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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Groupement B2 : BTS CIM}}
\rfoot{\small{ mai  2013}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Métropole~\decofourright\\ session mai 2013 - Groupement B2 : BTS CIM}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Avec les notations du formulaire, on a 
\begin{align*}
a(x)&=1\\
b(x)&=0,25x
\end{align*}
d'où $g(x)=\frac{b(x)}{a(x)}=0,25x$ et une primitive est $G(x)=0,125x^2$.

La solution générale de l'équation $(E_0)$ est alors donnée par
\[
y_0(x)=k\e^{-0,125x^2}\qquad\text{avec } k\in\R
\]

\item La fonction $h$ est dérivable sur $\R$, et $h'(x)=0$ pour tout réel donc  
\begin{align*}
 h'(x)+0,25h(x)&=0,25x \times 1 \\
&=0.25x
\end{align*}
c'est-à-dire  que la fonction $h$ est une solution particulière de l'équation
$(E)$.
\item L'ensemble des solutions de $(E)$ est donné par la somme d'une solution
particulière de $(E)$ et de la solution générale de l'équation différentielle
homogène associée $(E_0)$. On obtient alors
\[
y(x)=k\e^{-0,125x^2} + 1 \qquad\text{avec } k\in\R
\]
\item On a déjà 
\[
F(x)=k\e^{-0,125x^2} + 1
\]
et on veut $F(0)=0$, c'est-à-dire
\begin{align*}
 k+1&=0\\
k&=-1
\end{align*}
La fonction cherchée est alors 
\[
F(x)=1-e^{-0,125x^2}
\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item
 La bonne réponse est la réponse $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=0$ car 
 $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\e^{-0.125 x^2}=0$.
		\item
 La bonne réponse est la réponse Asymptote horizontale en $+\infty$ d'équation $y=0$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant la dérivation d'un produit, on a : 
\begin{align*}
f'(x)&=0,25 \e^{-0,125x^2}+0,25 x (-0,125 \times (2x) \times \e ^{-0,125x^2})\\
&=(0,25 - 0,0625x^2)\e^{-0,125x^2}\\
&=0,0625(4-x^2)\e^{-0,125x^2}\\
&=0,0625(2-x)(2+x)\e^{-0,125x^2}
\end{align*}
		\item Comme $0,0625$, $ 2+x$ et $\e^{-0,125x^2}$ sont positifs lorsque $x$ est positif, 
le signe de la dérivée ne dépend que du signe de $2-x$.

Le tableau  de signe de la dérivée de $f$ est le suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,1.4)
\psframe(5,1.4) \psline(0,0.7)(5,0.7)\psline(1,0)(1,1.4)
\rput(0.5,1){$x$}\rput(1.15,1){$0$}\rput(3,1){$2$}\rput(4.5,1){$+ \infty$}
\rput(0.5,0.3){$f'(x)$}\rput(2,0.3){$+$}\rput(3,0.3){$0$}\rput(4,0.3){$-$}
\psline(3,0)(3,0.7)
\end{pspicture}
\end{center}
%version avec tabvar
%\[
%\tabvar{%
%\tx{x}&\tx{0}&&\tx{2}&&\tx{+\infty}\cr
%\tx{f^{\,\prime}(x)}&&\tx{+}&\txt{0}&\tx{-}&\cr
%}
%\]

%version avec Xcas + tablor
%\begin{TV}
%TV([0,+infinity],[],"f","x",1/4*x*exp(-x^2/8),2,n,\tv)
%\end{TV}

\item Tableau  de variation de la fonction $f$

%version avec tabvar
%\[
%\tabvar{%
%\tx{x}&\tx{0}&&\tx{2}&&\tx{+\infty}\cr
%\tx{f(x)}&\txb{0}&\fm&\txh{0,303}&\fd&\txb{0}\cr
%}
%\]

%version avec Xcas + tablor
%\begin{TV}
%TV([0,+infinity],[],"f","x",1/4*x*exp(-x^2/8),0,n,\tv)
%\end{TV}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,2.5)
\psframe(5,2.5) \psline(0,2)(5,2)\psline(1,0)(1,2.5)
\rput(0.5,2.2){$x$}\rput(1.15,2.2){$0$}\rput(3,2.2){$2$}\rput(4.5,2.2){$+ \infty$}
\rput(0.5,1){$f$}\uput[u](1.15,0){$0$}\uput[d](3,2){$\frac{\text{e}^{- \frac{1}{2}}}{2}$}\uput[u](4.5,0){$0$}
\psline{->}(1.5,0.5)(2.5,1.5)\psline{->}(3.5,1.5)(4.5,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}

On a $f(2)\approx 0,303$
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Par troncature à l'ordre 1 du développement limité donné, une équation  de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ est $y=0,25x$.
		\item Pour étudier le positionnement, il convient d'étudier le signe de 
 $-0,03125x^3$, signe identique à celui de $-x^3$.

