%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
% Merci à Benoît Blaszczyk
%Tapuscrit : Denis Vergès 
\usepackage{pst-plot,pst-text,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {BTS groupement D},
pdftitle = {Métropole mai 2014},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH
}  
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Groupement D}}
\rfoot{\small{13 mai 2014}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center}\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Groupement D session 2014}

Durée : 2 heures  
\end{center}

Analyses de biologie médicale 

Bio analyses et contrôles 

Biotechnologie 
 
Hygiène-propreté-environnement 

Industries plastiques-europlastic à  référentiel commun européen 

Métiers de l'eau 
 
Peintures, encres et adhésifs 

Qualité dans les industries alimentaires et les bio-industries

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{EXERCICE 1 }\hfill 10 points

\medskip

Une société agroalimentaire produit des plats cuisinés.  Elle utilise pour cela des pièces de  viande de 2 kg initialement congelées  à une température de  $- 21$~\degres C. On considère par la suite   que les pièces de viandes sont identiques.
  
Lors de la décongélation, les pièces de viandes sont placées dans une zone d’un réfrigérateur  maintenu à une   température de $T$~\degres C. L’entreprise doit respecter des contraintes sanitaires et des contraintes liées à la qualité gustative des produits qu’elle fabrique.
  
Elle mène pour cela une étude sur l’évolution de la température au cœur d’une pièce de viande au cours de la décongélation.
  
La loi de refroidissement de Newton permet théoriquement, sous certaines conditions, de modéliser cette évolution, en fonction du temps, par une fonction $\theta$ vérifiant :
  
\[\theta'(t) = k[\theta(t) - T] \qquad (E)\]
  
où   

\begin{itemize}
\item $k$ est une constante liée aux caractéristiques de la pièce de viande,
\item $T$ est la température de la zone du réfrigérateur dans laquelle est placée la viande,
\item $t$ est la durée, exprimée en heure, écoulée depuis le début de la décongélation
\item et $\theta(t)$ est la température, exprimée en degré Celsius (\degres C), au cœur de la pièce de viande après $t$ heures de décongélation.
\end{itemize}
  
\begin{center}\textbf{Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante} \end{center}  
 
 \textbf{Partie A : détermination de la constante } \boldmath $k$ \unboldmath

\medskip

Le réglage standard d’un réfrigérateur domestique est de $T = 5$\degres~C.
 
On place une des pièces de viande dans une zone de réfrigérateur maintenue à cette température.

L’évolution de la température au cœur de la pièce de viande est suivie à l’aide de sondes thermocouples et mène aux relevés suivants :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.8cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$i$&1&2&3&4&5&6\\ \hline
$t_i$ : durée écoulée, en heure&0&5&10&15&20&25\\ \hline
$\theta_i$ : température en degré Celsius&$- 21$&$- 5,1$&1,1&3,5&4,4&4,8\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On pose $z_i = \ln \left(5 - \theta_i \right)$. Donner les valeurs de $z_i
$ pour $i$ variant de 1 à 6. Arrondir au centième. 
\item Donner une équation de la droite d’ajustement affine de $z$ en $t$ par la méthodes des moindres carrés sous la forme $z = at + b$. Arrondir au centième les valeurs de $a$ et de $b$.
\item En déduire que l’on peut estimer la température au c{\oe}ur de la pièce de viande après $t$ heures ($t$ compris entre 0 et 25) par :

\[\theta(t) = - 26,58 \text{e}^{- 0,19t} + 5.\]

\item Calculer $\theta’(t)$ et $\theta(t) - 5$.

Justifier que le modèle de l’équation $(E)$ (donnée dans le préambule de l’exercice) s’applique dans le cas présent avec des constantes $k$ et $T$ dont on donnera les valeurs.
\end{enumerate}


\bigskip

\textbf{Partie B : durée de décongélation } 
 
\medskip

On considère qu’une pièce de viande est décongelée lorsque la température au cœur de la viande est supérieure ou égale à 0\degres~C.

Une viande décongelée donne, lorsqu’on la consomme après cuisson, l’illusion du produit frais si sa décongélation a duré \textbf{au moins 12 heures}.

