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% Merci à Benoît Blaszczyk
%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Groupement D}}
\rfoot{\small{13 mai 2015}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Groupement D 13 mai 2015}

Durée : 2 heures  
\end{center}

Analyses de biologie médicale 

Bio analyses et contrôles 

Biotechnologie 
 
Hygiène-propreté-environnement 

Industries plastiques-europlastic à  référentiel commun européen 

Métiers de l'eau 
 
Peintures, encres et adhésifs 

Qualité dans les industries alimentaires et les bio-industries

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{EXERCICE 1 }\hfill 11 points

\medskip

\textbf{Pharmacocinétique}

\medskip

On s'intéresse à une maladie dégénérative de l'œil qui occasionne des troubles de la vision. Afin
de freiner son évolution, deux traitements sont possibles. Dans cet exercice, on étudie, pour
ces deux traitements, l'évolution de la quantité des principes actifs présents dans le sang en
fonction du temps.

\medskip

\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante}

\bigskip

\textbf{Partie A : Étude du premier traitement}

\medskip

Les questions 1 et 2 peuvent être traitées de façon indépendante.

\medskip

Le premier traitement consiste à faire absorber au malade par voie orale un médicament qui
libère peu à peu le principe actif qui passe dans le sang. Il est efficace lorsque la quantité de
principe actif est supérieure ou égale à 5~mg. On admet qu'à l'instant $t = 0$ la quantité de
principe actif présente dans le sang est de 1~mg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résolution d'une équation différentielle

L'évolution en fonction du temps (exprimé en heures), de la quantité de principe actif
présente dans le sang après absorption (exprimée en mg) est modélisée par une fonction
vérifiant l'équation différentielle :

\[(E) : \quad  y' + 0,1y = 2\text{e}^{- 0,1t}\]

où $y$ est une fonction de la variable $t$, définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et $y'$ la dérivée de
la fonction $y$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les solutions sur $[0~;~+\infty[$ de l'équation $\left(E_0\right) :\quad  y' + 0, 1y = 0$.
		\item Soit $h$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $h(t) = 2t\text{e}^{-0,1t}$. Vérifier que $h$ est une solution particulière de $(E)$.
		\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.
		\item Déterminer la solution de $(E)$ correspondant au problème posé.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Étude d'une fonction}
	
Soit la fonction $f$ définie pour tout $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par 

\[f(t) = (2t + 1)\text{e}^{-0,1t}.\]

	\begin{enumerate}
		\item On admet que la limite de $f$ en $+\infty$ est $0$.
Interpréter graphiquement cette limite.
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ et on admet que $f'(t) = (1,9 - 0, 2t)\text{e}^{-0,1t}$.
		\begin{enumerate}
			\item Étudier le signe de $f'(t)$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
			\item Dresser le tableau des variations de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\item \textbf{Application}

	\begin{enumerate}
		\item Au bout de combien de temps la quantité de principe actif dans le sang sera-t-elle
maximale?
		\item Sur quel intervalle de temps le médicament sera-t-il efficace ?
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même
non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
		\item On donne :

\[\displaystyle\int_0^{24} f(t)\:\text{d}t = 210 - 690 \text{e}^{-2,4}.\]
		
Déterminer la quantité moyenne de principe actif présente dans le sang entre 0 et
24 h. On arrondira le résultat au dixième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude statistique du second traitement}

\medskip

Le second traitement consiste à injecter par intraveineuse un médicament qui permet une
meilleure vascularisation des vaisseaux sanguins de la rétine. À l'instant $t = 0$, on injecte
une dose de 1,8~mg de médicament, appelée dose de charge. On suppose que ce procédé diffuse
instantanément dans le sang le principe actif qui est ensuite progressivement éliminé par les
reins.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Administrations répétées du médicament}

On décide de réinjecter une dose de 1,8~mg toutes les heures, dose supportable par le
patient.

