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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Groupement D}}
\rfoot{\small{14 mai 2013}}
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\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Groupement D session 2013}  
\end{center}

Analyses de biologie médicale 

Bio analyses et contrôles 

Biotechnologie 
 

Hygiène-propreté-environnement 

Industries plastiques-europlastic-à référentiel commun européen 

Métiers de l'eau 
 
Peintures, encres et adhésifs 

Qualité dans les industries alimentaires et les bio-industries

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{EXERCICE 1 }\hfill 10 points

\medskip

Les bordures d'autoroute possèdent parfois des bassins de décantation dont le rôle est de recueillir les eaux pluviales ruisselant sur l'asphalte et les éléments polluants qu'elles peuvent drainer.

\medskip
 
À la suite d'un accident de la circulation. un camion~citerne déverse une partie de son contenu sur la chaussée d'une autoroute. La réglementation en vigueur impose l'isolation, par fermeture de vannes, du bassin de décantation proche de l'accident de façon à ce que la concentration en matières polluantes dans le bassin ne dépasse pas 15 $\mu$g/L. Cette concentration est de 1,3 $\mu$g/L au moment où les matières polluantes provenant du camion-citerne commencent à se déverser dans le bassin.
 
\textbf{Dans cet exercice,  on cherche à prévoir au bout de combien de temps la concentration en matières polluantes dans le bassin atteindra 15 $\mu$g/L si on n'isole pas le bassin et à quel moment les capteurs installés dans le bassin déclencheront la fermeture des vannes.}

\medskip
 
On mesure en minute le temps $t$ écoulé à partir de l'instant où les matières polluantes provenant du camion-citerne- commencent à se déverser dans le bassin de décantation.
 
On admet que, tant que le bassin n'est pas isolé par fermeture des vannes, la concentration à l'instant $t$ en matières polluantes dans le bassin, exprimée en $\mu$g/L peut être modélisée par $f(t)$ où $f$ est solution de l'équation différentielle
 
\[(E)\::\quad  y' + 0,03y = 0,75.\]

On a donc $f(0) = 1,3$.

\begin{center} 
\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de fa\c{c}on indépendante}
\end{center}
 
\textbf{A. Résolution sur l'intervalle \boldmath$[0~;~ +\infty[$\unboldmath de l'équation différentielle }

\boldmath$(E) \:: y' + 0,03y = 0,75$\unboldmath

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère l'équation différentielle 

\[\left(E_{0}\right)\: :\quad  y' + 0,03 y = 0,\]

où $y$ est une fonction de la variable $t$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty]$, et $y'$ la fonction dérivée de la fonction $y$.
 
Déterminer les solutions de l'équation différentielle $\left(E_{0}\right)$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty]$. 
\item Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty]$ par $g(t) = a$, où $a$ est une constante réelle. 

Déterminer $a$ pour que la fonction $g$ soit une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$. 
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$. 
\item Démontrer que la solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie la condition initiaJe $f(0) = 1,3$ est la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty]$ par : $f(t) = 25 - 23,7 \text{e}^{- 0,03t}$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{B. Étude de la fonction }\boldmath $f$ \unboldmath

\medskip
 
$f$ est définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty]$ par : 

\[f(t) =  25 - 23,7 \text{e}^{- 0,03t}.\]
 
On note $C$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction  quand $t$ tend vers $- \infty$. 
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(t)$ pour tout $t$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty]$. 

Expliquer le signe de $f'(t)$ pour tout $t$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty]$.
	\end{enumerate} 
\item Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous. Arrondir les résultats au dixième.
		
		\medskip
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$t$&0 &10 &20 &30 &40 &50 &60 \\ \hline
$f(t)$& 1,3 &&&&&& \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
		\item Tracer la courbe $C$ sur la feuille de papier millimétré jointe au sujet ou visualiser cette courbe sur l'écran de la calculatrice et indiquer sur la copie les caractéristiques de la fenêtre utilisée (valeurs de X min, X max, Y min et Y max et des \og pas \fg) et l'allure de la courbe obtenue.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{C. Traitement de la problématique}

\medskip
 
On rappelle que $f(t)$ modélise la concentration (exprimée en $\mu$g/L) en matières polluantes dans le bassin à l'instant $t$ (exprimé en minute) tant que le bassin n'est pas isolé par fermeture des vannes.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Si le bassin n'était pas équipé d'un dispositif d'isolation par fermeture de vannes, quelle serait la valeur autour de laquelle se stabiliserait la concentration en matières polluantes ? Justifier. 
\item A l'aide de la courbe C obtenue à la question B 4b), sur papier millimétré ou sur écran de la calculatrice. déterminer graphiquement une valeur approchée à l'unité du temps $t_{0}$ (exprimé en minute) au bout duquel la concentration en matières polluantes dans le bassin atteindrait 15 $\mu$g/L si le bassin n'était pas isolé par fermeture de vannes. Expliquer la démarche. 
\item La concentration en matières polluantes dans le bassin est relevée par un capteur dont les mesures sont légèrement instables.
 
Pour prendre en compte cette instabilité, on met en place un dispositif associant la fermeture des vannes à l'instant $t\: (t \geqslant 2$) à la valeur moyenne de la concentration en matières polluantes mesurée par le capteur entre les instants $t - 2$ et $t$.
 
La fermeture des vannes est déclenchée lorsque cette valeur moyenne atteint 14 $\mu$g/L.
 
