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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupement C}}
\rfoot{\small{12 mai 2016}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center}{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur 12 mai  2016 Groupement C }}

\vspace{0,25cm}

{\large Les deux exercices sont indépendants}   
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

Une entreprise d'injection plastique est chargée de réaliser par moulage des hélices de mini-drones dans un nouveau matériau plastique.

La fabrication s'effectue en deux temps :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{description}
\item[ ]Phase 1 : injection sous pression de la matière fondue à une température initiale de 240~\degres C et maintien sous pression de la matière pendant les 3 premières secondes du refroidissement.
\item[ ]Phase 2 : poursuite du refroidissement et éjection de l'hélice. 
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

À l'issue de ces deux étapes le moule est refermé et une nouvelle hélice est introduite.

\smallskip

Pour être utilisable, on estime que le matériau plastique ne doit pas avoir perdu plus de 20\,\% de sa température initiale lors des 3 premières secondes du refroidissement.

\smallskip

Lors de la fabrication, afin de maîtriser le refroidissement de l'hélice, on étudie la température $T$ à laquelle le moule doit être maintenu. En effet, pour garantir un remplissage homogène du moule, le matériau plastique ne doit pas refroidir trop vite lors de son injection dans le moule.

\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

Des séries de mesures ont permis de réaliser trois courbes de refroidissement. Elles représentent
l'évolution de la température du matériau plastique (exprimée en degrés Celsius) en fonction du temps
(exprimé en secondes), pour trois valeurs différentes de la température du moule, $T_1,\: T_2$ et $T_3$.

\begin{center}
\psset{xunit=0.27cm,yunit=0.035cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-10)(38,280)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(38,280)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{38}{215 2.71828 0.1 x mul exp div 25 add}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{38}{160 2.71828 0.1 x mul exp div 80 add}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{0}{38}{150 2.71828 0.1 x mul exp div 90 add}
\uput[r](0,270){Température du matériau plastique en \degres C}
\uput[d](33,30){\blue Température $T_3$ du moule}
\uput[d](33,90){\red Température $T_2$ du moule}
\uput[u](33,95){\green Température $T_1$ du moule}
\uput[u](35,0){Temps en s}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Les trois températures satisfont-elles aux conditions souhaitées de fabrication d'une hélice ?

Détailler la réponse.
\item On estime de plus que le matériau a suffisamment durci et que l'hélice peut être éjectée sans risque de déformation lorsque sa température atteint les 100 degrés.

Parmi les températures qui satisfont aux conditions de fabrication, quelle est la température du moule qui permet de fabriquer le plus d'hélices dans un temps donné ? Expliquer.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

On décide de  maintenir le moule  à une température  de 80~\degres C. On s'intéresse à la fonction donnant la température du matériau plastique (exprimée en degrés) en fonction du temps (exprimé en secondes).

On admet que cette fonction est solution de l'équation différentielle $(E)$ :

\[(E) :\quad y' + 0,1y = 8\]

Dans cette équation, $y$ désigne une fonction de la variable réelle $t$,  définie et dérivable sur 
$[0~;~+ \infty[$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle 

\hfill{}$\left(E_0\right)\: :\: y' + 0,1y = 0$.\hfill{}

\item Déterminer le réel $a$ tel que la fonction $g$, définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $g(t) = a$ soit une solution particulière de l'équation $(E)$.

\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.

\item Déterminer la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$, solution de l'équation différentielle $(E)$ satisfaisant aux conditions de température du problème.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 3}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par : 

\[f(t) = 80\left(1 + 2\text{e}^{-0,1t}\right).\]

Cette fonction $f$ donne la température de l'hélice (en degrés) en fonction du temps $t$ (en secondes)
lorsque le moule est maintenu à une température de 80~\degres C.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier par le calcul le sens de variation de la fonction $f$.
		\item Calculer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t)$.
		\item Est-il possible d'interpréter ces résultats dans le contexte du problème ? Si oui, détailler.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation $f(t) = 100$ et donner une valeur approchée par excès à $10^{-1}$ de la ou des solutions éventuelles.
		\item Interpréter ce résultat dans le contexte du problème.
 	\end{enumerate}
\item On souhaite de plus que la température moyenne du matériau plastique, durant la première phase
de fabrication, c'est-à-dire durant les trois premières secondes, ne soit pas inférieure à 210~\degres C.

On donne ci-dessous une copie d'écran obtenue avec un logiciel de calcul formel.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|X X r|}\hline
1	&\multicolumn{2}{|l}{integrer(80*(1 + 2*exp(-0.1*t)),t)	}&\\ \hline
	&									&\rule[-3mm]{0mm}{9mm}80*(t+$\dfrac{2*\text{exp}(- 0.1*t)}{-0.1}$)&M\\ \hline
2	&\multicolumn{2}{|l}{simplifier(80*(t+2*exp(-0.1*t)/(-0.1)))}&\\ \hline
	&		&80*t-1600.0*exp(-0.1*t)&M \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant cette copie d'écran, calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle [0~;~3].
		
On rappelle que la valeur moyenne d'une fonction $f$ sur un intervalle $[a~;~b]$ est : $\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(t)\:\text{d}t$.
		\item La fonction $f$ satisfait-elle la contrainte sur la température moyenne ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie 1 : Production de batteries}

\medskip

L'entreprise BatriPlus fabrique des batteries pour le téléphone Nova4 équipé du système d'exploitation

Dans un souci de contrôle de qualité de sa production, cette entreprise décide de procéder à un contrôle de l'autonomie de ces batteries.

