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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~BTS Groupement B  mai 2000~\decofourright\\}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

\textbf{Les trois questions de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip

Une entreprise industrielle utilise de grandes quantités d'un certain type de boulons. Un
contrôle de qualité consiste à vérifier que le diamètre de la tête ou le diamètre du pied d'un
boulon est conforme à la norme en vigueur.

\medskip

\textbf{Dans ce qui suit, tous les résultats approchés seront donnés à $10^{-1}$ près.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un boulon de ce type est considéré comme conforme pour le diamètre de sa tête si celui-ci
est, en millimètres, compris entre $25,30$ et $25,70$.

On note $D$ la variable aléatoire qui, à chaque boulon choisi au hasard dans un lot très
important, associe le diamètre de sa tête.

On suppose que $D$ suit la loi normale de moyenne $25,50$ et d'écart type $0,10$.

Déterminer la probabilité qu'un boulon choisi au hasard dans le lot soit conforme pour le
diamètre de la tête.
\item Dans un lot de ce type de boulons, 96\,\% ont le diamètre de la tête conforme.

On prélève au hasard $10$ boulons de ce lot pour vérification du diamètre de leur tête. Le
stock est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage
avec remise de 10 boulons.

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de $10$ boulons, associe le
nombre de boulons conformes pour le diamètre de la tête.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les
paramètres.
		\item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus un boulon ne soit pas
conforme pour le diamètre de la tête.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on veut contrôler la moyenne $\mu$ de l'ensemble des diamètres, en mm,
des pieds de boulons constituant un stock très important; on se propose de construire un
test d'hypothèse.
	
On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque boulon tiré au hasard dans le stock, associe le
diamètre, en mm, de son pied.
	
La variable aléatoire $Y$ suit la loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et d'écart type $\sigma = 0,1$.
	
On désigne par $\overline{Y}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de $100$ boulons
prélevé dans un stock, associe la moyenne des diamètres des pieds de ces $100$ boulons (le
stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec
remise).

L'hypothèse nulle est H$_0$ : $\mu = 10$. Dans ce cas les boulons du stock sont conformes pour le
diamètre de leur pied.
	
L'hypothèse alternative est H$_1$ : $\mu \ne 10$.
	
Le seuil de signification du test est fixé à $0,05$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que, sous l'hypothèse nulle H$_0$,\: $\overline{Y}$ suit la loi normale de moyenne $10$ et d'écart type $0,01$.
		\item Sous l'hypothèse nulle H$_0$, déterminer le nombre réel positif $h$ tel que
$P(10 - h \leqslant  \overline{Y} \leqslant  10 + h) = 0,95$.
		\item Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test.
		\item On prélève un échantillon de 100 boulons et on observe que, pour cet échantillon, la
moyenne des diamètres des pieds est $\overline{y} = 10,03$.
		
Peut-on, au risque de 5\,\%, conclure que les boulons du stock sont conformes pour le
diamètre de leur pied ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip
 
\emph{L'objectif de cet exercice est de résoudre une équation différentielle dont une solution
particulière est susceptible de définir une fonction de densité en probabilités.}
 
\medskip
 
\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante}
 
\medskip
 
\emph{A . Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle 

\[(E) :\qquad  y'' - 4 y = - \dfrac{16}{3} \text{e}^{-2x}\]

où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R$,\: $y'$ la fonction dérivée de $y$ et $y''$ sa fonction dérivée seconde.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre sur $\R$ l'équation différentielle $\left(E_0\right)\: :\quad  y'' - 4 y = 0$.
\item Vérifier que la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = \dfrac{4}{3} x\text{e}^{-2x}$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.
\item Déterminer la solution particulière $h$ de l'équation différentielle $(E)$ vérifiant les conditions

\[h(0)= \dfrac{4}{3} \quad \text{et} \quad h'(0) = - \dfrac{4}{3}.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\emph{B . Étude d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{4}{3} (1 + x)\text{e}^{- 2 x}.\]

Une représentation graphique $\mathcal{C}$ de $f$, dans un repère
orthogonal, est donnée ci-dessous.
\medskip

\parbox{0.27\linewidth}{\psset{unit=1.25cm}\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(3.2,2.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(3.2,2.2)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3.2}{x 1 add 4 mul 3 div 2.7182818 x 2 mul exp div}
\uput[u](0.2,1.3){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{0.7\linewidth}{\begin{enumerate}
\item Le graphique suggère un sens de variation pour la
fonction $f$. L'objet de cette question est de justifier ce
résultat.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout $x$ de $[0~;~+ \infty[$,\:
		
\[f'(x) = - \dfrac{4}{3}(2x + 1)\text{e}^{-2x}.\]
		
		\item En déduire le sens de variation de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}		}

\begin{enumerate}		
\item[\textbf{2.}] Le graphique permet d'envisager une asymptote en $+ \infty$ pour la courbe 
$\mathcal{C}$. À partir de l'expression de $f(x)$, déterminer une limite de $f$ justifiant cette propriété graphique.
\item[\textbf{3.}]
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide du développement limité au voisinage de $0$ de la fonction exponentielle $t \longmapsto \text{e}^t$, donner le développement limité à l'ordre 3 au voisinage de $0$ de la fonction: $x \longmapsto \text{e}^{- 2 x}$.
		\item En déduire que le développement limité à l'ordre 3 au voisinage de $0$ de la fonction $f$
est :
		
\[f(x) = \dfrac{4}{3} - \dfrac{4}{3}x + \dfrac{8}{9}x^3 + x^3\epsilon(x)\:\:\text{avec}\:\:\displaystyle\lim_{x \to 0} \epsilon(x) = 0.\]

		\item En déduire une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ et la position relative de $\mathcal{C}$ et T, pour $x$ positif au voisinage de $0$.
 	\end{enumerate}
\item[\textbf{4.}]
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide d'une intégration par parties, calculer la valeur exacte de l'intégrale:

\[I = \displaystyle\int_0^3 f(x)\:\text{d}x.\]
		
Donner une valeur approchée, arrondie au centième, de l'intégrale $I$.
		
Donner une interprétation graphique de l'intégrale $I$.
		\item Sur l'écran d'une calculatrice, équipée d'un logiciel particulier (calcul formel), on lit le résultat suivant, où $t$ est un nombre réel positif quelconque : 
		
\[\displaystyle\int_0^3 f(x)\:\text{d}x = \left(- \dfrac{2}{3}t - 1 \right)\text{e}^{-2t} + 1.\]

\textbf{Ce résultat est admis ici et n'a donc pas à être démontré.}

Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to  \infty} \left(- \dfrac{2}{3}t - 1 \right)\text{e}^{-2t}$.
		\item Soit $\mathcal{A}(t)$ l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan limitée par les axes de coordonnées, la courbe $\mathcal{C}$, et la droite d'équation $x = t$ où $t$ est un nombre réel positif.

Déterminer $J = \displaystyle\lim_{t \to + \infty} A(t)$.
		\item Déterminer la valeur exacte de $J - I$  où $I = \mathcal{A}(3)$ a été calculé à la question 4. a., et en déduire la double inégalité : $0 \leqslant  J - I \leqslant 10^{-2}$.

Donner, à l'aide d'une phrase, une interprétation graphique de $J - I$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}