La valeur moyenne de la concentration (exprimée en $\mu$g/L) en matières polluantes entre les instants $t - 2$ et $t$ est modélisée par : 

\[V(t) = \dfrac{1}{2}\int_{t - 2}^t  f(u)\:\text{d}u = \dfrac{1}{2}(F(t) - F(t - 2)),\]

 où $F$ est une primitive de la fonction $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty]$. 			
		\item Calculer $V(t)$ et vérifier que : $V(t) = 25 + A \text{e}^{-0,03t}$ avec $A = - 24,4$. 
		\item Résoudre l'équation : $25 - 24,4\text{e}^{-0,03t} = 14$.
		
Donner une valeur approchée au dixième de la solution $T$ de cette équation. 
		\item Que représente $T$ dans le contexte de l'exercice ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{EXERCICE 2}\hfill 10 points

\medskip

Une coopérative est spécialisée dans la récolte de la fleur de sel.
 
Elle utilise une machine automatique pour remplir des sachets de fleur de sel dont la masse théorique doit être de 250 grammes.
 
Un sachet est dit conforme si sa masse $m$, exprimée en gramme, vérifie : 

$240 \leqslant m \leqslant 260$.
 
\medskip

\emph{Les probabilités demandées dans cet exercice peuvent être calculées en utilisant le formulaire joint au sujet ou la calculatrice. Quelle que soit l'option retenue on fera figurer sur la copie quelques étapes de la démarche suivie.}

\medskip
 
Les résultats des calculs de probabilité seront arrondis au millième.
 
Les parties A, B et C de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. 

\bigskip

\textbf{Loi normale}

\medskip
 
L'étude statistique de la production permet d'admettre que la variable aléatoire $M$ qui mesure, en gramme, la masse d'un sachet suit une loi normale de moyenne $\mu = 250$ et d'écart type $\sigma = 5,3$.
 
\begin{enumerate}
\item On choisit au hasard un sachet dans la production.
 
Calculer la probabilité que le sachet soit conforme, 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(M \geqslant 245)$. 
		\item Un gros client exigeant souhaite qu'au moins trois quarts des sachets qu'il achète aient une masse supérieure à 245~grammes. Sera-t-il satisfait ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{B. Loi binomiale et loi de Poisson}

\medskip
 
\textbf{On considère dans cette partie que la probabilité qu'un sachet ne soit pas conforme est :\:}\boldmath $p = 0,06$\unboldmath.

\medskip
 
La coopérative constitue des lots de 50~sachets pour la vente et étudie le nombre de sachets non conformes contenus dans un lot.
 
La production de la coopérative est suffisamment importante pour que l'on puisse assimiler la constitution d'un lot à un tirage au hasard et avec remise de 50~sachets.
 
On note $X$ la variable aléatoire qui associe a chaque lot de 50~sachets le nombre de sachets non conformes de ce lot.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres. 
\item Que représente la probabilité $P(X = 1)$ dans le contexte de l'exercice ? Calculer $P(X = 1)$. 
\item On approche la loi de probabilité de $X$ par une loi de Poisson. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que cette loi de Poisson a pour paramètre $\lambda = 3$. 
		\item On note $Y$ une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda =  3$.
		 
En utilisant la variable aléatoire $Y$, estimer la probabilité qu'il y ait au plus cinq sachets non conformes dans un lot de 50~sachets.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C. Test d'hypothèse}

\medskip
 
Après la révision annuelle de la machine utilisée pour remplir les sachets de fleur de sel, le responsable qualité de la coopérative veut contrôler la valeur de la masse moyenne $m$ (exprimée en gramme) d'un sachet de fleur de sel.
 
Il construit pour cela un test d'hypothèse bilatéral au seuil de signification de 5\,\%. 

L'hypothèse nulle $H_{0}$ est : $m = 250$.
 
L'hypothèse alternative $H_{1}$ est : $m \neq 250$.
 
On note $\overline{M}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 50~sachets prélevés dans la production de la coopérative, associe la masse moyenne (en gramme) d'un sachet de l'échantillon. 

La production est suffisamment importante pour qu'on puisse assimiler la constitution d'un  échantillon à un tirage au hasard et avec remise de 50~sachets. 

On suppose que la variable aléatoire $\overline{M}$ suit une loi normale de moyenne $m$ et d'écart type $\dfrac{5,3}{\sqrt{50}}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Sous l'hypothèse nulle $H_{0}$, déterminer le nombre réel positif $a$ tel que 

\[P\left(250 - a \leqslant  \overline{M} \leqslant 250 + a\right) = 0,95,.\]
 
Arrondir au centième, 
\item Énoncer la règle de décision du test. 
\item On prélève au hasard 50~sachets dans la production.
 
Les masses en gramme de ces sachets se répartissent de la façon suivante: 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.4cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash \tiny}X|}}\hline
\footnotesize Masse en gramme&[236 ; 240[ &[240 ; 244[ &[244 ; 248[ &[248 ; 252[ &[252 ; 256[ &[256 ; 260[ &[260 ; 264[\\ \hline 
\footnotesize Nombre de sachets&5 &6 &9 &13 &8 &7 &2\\ \hline
\end{tabularx}  

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item En utilisant les centres des intervalles, calculer une valeur approchée de la masse moyenne d'un sachet de cet échantillon. 
		\item Quelle va être la conclusion du responsable qualité ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}