%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \usepackage{graphicx} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=4cm, bottom=2.5cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur} \lfoot{\small{Groupe C}} \rfoot{\small{14 mai 2013}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Métropole~\decofourright\\[5pt] session 14 mai 2013 - groupement C}} \end{center} \vspace{0,25cm} Charpente-couverture Communication et industries graphiques Conception et réalisation en chaudronnerie industrielle Développement et réalisation bois Étude et réalisation d'outillages de mise en forme des matériaux Fonderie Industries céramiques Industries des matériaux souples (2 options) Industries papetières (2 options) Mise en forme des matériaux par forgeage Production textile (4 options) Systèmes constructifs bois et habitat \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip La farine est classée selon des \og types \fg{} définis en fonction du taux de cendres, c'est-à-dire en fonction du taux de minéraux présent dans la farine. Cette teneur en matière minérale est obtenue par une analyse qui consiste à brûler la farine et à peser le résidu : \og les cendres \fg. Plus la farine est blanche, plus le taux de cendres est faible. Quelques exemples de types de farine courants sont répertoriés dans le tableau ci-dessous: \begin{center} \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Type de farine &Taux de cendres en \,\% &Nom commun\\ \hline T 55 &entre 0,5 et 0,6& Farine blanche\\ \hline T 65 &entre 0,62 et 0,75& Farine bise\\ \hline T 80 &entre 0,75 et 0,9 &Farine semi-complète\\ \hline T 110& entre 1 et 1,2 &Farine complète\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip Le problème porte sur l'étude de la production de la farine semi-complète d'une minoterie. \bigskip \textbf{Partie 1} \medskip Dans un souci de contrôle de la qualité de la production de sa farine semi-complète, une minoterie décide de procéder à un contrôle du taux de cendres. \medskip Le contrôle consiste à prélever 100~g de farine dans un paquet pris au hasard dans la production de farine semi-complète et à analyser ces 100 g. \medskip Un paquet de farine semi-complète est conforme si la masse du résidu, pour les 100~g de farine prélevés, est comprise entre 750~mg et 900~mg. \medskip On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de 100~g de farine d'un paquet, associe la masse du résidu obtenu en mg. On suppose que $X$ suit la loi normale d'espérance $825$ et d'écart type $32,6$. \medskip Déterminer la probabilité qu'un paquet de farine, pris au hasard dans la production de farine semi-complète, soit conforme. \newpage \textbf{Partie 2} \medskip Dans cette partie, on admet que 2\,\% des paquets de la production de farine semi-complète ne sont pas conformes. On choisit au hasard un lot de 50~paquets de farine semi-complète dans la production. On admet que la production est suffisamment importante pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de 50~paquets. On appelle $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de paquets du lot non conformes au type T 80, c'est-à-dire de farine semi-complète. \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la loi suivie par $Y$ ? Justifier. \item Calculer la probabilité qu'il y ait au plus un paquet non conforme dans le lot. \item On considère que la loi suivie par $Y$ peut être approchée par une Loi de Poisson. \begin{enumerate} \item Déterminer le paramètre $\lambda$ de cette loi de Poisson. \item À l'aide de cette loi de Poisson, calculer la probabilité qu'il y ait moins de quatre paquets non conformes dans le lot. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie 3} \medskip Une nouvelle qualité de blé est utilisée dans la minoterie pour fabriquer de la farine semi-complète. Afin de procéder à d'éventuels réglages des machines, on veut tester si la moyenne $m$ de la masse des résidus des prélèvements de 100~g de farine est toujours de $825$~mg. Pour cela, on construit un test d'hypothèse bilatéral. On suppose que la variable aléatoire $\overline{Z}$, qui, à tout prélèvement de 50~paquets choisis au hasard dans la production utilisant la nouvelle qualité de blé, associe la moyenne des masses des résidus des prélèvements de 100~g par paquet, suit une loi normale d'espérance $m$ et d'écart type $4,6$. \medskip On choisit l'hypothèse nulle $H_{0} \:: \og m = 825 \fg$. \medskip \begin{enumerate} \item Préciser l'hypothèse alternative $H_{1}$. \item Calculer le réel $h$ tel que $P(825 - h \leqslant \overline{Z} \leqslant 825 + h) = 0,95$. \item Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test. \item