Le contrôle consiste à prélever une batterie au hasard dans la production et, après l'avoir chargée et
insérée dans un téléphone Nova4, de procéder à un test d'autonomie. Ce test est constitué d'une
succession de visionnages vidéo, d'envois de courriels, de conversations téléphoniques, \dots{} On détermine
alors l'autonomie en mesurant le temps écoulé entre le démarrage du test et l'arrêt du téléphone par
décharge de la batterie.

Une batterie est jugée conforme si l'autonomie est supérieure à $10,5$ heures.

On modélise l'autonomie par une variable aléatoire $X$ qui, à toute batterie prélevée au hasard dans la
production, associe son autonomie en heures. On suppose que $X$ suit la loi normale d'espérance $m = 11,5$
et d'écart type $\sigma = 0,53$.

Quelle est la probabilité qu'une batterie, prise au hasard dans la production, soit jugée conforme ?

\bigskip

\textbf{Partie 2 : Commercialisation}

\medskip

La société PieceNov commercialise des lots de pièces détachées pour le téléphone Nova4 auprès de
revendeurs et de réparateurs. Elle s'approvisionne pour 60\,\% de ses batteries auprès de la société
Batriplus et pour le reste auprès de la société ElecBat.

On admet que 97\,\% des batteries fabriquées par BatriPlus et 95\,\% des batteries fabriquées par ElecBat
sont conformes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On prélève une batterie au hasard dans le stock pour la contrôler. On admet que toutes les batteries
ont la même probabilité d'être choisies.

Démontrer que la probabilité que la batterie soit non conforme est $0,038$.
\item La société PièceNov commercialise les batteries par lots de $60$.

On choisit au hasard un lot de 60 batteries dans le stock. On admet que le stock est suffisamment
important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de 60 batteries.

On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque lot de batteries ainsi prélevées, associe le nombre de
batteries non conformes du lot.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
		\item Calculer la probabilité qu'il y ait exactement 2 batteries non conformes dans le lot.
		\item Calculer la probabilité qu'il y ait plus de 4 batteries non conformes dans le lot.
		\item Calculer $E(Y)$.
		
Que représente ce nombre dans le cadre d'un grand nombre de lots ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 3 : Retour sur la production}

\medskip

Lors de la sortie du nouveau système d'exploitation OSNov8, l'entreprise BatriPlus décide de contrôler
l'autonomie des batteries des téléphones Nov4 équipés du nouveau système.

Le responsable de la qualité désire alors savoir si l'utilisation de ce nouveau système d'exploitation a
réduit l'autonomie des batteries.

On construit un test d'hypothèse unilatéral pour savoir si, au seuil de 5\,\%, on doit considérer que
l'autonomie des batteries a diminué avec l'utilisation du nouveau système d'exploitation.

Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de $100$~batteries prélevées au hasard dans la
production, associe son autonomie moyenne. On admet que $X$ suit une loi normale d'espérance $m$ et
d'écart type $\sigma = 0,053$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On choisit l'hypothèse alternative $H_1\: :\: \og  m < 11,5 \fg$.

Donner l 'hypothèse nulle $H_0$.
\item Sous cette hypothèse nulle, on obtient avec un tableur les résultats donnés en annexe 1.

Déterminer une valeur approchée par défaut à $10^{-3}$ du réel $a$ tel que 

$P\left(\overline{X} \geqslant a\right) = 0,95$.
\item Énoncer la règle de décision du test.

On prélève dans le stock un échantillon de $100$ batteries et on mesure leur autonomie.

À l'issue des tests, l'autonomie moyenne des batteries de cet échantillon est de 11,4~h.
\item Peut-on, au seuil de 5\,\%, considérer qu'avec l'utilisation du nouveau système d'exploitation
l'autonomie des batteries a baissé ?
\item Quelle aurait été la conclusion si le test avait été réalisé au seuil de 1\,\% ?
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{\large Annexe 1}

\vspace{1.5cm}

\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
B2 &\multicolumn{4}{|c|}{=LOI.NORMALE (A2 ; 11,5 ; 0,053 ; 1)}\\ \hline
 &A 		&B 											&C  &D\\ \hline
1&$x$		& $P\left(\overline{X} \leqslant  x\right)$	&	&\\ \hline
2&11,398	& 0,0271									&	&\\ \hline
3&11,399	& 0,0283									&	&\\\hline
4&11,400	& 0,0296									&	&\\ \hline
5&11,401	& 0,0309									&	&\\ \hline
6&11,402	& 0,0322									&	&\\ \hline
7&11,403	& 0,0336									&	&\\ \hline
8&11,404	& 0,0350									&	&\\ \hline
9&11,405	& 0,0365									&	&\\ \hline
10&11,406	& 0,0381									&	&\\ \hline
11&11,407	& 0,0397									&	&\\ \hline
12&11,408	& 0,0413									&	&\\ \hline
13&11,409	& 0,0430									&	&\\ \hline
14&11,410	& 0,0447									&	&\\ \hline
15&11,411	& 0,0466									&	&\\ \hline
16&11,412	& 0,0484									&	&\\ \hline
17&11,413	& 0,0503									&	&\\ \hline
18&11,414	& 0,0523									&	&\\ \hline
19&11,415	& 0,0544									&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}