%version avec tabvar
%\[
%\tabvar{%
%\tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{0}&&\tx{+\infty}\cr
%\tx{-0,03125x^3}&&\tx{+}&\txt{0}&\tx{+}&\cr
%}
%\]

%version avec Xcas + tablor
%\begin{TSc}
%TSc((-x^3),[-infinity,+infinity],[],n,\tv);
%\end{TSc}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,1.4)
\psframe(5,1.4) \psline(0,0.7)(5,0.7)\psline(1,0)(1,1.4)
\rput(0.5,1){$x$}\rput(1.5,1){$- \infty$}\rput(3,1){$0$}\rput(4.5,1){$+ \infty$}
\rput(0.5,0.3){$- x^3$}\rput(2,0.3){$+$}\rput(3,0.3){$0$}\rput(4,0.3){$-$}
\psline(3,0)(3,0.7)
\end{pspicture}
\end{center}

Donc au voisinage de zéro la courbe est en dessous de la tangente (Attention à 
l'ensemble de définition).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On a

\[\begin{cases}
\displaystyle\lim_{x\to +\infty} 1=1\\
\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\e^{-0,125x^2}=0
\end{cases}\] 
  
alors par  soustraction, on a

\[\displaystyle\lim_{x\to +\infty}F(x)=1\]

\item Voyons si $F'(x)=f(x)$ pour tout $x$ réel positif ou nul.

$F'(x)=0-(- 0,125 \times (2x) \times \e^{-0,125x^2}= 0,25x \e^{-0,125x^2}=f(x)$
	\end{enumerate}
\item  
 
\begin{align*}
I	&= \int_{1}^6 f(x) \text{d}\,x\\
	&= F(6) - F(1)\\
	&= \left(1-\e^{-4,5}\right)- \left(1-\e^{-0,125}\right)\\
	&= \e^{-0,125}-\e^{-4,5}
\end{align*}

\item On obtient $I\approx 0,87$.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice Groupe B1}

\medskip 

\textbf{Loi de Poisson}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $P(X=6)=e^{-6} \frac{6^6}{6!}\approx 0,16$
\item $P(X\leqslant 6)= P(X=0)+P(X=1)+ \ldots + P(X=6)$
 
soit $0,61$ (Cumuls des valeurs dans le formulaire ou calculatrice!).
\end{enumerate}

\textbf{Partie : Loi normale}
\begin{enumerate}
 \item La variable aléatoire $Y$ suit la loi normale de moyenne $250$ et
d'écart type $3$ alors la variable aléatoire $T=\frac{X-250}{3}$ suit la loi
normale centrée $\mathcal{N}(0~;~1)$. On a donc :
\begin{align*}
P(245\leqslant Y\leqslant 255)&=P\left(\frac{245-250}{3}\leqslant T\leqslant
\frac{255-250}{3}\right)\\
&=P(-1,67\leqslant T\leqslant 1,67) \\
&=2\Pi(1,67)-1\\
&=2(0,9525)-1\\
&\approx 0,91
\end{align*}

\item On est ramené à $P\left(\frac{-5}{\sigma}\leqslant T\leqslant \frac{5}{\sigma}\right)  = 0,97$

Soit $2 \Pi \left(\frac{5}{\sigma}\right) -1= 0,97$ ou encore $\Pi \left(\frac{5}{\sigma}\right)=0,985$.

On alors  $\Pi \left(\frac{5}{\sigma}\right)=\Pi (2,17)$.

Ainsi $\sigma=\frac{5}{2,17}$ et $\sigma \approx 2,3$.