On prélève au hasard 50~paquets dans la production réalisée avec la nouvelle qualité de blé. La moyenne des masses des résidus des prélèvements de 100~g par paquet est 860~mg. Que peut-on conclure au risque de 5\,\% ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points} \medskip Dans une entreprise, lors d'une intervention sur la sécurité routière, on s'intéresse au taux d'alcool dans le sang. Dans cet exercice, ce taux sera utilisé sans précision de l'unité. \bigskip \textbf{Partie 1 :} \emph{Taux d'alcool, deux exemples} \medskip Le tableau suivant donne les quantités d'alcool contenues dans certaines boissons alcoolisées. \medskip \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Consommation &Quantité d'alcool (en g)\\ \hline Un verre de 25 cl de bière &13 g\\ \hline Un verre de 10 cl de vin& 8 g\\ \hline Une flûte de champagne &8 g\\ \hline Un verre de 4 cl de whisky &13,2 g\\ \hline Un verre de 5 cl d'apéritif &9 g\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Environ une heure après ingestion, on peut estimer le taux d'alcool dans le sang d'une personne, en fonction de son poids $P$, en kilogrammes, de la quantité d'alcool ingérée $Q$, en grammes, et d'un coefficient de diffusion $K$, à l'aide de la formule suivante : \[T = \dfrac{Q}{P \times K}\] On admet que $K = 0,7$ pour les hommes et que $K = 0,6$ pour une femme. \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide de la formule, estimer le taux d'alcool dans le sang, environ une heure après ingestion, d'un homme de 75~kg ayant consommé un verre de 25~cl de bière, deux verres de 10~cl de vin et une flûte de champagne. \item Estimer la quantité d'alcool ingérée par une femme de 55~kg dont le taux d'alcool mesuré est 0,5 une heure après ingestion. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie 2 :} \emph{Résolution d'une équation différentielle} \medskip On considère l'équation différentielle, notée $E$, \[ y' + y = 2\text{e}^{-t},\] où $y$ désigne une fonction de la variable réelle $t$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0,025~;~+ \infty[$. \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre l'équation différentielle $y' + y = 0$. \item Déterminer la valeur du réel $a$ telle que la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0,025~;~+ \infty[$ par $g(t) = at\text{e}^{-t}$ soit une solution particulière de l'équation différentielle $E$. \item En déduire la solution générale de l'équation différentielle $E$. \item Déterminer la fonction $f$ solution de l'équation différentielle $E$ qui vérifie $f(0,025) = 0$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie 3 :} \emph{Lectures graphiques} \medskip Une personne a ingéré une certaine quantité d'alcool. On s'intéresse à l'évolution du taux d'alcool dans le sang de cette personne, en fonction du temps $t$, en heures. Compte tenu du délai d'absorption par l'organisme, le taux d'alcool dans le sang de cette personne est donné par la fonction $f$ définie sur $[0,025~;~+ \infty[$ par \[f(t) = (2t - 0,05)\text{e}^{-t}.\] La représentation graphique $\mathcal{C}_{f}$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormal est fournie ci-dessous. \begin{center} \psset{unit=1.5cm} \begin{pspicture*}(-2,-0.75)(5.8,1.75) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1) \psaxes(0,0)(-2,-0.75)(5.8,1.75) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4] \uput[d](5.65,0){$t$}\uput[r](0,1.65){$y$} \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5.8}{2 x mul 0.05 sub 2.71828 x exp div} \end{pspicture*} \end{center} \begin{enumerate} \item Déterminer, à l'aide du graphique ci-dessus, pendant combien de temps le taux d'alcool dans le sang de cette personne reste supérieur à $0,5$. \item Déterminer, à l'aide du graphique, à quel instant le taux est maximum et donner ce maximum. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie 4 :} \emph{Étude d'une fonction} \medskip \begin{enumerate} \item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Montrer que $f'(t) = (2,05 - 2t)\text{e}^{-t}$. \item Étudier le signe de $f'(t)$ et en déduire la valeur exacte du maximum de la fonction $f$. \item Démontrer que la fonction $F$ définie sur $[0,025~;~+ \infty[$ par \[F(t) = (-2t -1,95)\text{e}^{-t}\] est une primitive de la fonction $f$ sur $[0,025~;~+ \infty[$. \item On considère $T_{m} = \frac{1}{2}\displaystyle\int_{2}^4 f(t)\:\text{d}t$. $T_{m}$ est le taux d'alcool moyen entre les instants $t = 2$ et $t = 4$. Calculer la valeur exacte de $T_{m}$ et en donner une valeur arrondie à $0,01$ près. \end{enumerate} \end{document}