%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}  
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Sujet aimablement fourni par Éric Loutoby
%Tapuscrit : Denis Vergès 
\usepackage{pst-plot,pst-text,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-2cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {BTS groupement E},
pdftitle = {12 mai 2016 Design d'espace},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH
}  
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupement E : design d'espace, de produits,\\de communication espace et volume\\
concepteur en art et industrie céramique}}
\rfoot{\small{12 mai 2016}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center}{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur 12 mai 2016\\ Groupement E Design d'espace}}

\vspace{0,25cm}

{\large Les deux exercices sont indépendants}   
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

Un designer a conçu un petit flacon de cosmétiques, qu'il s'agit de détailler et d'observer.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.7,5.2)
%\psgrid
\pspolygon(0.35,3.8)(3.4,3.3)(5.1,4.4)(2.05,4.9)%haut
\pspolygon(3.4,3.3)(4.6,2.6)(5.45,3.15)(5.1,4.4)
\psline(4.6,2.6)(4.6,1)(5.45,1.5)(5.45,3.15)
\psline(4.6,1)(3.5,0)(5.1,1)(5.5,1.5)
\psline(3.4,3.3)(2.3,2.35)(2.3,0.65)(3.5,0)
\psline(2.3,2.35)(0.8,2.6)(0.35,3.8)(0,3.4)(0,1.8)(0.4,0.5)(0.8,0.9)(0.8,2.6)
\psline(2.3,0.65)(0.8,0.9)(0.4,0.5)(3.5,0)
\scalebox{1}[0.3]{\psarc[linewidth=1.25pt](2.75,13.6){0.55}{180}{0}}%
\scalebox{1}[0.3]{\psarc[linewidth=1.25pt](2.75,14.6){0.55}{180}{0}}%
\scalebox{1}[0.3]{\psarc[linewidth=1.25pt](2.75,14.6){0.55}{0}{180}}%
\psline(2.2,4.1)(2.2,4.4)\psline(3.3,4.1)(3.3,4.4)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On considère, sur la figure 1 ci-dessous, une pyramide régulière de sommet S et de base
carrée MNPQ de côté $a$.

La hauteur de cette pyramide est SH = $\dfrac{a}{2}$,  H étant le centre du carré MNPQ et donc le
projeté orthogonal de S sur MNPQ. On note I le milieu du segment [MN].

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9.6,4.8)
\pspolygon(0.8,1.9)(5.8,0.7)(9,2.5)(4.9,4.5)%MNPS
\psline[linestyle=dashed](0.8,1.9)(4,3.7)(9,2.5)%MQP
\psline[linestyle=dashed](0.8,1.9)(9,2.5)%MP
\psline[linestyle=dashed](5.8,0.7)(4,3.7)%QN
\psline[linestyle=dashed](4.9,2.2)(4.9,4.5)%HS
\psline[linestyle=dashed](4.9,4.5)(4,3.7)%QS
\psline(4.9,4.5)(5.8,0.7)
\uput[l](0.8,1.9){M} \uput[d](5.8,0.7){N} \uput[r](9,2.5){P}  \uput[u](4.9,4.5){S} \uput[dl](4.2,3.7){Q} \uput[dl](4.9,2.2){H}\uput[ur](3.3,1.3){I}
\psdots(3.3,1.3) 
\rput(4.8,0){Figure 1}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la mesure de l'angle $\widehat{\text{SIH}}$ est 45\degres.
		\item Calculer, en fonction de $a$, la hauteur SI du triangle SMN.
		
En déduire la longueur SN.
		\item Montrer que le volume $V$ de la pyramide SMNPQ est $V = \dfrac{a^3}{6}$.