L’ajustement effectué dans la partie A permet d’estimer qu’une pièce de viande de 2~kg décongèle dans une zone du réfrigérateur maintenue à 5\degres~C en 8~h 50~min, ce qui ne  convient pas.

Par souci de \textbf{qualité gustative}, la société agroalimentaire décide donc de décongeler plus lentement la viande en la plaçant dans une zone plus froide du réfrigérateur. Par ailleurs, si on décongèle une pièce de viande à une température supérieure à $2$\degres~C, il y a reprise de la prolifération de certaines bactéries.

On choisit donc $T = 2$\degres~C.

D’après la loi de Newton, la température de la pièce de viande est modélisée par une fonction $\theta$ vérifiant :

\[\theta’(t) = - 0,19[\theta(t) - 2], \quad \text{c’est-à-dire} \quad\theta’(t) + 0,19 \theta (t) = 0,38.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Résolution d’une équation différentielle}

\medskip

On considère l’équation différentielle

\[y’(t) + 0,19 y(t) = 0,38,\]

où $y$ est une fonction de la variable $t$, définie et dérivable sur l’intervalle $[0~;~+ \infty[$ et $y’$ la fonction dérivée de la fonction $y$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les solutions sur l’intervalle $[0~;~+ \infty[$ de l’équation différentielle 
		
		\[\left( E_0\right) \qquad y’ +0,19y = 0.\]
		\item Soit $h$ la fonction définie sur l’intervalle $[0~;~+ \infty[$ par $h(t) = c$, où $c$ est un nombre réel.
		
Déterminer le nombre réel $c$ pour que la fonction $h$ soit une solution particulière de l’équation différentielle $(E)$.
		\item En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle $(E)$.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Détermination de la fonction } \boldmath $\theta$ \unboldmath

On rappelle que $\theta$ est solution de l’équation $(E)$ et que $\theta(0) = - 21$.

	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $\theta(t) = - 23\text{e}
^{- 0,19t} + 2$.
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \theta(t)$. Interprétez le résultat obtenu dans contexte concret étudié.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Durée de décongélation}

\medskip
	\begin{enumerate}
		\item  Estimer le temps nécessaire pour que les pièces de viande, placées dans une zone du réfrigérateur maintenue à $T =  2$\degres~C, soient décongelées.
		
\emph{Plusieurs méthodes peuvent être employées. Le candidat devra indiquer celle qu’il a choisie et en donner les étapes.}
		\item La viande ainsi décongelée donnera-t-elle, lorsqu’on la consommera, l’illusion du produit frais ?
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE C : Prise en compte de la règlementation sanitaire} 

\medskip

Initialement, la concentration bactérienne dans les pièces de viande congelées utilisées par la société agro alimentaire est estimée à 50 bactéries par gramme. 

On admet qu'à partir du moment où la viande est décongelée, les bactéries reprennent leur prolifération et que, tant que la viande est laissée dans une zone du réfrigérateur maintenue à 2\degres~C, la vitesse de croissance de la concentration bactérienne à l'instant $t$ (exprimé en heure) est modélisée sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par : 

\[v(t) = 3\text{e}^{0,06t}.\] 

La concentration bactérienne (exprimée en bactéries par gramme) de la viande à l'instant $t$ est donc modélisée par la primitive $G_0$ de la fonction $v$ qui vérifie $G_0(0) = 50$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Détermination de la fonction} \boldmath{$G_0$} 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les primitives $G$ de la fonction $v$. 
		\item En déduire l'expression de $G_0(t)$ pour $t$ supérieur ou égal à $0$. 
	\end{enumerate}
\item Le niveau de tolérance fixé par la règlementation sanitaire de plusieurs pays est de 100~bactéries par gramme pour la viande que l'on cuisine. 

Un lot de pièces de viande termine sa décongélation à 18~h, un soir de la semaine. 

Si les employés le laissent au réfrigérateur, à 2\degres~C, et ne le cuisinent que le lendemain à 8~h, la règlementation sanitaire de ces pays sera-t-elle respectée ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{EXERCICE 2}\hfill 10 points

\medskip
 
\emph{Les probabilités demandées dans cet exercice peuvent être calculées en utilisant le formulaire joint au sujet ou la calculatrice. Quelle que soit l’option retenue, on fera figurer sur la copie \textbf{les étapes de la démarche suivie} }
 
\begin{center}
\textbf{Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante} 
\end{center}
 
Une usine fabrique en siée des pompes de surface destinées à l’irrigation agricole.