Parmi les trois courbes suivantes, quelle est celle qui représente le mieux l'évolution de
la quantité de médicament présente dans le sang ? Argumenter votre choix.

\begin{center}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.5)(5,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-0.2,-0.5)(5,4)
\psline(0,1.5)(0.75,1.5)(0.75,2)(1.5,2)(1.5,2.5)(2.25,2.5)(2.25,3)(3,3)(3,3.5)(3.75,3.5)
\rput(2.5,-0.3){\scriptsize figure 1}
\end{pspicture}&
\begin{pspicture}(-0.2,-0.5)(5,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-0.2,-0.5)(5,4)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{4.5}{1.5 2.71828 x add ln mul}
\rput(2.5,-0.3){\scriptsize figure 2}
\end{pspicture}&\begin{pspicture}(-0.2,-0.5)(5,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-0.2,-0.5)(5,4)
\pscurve(0,1.5)(0.375,1.7)(0.75,1.3)
\psline(0.75,1.3)(0.8,1.8)
\pscurve(0.8,1.8)(1.175,2)(1.55,1.6)
\psline(1.55,1.6)(1.6,2.1)
\pscurve(1.6,2.1)(1.975,2.3)(2.35,1.9)
\psline(2.35,1.9)(2.4,2.4)
\pscurve(2.4,2.4)(2.775,2.6)(3.15,2.2)
\psline(3.15,2.2)(3.2,2.7)
%\pscurve(3.2,2.7)(3.575,2.9)(3.95,2.5)
\rput(2.5,-0.3){\scriptsize figure 3}
\end{pspicture}\\
\end{tabularx}
\end{center}
\item \textbf{Administration continue du médicament : recherche de la courbe de tendance}

Après avoir injecté la dose de charge de 1,8 mg, on décide d'administrer ce médicament
à l'aide d'une pompe, de manière continue, afin de réduire le plus possible les oscillations
de la quantité de principe actif dans le sang.

L'étude consiste à déterminer l'état stationnaire (steady state) pour ce médicament. On
considère que l'état stationnaire est atteint lorsque la différence entre la quantité limite
et la quantité dans le sang est inférieure ou égale à 1~mg.

On effectue sept mesures régulières pendant 24~h et on obtient les relevés suivants, où $q_i$
désigne la quantité en mg de principe actif dans le sang à l'instant $t_i$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_i$ (en heure)& 0	&4		&8		&12		& 16	&20		&24\\ \hline
$q_i$ (en mg)	&1,8&9,5 	&15,5 	&20,2 	&23,7 	&26,8 	&28,7\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On cherche à modéliser l'expression de la quantité de principe actif dans le sang en
fonction du temps. Un ajustement affine n'étant pas judicieux, on décide de procéder à
un changement de variable.
	\begin{enumerate}
		\item On pose $y_i = \ln \left(36 - q_i\right)$.
		\begin{enumerate}
			\item Donner les 3 valeurs manquantes de ce tableau. Arrondir au centième.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_i$ 	&0		&4		&8		&12		&16		&20		& 24\\ \hline
$q_i$ 	&1,8	&9,5 	&15,5 	&20,2 	&23,7 	&26,8 	&28,7\\ \hline
$y_i$	&3,53	& 3,28	&		&		&2,51	&2,22	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		
			\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de $D$ la droite d'ajustement
de $y$ en $t$ par la méthode des moindres carrés. Arrondir les coefficients au centième.
			\end{enumerate}
		\item Donner une expression de la quantité $q$ en fonction de $t$ déduite de cet ajustement.
Dans la question suivante, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative
même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
		\item Un médecin affirme que l'état stationnaire est atteint en moins de trois jours. En
admettant que la quantité limite est de 36~mg, quel argument peut-il fournir pour justifier cette affirmation ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{EXERCICE 2 }\hfill 9 points

\medskip

\textbf{Industrie agroalimentaire}

\medskip

L'entreprise agroalimentaire Flavornuts fabrique des arômes naturels servant à l'amélioration
des préparations culinaires pour la pâtisserie ou la cuisine. Elle les conditionne dans des flacons
de 58 ml qu'elle achète à l'entreprise Verremballage, qui conçoit, développe et commercialise
des solutions d'emballages primaires composées de flacons standards.

Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.

\bigskip

\textbf{Partie A : Étiquetage}

\medskip

L'étiquetage des denrées alimentaires préemballées est obligatoire (articles R. 112-1 et suivants du code de la consommation). Certaines mentions sont imposées par la législation, d'autres sont facultatives. Toutes sont fournies par les fabricants, sous leur responsabilité. L'étiquetage est constitué par \og les mentions, indications, marques de fabrique ou de commerce, images ou signes se rapportant à une denrée alimentaire et figurant sur tout emballage, document, écriteau, étiquette, bague ou collerette accompagnant ou se référant à cette denrée alimentaire (article R. {112-1} du code de la consommation). \fg

Une fois fabriquées, les étiquettes peuvent présenter deux défauts : un défaut du visuel (graphisme,
photo, couleur, \ldots) ou l'absence de la date limite de consommation.