(On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par $\dfrac{1}{3} \times B \times h$, où $B$ est l'aire de la base et $h$ la hauteur.)
	\end{enumerate}
\item On tronque cette pyramide à mi-hauteur. On obtient ainsi la pyramide tronquée
représentée sur la figure 2.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9.6,4.8)
%\psgrid
\psline(0.8,1.9)(5.8,0.7)(9,2.5)%MNPS
\psline[linestyle=dashed](0.8,1.9)(4,3.7)(9,2.5)%MQP
\pspolygon(2.8,3.2)(5.4,2.6)(7,3.45)(4.4,4.15)%haut
\psline[linestyle=dashed](4.4,4.15)(4,3.7)%
%\psline(4.9,4.5)(5.8,0.7)
\psline(0.8,1.9)(2.8,3.2)
\psline(9,2.5)(7,3.45)
\psline(5.8,0.7)(5.4,2.6)
\psdots(3.3,1.3)\uput[ur](3.3,1.3){I}
\uput[l](0.8,1.9){M} \uput[d](5.8,0.7){N} \uput[r](9,2.5){P}   \uput[ul](4,3.7){Q} 
\rput(4.8,0){Figure 2}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip
	\begin{enumerate}
		\item Quel est, en fonction de $a$, le volume de la pyramide que l'on enlève ?
		
En déduire le volume de la pyramide tronquée.
		\item L'objectif de cette question est de représenter cette pyramide tronquée en perspective
centrale.

On note \texttt{m, n, p, q, s} et \texttt{h} les images respectives des points M, N, P, Q, S et H dans cette représentation et \texttt{w} le point de fuite principal ; la droite \texttt{(sh)} étant parallèle au plan frontal.

Compléter soigneusement la représentation en perspective centrale de la pyramide
tronquée sur la figure de l'annexe 1. 

On laissera apparaître les traits de construction et on fera ressortir les arrêtes visibles de la pyramide tronquée.
	\end{enumerate}
\item Pour obtenir le solide représenté ci-dessous en figure 3, on considère un cube d'arête $a$.
Sur chacune des quatre faces latérales de ce cube, on ajoute une pyramide tronquée
identique à celle de la figure 2.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}

\begin{pspicture}(11.5,10)
%\psgrid
\rput{180}(11,10){\pspolygon(0,6.5)(1.6,7.6)(3.9,9.6)(0.6,7.4)
\psline(0,6.5)(0.3,3.1)(1.8,4.3)(1.6,7.6)
\psline(0.3,3.1)(1.1,0.7)(4.3,3.1)(1.8,4.3)
\psline(1.1,0.7)(7.3,0)(10.5,2.4)(4.3,3.1)
\psline(10.5,2.4)(9.7,4.7)(6.6,5.1)(4.3,3.1)
\psline(9.7,4.7)(9.4,8)(6.3,8.4)(6.6,5.1)
\psline(10.5,2.4)(11.1,3.2)(10.9,6.6)(10,9)(9.4,8)(9.7,4.7)
\psline(6.3,8.4)(3.9,9.6)(10,9)
\pspolygon(4.3,3.1)(10.5,2.4)(10,9)(3.9,9.6)
\psline[linestyle=dashed](1.1,0.7)(1.7,1.5)(4.8,1.2)(7.3,0)(6.85,6.55)(9.3,5.3)(9.6,2.05)(7.3,0)
\psline[linestyle=dashed](9.6,2.05)(11.1,3.2)
\psline[linestyle=dashed](9.3,5.3)(10.9,6.6)
\psline[linestyle=dashed](4.8,1.2)(4.6,4.6)(1.5,4.8)(1.7,1.5)
\psline[linestyle=dashed](1.5,4.8)(0.6,7.4)(6.85,6.55)(10,9)
\psline[linestyle=dashed](4.6,4.6)(6.85,6.55)
\psline[linestyle=dashed](1.1,0.7)(0.6,7.4)}
\rput(5.75,-0.3){Figure 3}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le volume de ce flacon vaut $\dfrac{19}{12} a^3$. 
		\item On considère les milieux T, I et V des segments figurés en annexe 2. On admet que les
points T, I, V appartiennent au plan médiateur du segment [MN].

Justifier que les points T, I et V sont alignés. On fera figurer sur l'annexe 2 les traits de
construction illustrant le raisonnement.
		\item En déduire le nombre, la nature et les dimensions des faces qui délimitent finalement le
flacon (sans son bouchon).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\og Relax'vague \fg, nouvelle chaîne française de spas, fait appel à un designer pour la
conception d'un logo en forme de vague. Pour y parvenir, ce designer va utiliser deux
courbes de Bézier, $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$.