\end{enumerate}

\textbf{Partie : Loi binomiale}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Chaque prélèvement est constitué de 50 épreuves élémentaires
indépendantes  puisque le prélèvement est assimilé à un tirage avec remise ;

Chaque épreuve élémentaire n'a que deux issues possibles : 
\begin{itemize}
\item soit le succès :  le tube n'est pas conforme de probabilité $p = 0,03$,
\item soit l'échec : le tube est conforme de probabilité $q=1-p = 0,97$ ;
\end{itemize}

La variable aléatoire $Z$ mesure le nombre de succès,

alors la variable aléatoire $Z$ suit la loi binomiale de paramètres $n=50$ et
$p=0,03$.
\item On demande
\begin{align*}
p(Z=0)&=\mathrm{C}_{50}^{0}\,0,03^{0}\times 0,97^{50}\\
&=0,97^{50}\\
&\approx 0,22
\end{align*}
\item On demande
\begin{align*}
 p(Z \geq 1)&=1 - p(Z = 0)   \\
&\approx 0,78
\end{align*}

\end{enumerate}

\textbf{Partie : Test d'hypothèse }

\medskip

\begin{enumerate}
\item On prélève un échantillon de taille 50 tubes dans le lot et on regarde la moyenne des longueurs des tubes $\bar{L}$.
    
Si $\bar{L} \in [249,35~;~250,65]$, on accepte l'hypothèse $H_0$ au seuil de $5\,\%$.
    
Sinon, on rejette $H_0$ et on accepte $H_1$ au seuil de $5\,\%$.
\item La moyenne de l'échantillon est dans la zone  donc on accepte $H_0$ au seuil donné. 
    
Le lot est donc conforme à ce seuil donné.
\end{enumerate}   

\newpage

%\setcounter{num}{1}

\textbf{Exercice  : Groupe B2 : BTS CIM}

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On a 

\[\boxed{f(1) = 2,\quad f(3) = 0,\quad f(3,2)=0}\]

		\item Courbe 

\begin{figure}[h]
\centering
\psset{unit=1.15 cm}
\begin{pspicture}(-4.5,-.5)(8.5,3.5)
\psset{xunit=1cm,yunit=2cm,comma=true}
\psaxes[%
	labelFontSize=\scriptstyle,%
	xticksize= -0.1 4.1cm,%
	yticksize= -4.1 8.1cm,%
	ticklinestyle=dashed,%
	Dy=.5%
	]{-}%
	(0,0)(-4.1,-0.2)(8.1,2.2)
\psline[linecolor=red]{[-[}(-4,2)(-1,2)
\psline[linecolor=red]{[-[}(-1,0)(0,0)
\psline[linecolor=red]{[-[}(0,2)(3,2)
\psline[linecolor=red]{[-[}(3,0)(4,0)
\psline[linecolor=red]{[-[}(4,2)(7,2)
\psline[linecolor=red]{[-[}(7,0)(8,0)

\end{pspicture}
\caption{représentation graphique de la fonction $f$}
\label{b13_ex2_cim}
\end{figure}
	\end{enumerate}

\item La bonne réponse est 

\[\boxed{\text{Si } x\in  [14~;~15],\quad f(x)=2}\]

\item En notant $T$ la période de la fonction, on a $\omega=\frac{2\pi}{T}$, avec ici $T=4$ d'où

\[\boxed{\omega=\frac{\pi}{2}}\]

\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On a 
\begin{align*}
a_0&=\frac14\int_0^4 f(t)\text{d}x[t]\\
&=\frac14\int_0^3 2 \text{d}x[t]\\
&=\frac12 \times 3
\end{align*}
c'est-\`a-dire

\[\boxed{a_0=\frac32}\]

\item
	\begin{enumerate}
		\item Soit $n\geq 1$, on a :
\begin{align*}
I&=\int_0^3\cos n\frac{\pi}{2}t\text{d}x[t]\\
&=\left[\frac{2}{n\pi}\sin n\frac{\pi}{2}t\right]_0^3\\
&=\frac{2}{n\pi}\sin 3n\frac{\pi}{2} - \sin (0)
\end{align*}
d'où

\[\boxed{I=\frac{2}{n\pi}\sin \frac{3n\pi}{2}}\]

