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%Tapuscrit : Denis Vergès 
%Relecture : François Hache
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {BTS groupement E},
pdftitle = {14 mai 2018 Concepteur en art et industrie céramique,Design de communication espace et volume, Design d'espace, Design de produits},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\footnotesize{Groupement E : Concepteur en art et industrie céramique,\\Design de communication espace et volume,\\ Design d'espace, design de produits}}
\rfoot{\small{14 mai 2018}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur 14 mai 2018 Groupement E~\decofourright}}

\vspace{0,25cm}

Le sujet contient deux annexes à rendre avec la copie

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 10 points}

\vspace{0,5cm}

Le but de cet exercice est d'étudier le pied de parasol représenté ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(6,5.5)
\pspolygon(1.8,5.2)(0.9,4.6)(3.8,5.2)%EMN
\psline(0.9,4.6)(0,0)(5.8,1.2)(3.8,5.2)%MBDN
\psline[linestyle=dashed](1.8,5.2)(1.8,1.2)(0,0)%EAB
\psline[linestyle=dashed](1.8,1.2)(5.8,1.2)%AD
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{center}
\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}
\end{center}

\textbf{A. Volume du pied de parasol}

\medskip

On considère le cube ABCDEFGH d'arête 20~cm. Soit M le milieu de [FE].

Pour réaliser le pied de parasol, on coupe le cube par le plan (BMD). On note S l'intersection de la droite (AE) avec le plan (BMD) et N le point d'intersection de la droite (EH) avec le plan (BMD). On admet que N est le milieu de [EH].

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(6,9.5)
\psframe(4,4)%BCGF
\psline(4,0)(5.8,1.2)(5.8,5.2)(4,4)%CDHG
\psline(5.8,5.2)(1.8,5.2)(0,4)%HEF
\psline[linestyle=dashed](1.8,1.2)(1.8,9.2)%AS
\pspolygon(1.8,9.2)(0.9,4.6)(3.8,5.2)%SMN
\psline[linestyle=dashed](0.9,4.6)(0,0)(5.8,1.2)(3.8,5.2)%MBDN
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.8,1.2)(5.8,1.2)%BAD
\uput[u](1.8,9.2){S} \uput[ul](1.8,1.2){A} \uput[dl](0,0){B} \uput[dr](4,0){C} 
\uput[r](5.8,1.2){D} \uput[ur](1.8,5.2){E} \uput[l](0,4){F} \uput[dl](4,4){G} 
\uput[ur](5.8,5.2){H} \uput[ul](0.9,4.6){M} \uput[ur](3.8,5.2){N} 
\psdots(4,4)(4,0)(5.8,1.2)(5.8,5.2)(5.8,5.2)(1.8,5.2)(0,4)(0.9,4.6)(3.8,5.2)(0,0)(1.8,1.2)(1.8,9.2)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On se place dans le triangle ABS. Justifier que SA = 40 cm.
\item On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par $\dfrac{1}{3} \times   B \times h$, où $B$ est l'aire de la
base et $h$ la hauteur.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le volume $V$ de la pyramide SABD.
		\item Calculer le volume $V'$ de la pyramide SEMN.
		\item En déduire le volume du pied de parasol.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
		
\bigskip
		
\bigskip
		
\textbf{B. Aire d'un carreau de faïence}
		
\medskip
		
Le pied de parasol est orné d'un carreau de faïence représenté par le triangle hachuré sur la figure ci-dessous. Le but de cette partie est de calculer l'aire de ce triangle.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-0.7,-0.7)(6,6.5)
%\psframe(4,4)%BCGF
%\psline(4,0)(5.8,1.2)(5.8,5.2)(4,4)%CDHG
%\psline(5.8,5.2)(1.8,5.2)(0,4)%HEF
%\psline[linestyle=dashed](1.8,1.2)(1.8,9.2)%AS
%\pspolygon(1.8,9.2)(0.9,4.6)(3.8,5.2)%SMN
\pspolygon(1.8,5.2)(0.9,4.6)(0,0)(5.8,1.2)(3.8,5.2)(1.8,5.2)(0.9,4.6)(3.8,5.2)%EMBDNEMN
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.8,1.2)(5.8,1.2)%BAD
\psline[linestyle=dashed](1.8,1.2)(1.8,5.2)%AE
\psline{->}(0,0)(-0.9,-0.6)%Bx
\psline{->}(5.8,1.2)(6.8,1.2)%Dy
\psline{->}(1.8,5.2)(1.8,6.2)%Ez
\uput[u](-0.9,-0.6){$x$}\uput[r](6.8,1.2){$y$}\uput[u](1.8,6.2){$z$}
\pspolygon[fillstyle=vlines](5.8,1.2)(3.8,5.2)(0.45,2.3)%DNQ 
\uput[ul](1.8,1.2){A} \uput[d](0,0){B} 
\uput[ur](5.8,1.2){D} \uput[ur](1.8,5.2){E}   
\uput[ul](0.9,4.6){M} \uput[ur](3.8,5.2){N}\uput[l](0.45,2.3){Q} 
\psdots(5.8,1.2)(1.8,5.2)(0.9,4.6)(3.8,5.2)(0,0)(1.8,1.2)(0.45,2.3)
\end{pspicture}
\end{center}