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij{} donné en annexe 3, on considère les
points P$_0(5~;~3) ; \text{P}_1(3~;~0)$ et P$_2(8~;~0)$.

La courbe de Bézier $\mathcal{C}_1$ définie par ces trois points de contrôle est l'ensemble des points
$M_1(t)$ tels que, pour tout $t$ de l'intervalle [0~;~1] :

\[\vect{\text{O}M_1}(t) = (1 - t)^2 \vect{\text{OP}_0} + 2t(1 - t) \vect{\text{OP}_1} + t^2 \vect{\text{OP}_2}.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points P$_0(5~;~3) ; \text{P}_1(3~;~0)$ et P$_2(8~;~0)$ sur la figure fournie en annexe 3.
		\item En quels points de la courbe $\mathcal{C}_1$ peut-on connaître sans calcul les tangentes ?
		
Justifier la réponse et préciser ces tangentes.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que les coordonnées $x_1$ et $y_1$ des points $M_1(t)$ de la courbe $\mathcal{C}_1$ ont pour expression : 

\[x_1 = f_1(t) = 7 t^2 - 4 t + 5\quad  \text{et}\quad  y_1 = g_1(t) = 3 t^2 - 6 t + 3.\]

\item Étudier les variations des fonctions $f_1$ et $g_1$ définies pour $t$ dans l'intervalle [0~;~1] par:

\[f_1(t) = 7 t^2 - 4 t + 5 \quad  \text{et}\quad g_1(t) = 3 t^2 - 6 t + 3.\]

Rassembler les résultats dans un tableau unique.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Donner un vecteur directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_1$ au point S obtenu pour $t = \dfrac{2}{7}$.
		\item Sur la figure donnée en annexe 3, faire apparaître les tangentes à la courbe $\mathcal{C}_1$ aux points obtenus pour $t = 0,\: t = 3$ et $t = 1$, puis tracer la courbe $\mathcal{C}_1$.
	\end{enumerate}
\item La courbe de Bézier $\mathcal{C}_2$ est définie par les points de contrôle O(0~;~0) ; P$_1$ ; P$_3(3~;~5)$ et P$_0$.

On montre que la courbe $\mathcal{C}_2$ est l'ensemble des points $M_2(t)$ du plan tels que, pour tout $t$ de l'intervalle [0~;~1], les coordonnées $x_2$ et $y_2$ de $M_2(t)$ sont données par :

\[x_2(t) = f_2(t)\quad  \text{et}\quad  y_2(t) = g_2(t)\]

où $f_2$ et $g_2$ sont deux fonctions dont les variations sont données par le tableau suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,5.5)
%\psgrid
\psframe(7,5.6)
\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(0,4.5)(7,4.5)\psline(0,5)(7,5)
\psline(1,0)(1,5.6)
\uput[u](0.5,4.9){$t$}\uput[u](1.15,4.9){$0$}\uput[u](4,4.9){$\frac{5}{6}$}\uput[u](6.85,4.9){$1$} 
\uput[u](0.5,4.4){$f_2'(t)$}\uput[u](4,4.4){$4,4$}\uput[u](2.5,4.4){$+$}\uput[u](6.85,4.4){$6$}\uput[u](1.15,4.4){$9$}\uput[u](5.5,4.4){$+$}
\uput[u](0.5,1.9){$g_2'(t)$}\uput[u](4,1.9){$0$}\uput[u](2.5,1.9){$+$}\uput[u](6.75,1.9){$- 6$}\uput[u](1.15,1.9){$0$}\uput[u](5.5,1.9){$-$}
\rput(4,3.5){4,1}
\rput(0.5,3.5){$f_2(t)$}\rput(0.5,1){$g_2(t)$}
\uput[u](1.15,2.5){0}\uput[d](6.85,4.5){5}
\uput[u](1.15,0){0}\uput[d](4,2){3,5} \uput[u](6.85,0){3}
\psline{->}(1.5,3)(3.5,3.4)\psline{->}(4.5,3.6)(6.5,4)
\psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5)\psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5)
%\psline{->}(1.5,3)(6.5,4)
\end{pspicture}
\end{center}

