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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupement C}}
\rfoot{\small{Session 2000}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~BTS Métropole  Groupement C  session 2000~\decofourright}}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère l'équation différentielle 

\[(E) : y'' + 4y' + 4y = 8,\]

où $y$ désigne une fonction de la variable réelle $x$ définie et deux fois dérivable sur $\R$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = 2$ est une solution de $(E)$.
\item Résoudre sur $\R$ l'équation différentielle : $y'' + 4y' + 4y = 0$.
\item En déduire l'ensemble des solutions sur $\R$ de l'équation différentielle $(E)$.
\item Déterminer la solution $f$ de l'équation $(E)$ qui vérifie les conditions

\[f(0) = 2 \quad  \text{et}\quad  f\left(- \dfrac{1}{2}\right) = - \dfrac{\text{e}}{2} + 2.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip


Soit la fonction $f$ de la variable réelle $x$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) = x\text{e}^{ -2x} + 2.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la limite de $f$ en $- \infty$, puis la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item En déduire que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 2$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
		\item Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$. Étudier les variations de $f$ sur $\R$.
\item Tracer $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ dans un repère orthogonal \Oij{} (unités graphiques : 2~cm sur l'axe des abscisses, 4 cm sur l'axe des ordonnées).
\item Soit la fonction $k$ définie sur $\R$ par $k(x) = \left(- \dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{4}\right)\text{e}^{- 2x}$.

Calculer $k'(x)$.
	
En déduire l'aire, en cm$^2$, du domaine compris entre $\mathcal{C}$, $\mathcal{D}$ et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 4$.
	
On en donnera la valeur exacte puis une valeur approchée décimale arrondie à $10^{- 2}$ près.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 9 points}

\medskip

Les parties A, B, et C sont indépendantes

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

Dans une usine, on utilise conjointement deux machines M$_1$ et M$_2$ pour fabriquer des pièces
cylindriques en série. Pour une période donnée, leurs probabilités de tomber en panne sont
respectivement $0,010$ et $0,008$.

De plus, la probabilité de l'évènement : \og la machine M$_2$ est en panne sachant que M$_1$ est en panne \fg{} est égale à 0,4.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la probabilité d'avoir les deux machines en panne au même moment est égale à
$0,004$.
\item En déduire la probabilité d'avoir au moins une machine qui fonctionne.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip  

Dans cette partie, on s'intéresse au diamètre des pièces fabriquées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que la variable aléatoire $X$ qui, à chaque pièce prélevée au hasard, associe son diamètre exprimé en millimètres, suit une loi normale de moyenne $250$ et d'écart type $2$.

Une pièce est défectueuse si son diamètre n'appartient pas à l'intervalle

 [246~;~254].

On prélève au hasard une pièce dans la production.

Calculer la probabilité d'avoir une pièce défectueuse.
\item On admet dans la suite que la probabilité de prélever une pièce défectueuse dans la production est
égale à $0,046$. On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui, à tout lot de $50$ pièces prises au hasard, associe le nombre de pièces défectueuses de ce lot. Un lot de $50$ pièces prises au hasard peut-être assimilé à un tirage avec remise.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $Y$. Donner les paramètres de cette
loi.
		\item Calculer la probabilité de n'avoir aucune pièce défectueuse dans un lot. (On donnera une
valeur décimale approchée arrondie à $10^{-3}$ près).
		\item Calculer la probabilité d'avoir au plus 2 pièces défectueuses dans un lot. (On donnera une
valeur décimale approchée arrondie à $10^{-3}$ près).
	\end{enumerate}
\item Après un certain temps de fonctionnement de la machine, pour vérifier le bien fondé de
l'hypothèse faite en B. 1., on s'intéresse à la moyenne des diamètres des pièces produites.
	
Pour cela, on étudie un échantillon de $100$ pièces prises au hasard et avec remise dans la production.
La moyenne $\overline{x}$ des diamètres des pièces de cet échantillon est égale à $249,7$. On suppose que la
variable aléatoire $\overline{X}$ qui, à tout échantillon de $100$ pièces prélevées au hasard et avec remise, associe la moyenne des diamètres de ces pièces suit une loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et
d'écart type $\dfrac{2}{\sqrt{100}}$. 
	
Au vu de l'échantillon, déterminer un intervalle de confiance centré en $\overline{x}$ de la
moyenne $\mu$ avec le coefficient de confiance 95\,\%.
\end{enumerate}
\end{document}