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AI}},~\vect{\text{AJ}},~\vect{\text{AK}}\right)$ d'unité graphique 1 cm tel que 

$\vect{\text{AI}} = \dfrac{1}{20}\vect{\text{AB}}$,\: $\vect{\text{AJ}} = \dfrac{1}{20}\vect{\text{AD}}$ et $\vect{\text{AK}} = \dfrac{1}{20}\vect{\text{AE}}$

\smallskip

Ainsi les coordonnées du point B dans ce repère sont : B(20~;~0~;~0).
		
\medskip
		
\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées des points M, N et D dans ce repère,
\item Soit Q le milieu de [MB], Déterminer les coordonnées du point Q.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte des longueurs QN et QD.
		\item Calculer le produit scalaire $\vect{\text{QN}} \cdot \vect{\text{QD}}$.
		\item En déduire la valeur approchée de l'angle $\widehat{\text{NQD}}$ arrondie au dixième de degré.
 	\end{enumerate}
\item On rappelle la formule suivante.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,3)
\pspolygon(0.5,0.5)(4.5,0.5)(2,2.5)%BCA
\uput[l](0.5,0.5){B}\uput[r](4.5,0.5){C}\uput[u](2,2.5){A}
\uput[d](2.5,0.5){$a$}\uput[ur](3.25,1.5){$b$}\uput[ul](1.25,1.5){$c$}
\end{pspicture}

L'aire $\mathcal{A}$ du triangle ABC est donnée par : $\mathcal{A} = \dfrac{1}{2} bc \sin \widehat{\text{A}}$
\end{center}

En utilisant l'arrondi précédent, déterminer l'aire du triangle NQD (arrondir le résultat à l'unité).

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C. Représentation en perspective}

\medskip

La représentation en perspective centrale du cube et du pied de parasol est commencée en
annexe 1. Trois arêtes y sont représentées, ainsi que la ligne d'horizon avec comme plan
frontal le plan (BCF). On note \texttt{a}, \texttt{b}, \texttt{c}, \texttt{d}, \texttt{e}, \texttt{f}, \texttt{g}, \texttt{h}, \texttt{m} et \texttt{n} les images respectives des points A, B, C, D, E, F, G, H, M, N dans cette représentation en perspective centrale.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter soigneusement la représentation en perspective centrale en annexe 1, en
laissant apparents les traits de construction, Repasser en couleur les arêtes du pied de
parasol.
\item  Comment s'appelle le point d'intersection de la droite (\texttt{ef}) et de la ligne d'horizon ?
Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 10 points}

\bigskip

Une des applications importantes des courbes de Bézier concerne la typographie et
notamment les polices de caractère. Le but de cet exercice est de modéliser un caractère
particulier en utilisant trois courbes de Bézier $\mathcal{C}_1$,\: $\mathcal{C}_2$,\: $\mathcal{C}_3$ et une symétrie axiale.

\bigskip

Dans tout l'exercice, le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij. Une représentation
du plan est fournie en annexe 2 sur laquelle les courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_3$ sont déjà tracées.

\bigskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Étude de la courbe } \boldmath $\mathcal{C}_1$\unboldmath

\medskip

La courbe $\mathcal{C}_1$, tracée sur l'annexe 2, est une courbe de Bézier à trois points de contrôle A, B et C de telle sorte que :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item les coordonnées de A et C sont A(2~;~0) et C(1~;~3) ;
\item la tangente en A à $\mathcal{C}_1$ est la droite d'équation $y = 2 - x$ ;
\item la tangente en C est verticale.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\emph{Cette question est un questionnaire à choix multiples. Une seule réponse est exacte.\\
Recopier sur la copie la réponse qui vous peraît exacte. On ne demande aucune justification.\\
La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne
rapporte ni n'enlève de point.}

\medskip

Les coordonnées du point B sont:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
(0~;~2)&(1~;~0)&(1~;~1)&(1~;~2)\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item  \textbf{Tracé de la courbe }\boldmath $\mathcal{C}_2$\unboldmath

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Placer sur le graphique de l'annexe 2 les points C(1~;~3) ; D(4~;~1) et E(6~;~3).
		
La courbe de Bézier $\mathcal{C}_2$, définie par les trois points de contrôle C, D et E, est l'ensemble des points $M(t)$ du plan tels que pour tout $t$ de l'intervalle [0~;~1] :

\[\vect{\text{O}M(t)} = (1 - t)^2 \vect{\text{OC}} + 2t(1 - t) \vect{\text{OD}} + t^2 \vect{\text{OE}}.\]

		\item En quels points de la courbe $\mathcal{C}_2$ peut-on connaître sans calcul la (les) tangente(s) ?
		
Tracer ces tangentes sur la figure en annexe 2.
		\item Démontrer que les coordonnées $x$ et $y$ des points $M(t)$ de la courbe 
		$\mathcal{C}_2$ ont pour expression :
		
\[x = f(t) = - t^2 + 6 t + 1 \quad \text{et}\quad  y = g(t) = 4 t^2 - 4 t + 3.\]

		\item Étudier les variations des fonctions $f$ et $g$ définies pour $t$ dans l'intervalle [0~;~1] par:
		
\[f(t) = - t^2 + 6 t + 1 \quad \text{ et } \quad  g(t) = 4 t^2 - 4 t + 3.\]

Rassembler les résultats dans un tableau unique.
		\item Donner un vecteur directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_2$ au point S obtenu pour $t= \dfrac{1}{2}$.

		\item Placer le point S, tracer la tangente à $\mathcal{C}_2$ en S puis tracer $\mathcal{C}_2$ sur l'annexe 2.
		\item Les courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ admettent-elles la même tangente en C ? Justifier.
	\end{enumerate}

\item \textbf{Étude de la courbe } \boldmath $\mathcal{C}_3$\unboldmath

\medskip

La courbe $\mathcal{C}_3$, déjà tracée sur l'annexe 2, est la courbe de Bézier définie par les quatre points de contrôle E, F, G et H, où F(9~;~6) ; G(0~;~10) et H(0~;~12).
		
Les courbes $\mathcal{C}_2$ et $\mathcal{C}_3$ admettent-elles la même tangente en E ? Justifier.
\item  \textbf{Finalisation du tracé}

\medskip

Sur l'annexe 2, appliquer aux courbes $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$, $\mathcal{C}_3$ la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées pour compléter le tracé du caractère étudié.
\end{enumerate}
\newpage
\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE 1 À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{3cm}

\psset{unit=1cm,radius=0pt}
\begin{pspicture}(14,9)
\psline(0,7.8)(14,7.8) \uput[u](12,7.8){Ligne d'horizon}
\Cnode*(8,0){c} \Cnode*(4,0){b} \Cnode*(4,4){f} \Cnode*(5,5.5){e}
\psline(c)(b)(f)(e) %cbfe
\uput[r](c){\texttt{c}}\uput[l](b){\texttt{b}}
\uput[l](f){\texttt{f}}\uput[ul](e){\texttt{e}}
\end{pspicture}
 
\newpage
\textbf{\large ANNEXE 2 À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{3cm}

\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-7,-0.5)(7,12.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-7,0)(7,12)
%\parametricplot[plotpoints=500,linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{0}{1}{2  2 t   mul  sub  t dup mul add   t dup mul 3 mul}%courbe C_1
%\parametricplot[plotpoints=500,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{0}{1}{1 6 t mul add t dup mul sub 3 4 t mul sub t dup mul 4 mul add}%courbeC_2
\psBezier2[plotpoints=500,linecolor=blue,linewidth=1.5pt](2,0)(1,1)(1,3)% courbe C_1
\psbezier[linecolor=red,linewidth=2pt](6,3)(9,6)(0,10)(0,12)%courbe C_3
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}