La courbe $\mathcal{C}_2$ est représentée en annexe 3. Il est inutile de déterminer les expressions de $f_2(t)$ et $g_2(t)$.
	\begin{enumerate}
		\item Les courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ ont-elles la même tangente au point P$_0$ ? Justifier.
		\item \emph{Cette question est un questionnaire à choix multiples. Une seule réponse est exacte.
Recopier sur la copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne demande aucune
justification.\\
La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne
rapporte ni n'enlève de point.}

La courbe $\mathcal{C}_2$ admet au point obtenu pour $t = \dfrac{5}{6}$, une tangente de vecteur directeur:

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$\vect{\imath}$&$\vect{\imath}$&$4,1\vect{\imath} + 3,5\vect{\jmath}$&$4,4\vect{\imath} + 4,1\vect{\jmath}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}

\textbf{\large ANNEXE 1 À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{1cm}

\psset{unit=0.65cm}
\begin{pspicture}(16.2,17.5)
%\psgrid
\psline(0,16.9)(16,16.9)
\psline(16,6)(3.1,6)(5.3,10.6)%(7.5,15.2)(9.7,19.8)
\psdots(9.2,13.7)(8.32,16.9)
\uput[u](8.38,16.9){$\omega$}
\uput[d](16,6){\texttt{n}}\uput[d](3.1,6){\texttt{m}}
\uput[ul](5.3,10.6){\texttt{q}}\uput[u](9.2,13.7){\texttt{s}}
\end{pspicture}


\newpage

\textbf{\large ANNEXE 2 À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{3cm}

\psset{unit=0.8cm}

\begin{pspicture}(11.5,10)
%\psgrid
\rput{180}(11,10){\pspolygon(0,6.5)(1.6,7.6)(3.9,9.6)(0.6,7.4)
\psline(0,6.5)(0.3,3.1)(1.8,4.3)(1.6,7.6)
\psline(0.3,3.1)(1.1,0.7)(4.3,3.1)(1.8,4.3)
\psline(1.1,0.7)(7.3,0)(10.5,2.4)(4.3,3.1)
\psline(10.5,2.4)(9.7,4.7)(6.6,5.1)(4.3,3.1)
\psline(9.7,4.7)(9.4,8)(6.3,8.4)(6.6,5.1)
\psline(10.5,2.4)(11.1,3.2)(10.9,6.6)(10,9)(9.4,8)(9.7,4.7)
\psline(6.3,8.4)(3.9,9.6)(10,9)
\pspolygon(4.3,3.1)(10.5,2.4)(10,9)(3.9,9.6)
\psline[linestyle=dashed](1.1,0.7)(1.7,1.5)(4.8,1.2)(7.3,0)(6.85,6.55)(9.3,5.3)(9.6,2.05)(7.3,0)
\psline[linestyle=dashed](9.6,2.05)(11.1,3.2)
\psline[linestyle=dashed](9.3,5.3)(10.9,6.6)
\psline[linestyle=dashed](4.8,1.2)(4.6,4.6)(1.5,4.8)(1.7,1.5)
\psline[linestyle=dashed](1.5,4.8)(0.6,7.4)(6.85,6.55)(10,9)
\psline[linestyle=dashed](4.6,4.6)(6.85,6.55)
\psline[linestyle=dashed](1.1,0.7)(0.6,7.4)
}
%\rput(5.75,-0.3){Figure 3}
\uput[u](6.8,6.9){N}
\uput[dl](4.55,3.3){T} \uput[l](6.9,3.6){I} \uput[l](9.3,4.05){V}
\psdots(6.7,6.9)(4.55,3.3)(6.9,3.6)(9.3,4.05)\uput[d](7,0.5){M}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage
\begin{center}

\textbf{\large ANNEXE 3 À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{3cm}

\psset{unit=1.25cm}

\begin{pspicture*}(-0.75,-0.75)(8.5,5.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,griddots=5,subgriddots=5](9,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(8.5,5.5)
\parametricplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{1}{t 3 exp 5 mul t dup mul 9 mul  sub 9 t mul add   t dup mul 15 mul t 3 exp 12 mul sub}%f_2(t)=5t^3 - 9t^2 + 9t ; g_2(t)=15t^2 - 12t^3
\uput[dl](0,0){O}\uput[ul](1,0.4){\blue $\mathcal{C}_2$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}