On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $A$ : \og  la date limite de consommation n'apparaît pas sur l'étiquette \fg.
\item[$\bullet~~$] $D$ : \og  l'étiquette comporte un défaut du visuel \fg{} ;
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On suppose que les évènements $A$ et $D$ sont indépendants.

On admet que les probabilités des évènements sont : $p(A) = 0,01$ et $p(D) = 0,03$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'une étiquette prélevée au hasard dans la production présente
les deux défauts.
\item Calculer la probabilité qu'une étiquette prélevée au hasard dans la production ne présente
aucun de ces deux défauts.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude de la contenance}

\medskip

Dans cette partie, les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{-2}$ près.

On définit une variable aléatoire $V$ associant à chaque flacon son volume utile exprimé en mL.

On suppose que $V$ suit la loi normale de moyenne $m = 58$ (valeur annoncée par le fournisseur)
et d'écart type $\sigma = 0,04$.

Le cahier des charges indique que le flacon est conforme lorsque ce volume appartient à l'intervalle
[57,90~;~58,10].

On choisit un flacon au hasard dans la production.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité pour qu'il soit non conforme.
\item Donner une valeur arrondie au centième du réel $h$ tel que : 

$p(58 - h \leqslant V \leqslant 58 + h) = 0,95$.

\emph{Toute trace de recherche sera prise en compte dans l'évaluation.}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Test d'hypothèse}

\medskip

À l'occasion d'une commande, le service contrôle du laboratoire reçoit un lot de flacons. Il
effectue un prélèvement aléatoire de 80~flacons. Les résultats sont consignés dans le tableau
suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Volume 	&[57,93~;~57,97[	&[57,97~;~58,01[&[58,01~;~58,05[& [58,05~;~58,09[	&[58,09~;~58,13]\\ \hline
Effectif& 2 				&10 			&39 			&21 				&8\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la moyenne $\overline{v}$ et l'écart type $s$ de cet échantillon (arrondir le résultat à $10^{-3}$ près) en faisant l'hypothèse que les valeurs observées sont respectivement celles du centre de
chaque classe.
\item Construction du test
Le volume des flacons doit être de 58~mL. On se propose de construire un test d'hypothèse
bilatéral au seuil de signification de 5\,\% pour contrôler, au moment de la livraison, la
moyenne $\mu$ de l'ensemble des volumes (en mL) des flacons. On note $V$ la variable aléatoire
qui, à chaque échantillon de $80$~flacons prélevés au hasard dans l'ensemble de la production,
associe la moyenne des volumes.
On considère :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] L'hypothèse nulle $H_0 : \mu = 58$
\item[$\bullet~~$] L'hypothèse alternative $H_1 : \mu \neq 58$
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Le seuil de signification est fixé à $0,05$.

On admet que, sous l'hypothèse $H_0,\: V$ suit la loi normale $\mathcal{N}\left(58~;~\dfrac{0,04}{\sqrt{80}}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Parmi les quatre intervalles proposés, lequel utiliseriez-vous pour effectuer le test ?
		
Justifier votre choix.

\[\begin{array}{l c l}
I &=&  \left[58,04 - 1,65 \times  \dfrac{0,04}{\sqrt{80}}~;~58,04 + 1,65 \times  \dfrac{0,04}{\sqrt{80}}\right]\\
J &=&  \left[58,04 - 1,96 \times  \dfrac{0,04}{\sqrt{80}}~;~58,04 + 1,96 \times  \dfrac{0,04}{\sqrt{80}}\right]\\
K &=&  \left[58 - 1,65 \times  \dfrac{0,04}{\sqrt{80}}~;~58 + 1,65 \times  \dfrac{0,04}{\sqrt{80}}\right]\\
L &=&  \left[58 - 1,96 \times  \dfrac{0,04}{\sqrt{80}}~;~ 58 + 1,96 \times  \dfrac{0,04}{\sqrt{80}}\right]
\end{array}\]
		\item Énoncer la règle de décision du test.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Utilisation du test}
	
En utilisant les informations recueillies sur l'échantillon de 80~flacons, le service de contrôle
acceptera-t-il cette livraison ? Justifier.
\end{enumerate}
\end{document}