1$ des points $M_1(t)$ de cette courbe ont pour
expression : 

\[x_1 = f_1(t) = 7 t^2 - 6 t\quad  \text{et}\quad  y_1 = g_1(t) = 3 t^2 + t + 1.\]

\item Étudier les variations des fonctions $f_1$, et $g_1$ définies pour $t$ dans l'intervalle [0~;~1] par:

\[f_1(t) = 7 t^2 - 6 t\quad  \text{et}\quad  y_1 = g_1(t) = 3 t^2 + t + 1.\]

Rassembler les résultats dans un tableau unique.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle(s) tangente(s) à la courbe $C_1$ peut-on connaître sans effectuer aucun calcul ?
Justifier la réponse.
		\item \emph{Cette question est un questionnaire à choix multiples. Une seule réponse est exacte.
Recopier sur la copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne demande aucune
justification.\\
La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne
rapporte ni n'enlève de point.}
		
		\medskip
		
La courbe $C_1$ admet au point S, obtenu pour $t = \dfrac{3}{7}$, une tangente de vecteur directeur:
7
\begin{center}
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$\vect{\imath}$&$\vect{\jmath}$(-1,3)&$\vect{v}\begin{pmatrix}- 1,3\\1,98\end{pmatrix}$&$\vect{\imath} + \dfrac{25}{7}\vect{\jmath}$\\ \hline
		\end{tabularx}
\end{center}
		\item Tracer les tangentes précédentes, puis la courbe $C_1$ sur le graphique de l'annexe 2.
	\end{enumerate}
\item La courbe $C_1$ coupe l'axe des ordonnées en deux points A et A$'$. Calculer les coordonnées
de A$'$.
\item On considère la courbe de Bézier $C_2$ définie par les points O(0~;~0), D(1,5~;~0,75)  et A(0~;~1).
	
Cette courbe est l'ensemble des points $M_2(t)$ de coordonnées $x_2$ et $y_2$ tels que, pour tout réel
$t$ de l'intervalle [0~;~1],
	
\[x_2 = f_2(t) = - 3 t^2 + 3 t\quad  \text{et}\quad  y_2 = g_2( t) = - 0,5 t^2 + 1,5 t.\]
	
La courbe $C_2$ est représentée sur le graphique donné en annexe 2.
	
Les courbes $C_1$ et $C_2$ ont-elles la même tangente au point A ? Justifier la réponse.
\item Placer dans le repère de l'annexe 2 le point E$(- 1~;~5)$. Tracer le segment [EC].
	
La figure obtenue à partir de ce segment et des deux courbes $C_1$ et $C_2$ représente la lettre
grecque \og zêta \fg.
\end{enumerate}
	
\newpage
\begin{center}
	
\textbf{\large ANNEXE 1 À RENDRE AVEC LA COPIE}
	
\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(16,6)
\uput[d](1.3,0.5){A}\uput[l](1.3,3.3){B}\uput[dr](11.5,2.6){C}
\uput[dr](11.5,-0.2){D}\uput[ul](5,5){E} \uput[ur](15.2,4.3){F}
\uput[ul](15.2,1.5){G}\uput[ul](5,2.2){O}
\uput[dr](3.1,1.35){I} \uput[d](8.3,2){J} \uput[ur](5,5.7){K} 
\uput[u](8.2,2.4){H}
\pspolygon(1.3,3.3)(11.5,2.6)(15.2,4.3)(5,5)%BCFE
\psline(1.3,0.5)(1.3,3.3)%AB
\psline(11.5,-0.2)(11.5,2.6)%DC
\psline(15.2,1.5)(15.2,4.3)%GF
\psline(5,2.2)(5,2.8)%O?
\psline[linestyle=dashed](5,2.8)(5,5)%?E
\psline(1.3,3.3)(8.2,2.4)(11.5,2.6)%BHC
\psline(5,5)(7.6,2.8)%E?
\psline[linestyle=dashed](7.6,2.8)(8.2,2.4)%?H
\psline(15.2,4.3)(9.3,2.75)%F?
\psline[linestyle=dashed](9.3,2.75)(8.2,2.4)%?H
\psline(5,2.2)(0,-0.05)%(OA)
\psline(5,2.2)(16,1.45)%(OG)
\psline(5,2.2)(5,6)%(OK)
\rput(8,-0.8){Figure 1}
\psdots(1.3,0.5)(1.3,3.3)(11.5,2.6)(11.5,-0.3)(5,5)(15.2,4.3)(15.2,1.5)(5,2.2)(3.1,1.35)(8.3,2)(5,5.7)(8.2,2.4)     	
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{1.5cm}

\newpage

\textbf{\large ANNEXE 2 À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{1cm}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture*}(-3.5,-0.5)(3.1,5.5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,griddots=8,subgriddots=8](-3.5,-0.5)(3,5.5)
\psaxes(0,0)(-3.5,-0.5)(3,5.5)
\psdots(1.5,0.75)
\uput[r](1.5,0.75){D}
\rput(0.9,0.3){$C_2$}\uput[dl](0,0){O}
\parametricplot[plotpoints=100,linewidth=1.25pt]{0}{1}{3 t mul t dup mul 3 mul sub 1.5 t mul t dup mul 0.5 mul sub}
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{document}