Le cahier de charges demande que ces pompes aient un débit de $6$~ m$^3 \cdot$ h$^{- 1}$ (6 m$^3$ par heure) avec une tolérance de $\pm 0,25$m$^3 \cdot$ h$^{- 1}$.

En sortie de chaîne de fabrication ,  une pompe peut présenter   deux types de défauts indépendants : un défaut de débit et un défaut mécanique.

\bigskip

\textbf{PARTIE A : le défaut mécanique}

\medskip
 
Une étude statistique permet d'estimer que 1\,\% des pompes fabriquées présente un défaut mécanique.
 
Les pompes sont conditionnées par caisses de cinquante.
 
On considère, pour l'étude, que la constitution d'une caisse peut être assimilée à un prélèvement au hasard et avec remise de cinquante pompes dans la production, très importante, de l'usine.
 
On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque caisse de cinquante pompes, associe le nombre de pompes présentant un défaut mécanique.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité qu'une caisse contienne une pompe présentant un défaut mécanique. Arrondir le résultat au millième. 
		\item Calculer la probabilité qu'une caisse contienne au moins deux pompes présentant un défaut mécanique. Arrondir le résultat au millième.
	\end{enumerate} 
\item  On décide d'approcher la loi de $X$ par une loi de Poisson de paramètre $\lambda$. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle valeur du paramètre $\lambda$ choisit-on? Justifier. 
		\item On note $Y$ une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre À 
En utilisant la variable aléatoire Y, estimer la probabilité qu'une caisse contienne au moins quatre pompes présentant un défaut mécanique. Arrondir le résultat au millième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B : le défaut de débit}

\medskip
 
Une pompe est conforme au cahier des charges pour le débit si celui-ci est compris entre 5,75 m$^3 \cdot$ h$^{- 1}$ et 6,25 m$^3 \cdot$ h$^{- 1}$. Dans le cas contraire, la pompe présente un défaut de débit. On note $Z$ la variable aléatoire qui associe à chaque pompe produite son débit exprimé en m$^3 \cdot$ h$^{- 1}$. On suppose que la variable aléatoire $Z$ suit une loi normale de moyenne $m = 6$ et d'écart type $s = 0,15$. 

Calculer la probabilité qu'une pompe, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut de débit. Arrondir le résultat au millième. 

\bigskip

\textbf{PARTIE C : estimation du débit moyen des pompes d'une livraison}

\medskip
 
Une entreprise commande un nombre important de pompes.
 
Lors de la livraison, le service qualité de l'entreprise cherche à estimer la moyenne inconnue $\mu$, exprimée en m$^3 \cdot$ h$^{- 1}$, des débits des pompes qui lui sont livrées à partir de mesures faites sur un échantillon de cinquante pompes prises dans la livraison.
 
On considère que cet échantillon peut être assimilé à un prélèvement au hasard et avec remise de cinquante pompes dans la livraison.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Les résultats des mesures effectuées sont donnés dans le tableau ci-dessous : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Débit en m$^3 \cdot$ h$^{- 1}$& 5,7& 5,8& 5,9&6& 6,1& 6,2& 6,3\\ \hline 
Nombre de pompes& 9& 8& 10& 9& 10& 3& 1\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
Calculer la moyenne et l'écart type de la série de mesures ci-dessus. On arrondira l'écart type au millième. 
\item On note $\overline{X}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 50~pompes choisies au hasard dans la livraison, associe la moyenne des débits de ces 50~pompes, exprimée 
en m$^3 \cdot$ h$^{- 1}$.
 
On admet que $\overline{X}$ suit la loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et d'écart type $\dfrac{0,16}{\sqrt{50}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer un nombre $a$ tel que $p(\mu - a \leqslant  \overline{X} \leqslant \mu + a) = 0,95$. 
		
Donner une valeur approchée au millième par excès de $a$. 
		\item Donner un intervalle de confiance de la moyenne $\mu$ des débits des pompes livrées avec un coefficient de confiance supérieur ou égal à 95\,\%. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}