		\item On a :
\begin{align*}
a_n&=\frac24\int_0^4 f(t)\cos(n\omega t)\text{d}x[t]\\
&=\frac12\int_0^3 2\times \cos n\frac{\pi}{2}t\text{d}x[t]\\
&=I
\end{align*}
d'où

\[\boxed{\text{Pour tout entier }n\geq 1, \quad a_n=\frac{2}{n\pi}\sin\frac{3n\pi}{2}}\]

\item On obtient immédiatement

\[\boxed{a_1=-\frac{2}{\pi},\quad a_2=0,\quad a_3=\frac{2}{3\pi}}\]

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item

\begin{table}[!ht]
\centering
\caption{Tableau des valeurs prises par $a_n$ et $b_n$ }
\label{tab_ex2_b2}
\begin{tabularx}{12cm}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash$}X<{$}|}}
\hline 
n&0&1&2&3\\ 
\hline
a_n&1,5&-0,637&0&0,212\\
\hline
b_n&&0,637&0,637&0,212\\
\hline
\end{tabularx}
\end{table}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On a

\[\boxed{P\approx 2,90}\]

		\item On en tire alors $\frac{3-P}{3}\approx 0,03$ d'où

\[\boxed{\frac{3-P}{3} < 0,04}\]

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On a 

\[\boxed{f(1)=2,\quad f(3)=0,\quad f(3,2)=0}\]

		\item Courbe 
\begin{figure}[h]
\centering
\psset{unit=1.5 cm}
\begin{pspicture}(-4.5,-.5)(8.5,3)
\psset{xunit=1cm,yunit=2cm}
\psaxes[%
	labelFontSize=\scriptstyle,%
	xticksize= -0.1 4.1cm,%
	yticksize= -4.1 8.1cm,%
	ticklinestyle=dashed,%
	Dy=.5%
	]{-}%
	(0,0)(-4.1,-0.2)(8.1,2.2)
\psline[linecolor=red]{[-[}(-4,2)(-1,2)
\psline[linecolor=red]{[-[}(-1,0)(0,0)
\psline[linecolor=red]{[-[}(0,2)(3,2)
\psline[linecolor=red]{[-[}(3,0)(4,0)
\psline[linecolor=red]{[-[}(4,2)(7,2)
\psline[linecolor=red]{[-[}(7,0)(8,0)
\end{pspicture}
\caption{représentation graphique de la fonction $f$}
\label{b13_ex2_cim}
\end{figure}
	\end{enumerate}
\item La bonne réponse est 

\[\boxed{\text{Si } x\in [14~;~15],\quad f(x)=2}\]

\item En notant $T$ la période de la fonction, on a $\omega=\frac{2\pi}{T}$, avec ici $T = 4$ d'où

\[\boxed{\omega=\frac{\pi}{2}}\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}
%\Partie{}
\medskip

\begin{enumerate}
\item On a 
\begin{align*}
a_0	&=\frac14\int_0^4 f(t)\text{d}\,x[t]\\
	&=\frac14\int_0^3 2 \text{d}\,x[t]\\
	&=\frac12 \times 3
\end{align*}
c'est-à-dire

\[\boxed{a_0=\frac32}\]

\item
	\begin{enumerate}
		\item Soit $n\geq 1$, on a :
\begin{align*}
I	&	=\int_0^3\cos n\frac{\pi}{2}t \text{d}\,x[t]\\
	&	=\left[\dfrac{2}{n\pi}\sin n\frac{\pi}{2}t\right]_{0}^3\\
	&	=\frac{2}{n\pi}\sin 3n\frac{\pi}{2}- \sin (0)
\end{align*}
d'où

\[\boxed{I=\frac{2}{n\pi}\sin\frac{3n\pi}{2}}\]

		\item On a :
\begin{align*}
a_n&=\frac24\int_0^4 f(t)\cos (n\omega t)\text{d}\,x[t]\\
&=\frac12\int_0^3 2\times \cos n\frac{\pi}{2}t\text{d}\,x[t]\\
&=I
\end{align*}
d'où

\[\boxed{\text{Pour tout entier }n\geqslant 1, \quad a_n=\frac{2}{n\pi}\sin\frac{3n\pi}{2}}\]

\item On obtient immédiatement

\[\boxed{a_1 = - \frac{2}{\pi},\quad a_2=0,\quad a_3=\frac{2}{3\pi}}\]

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}
%\Partie{}
\medskip

\begin{enumerate}
\item

\begin{table}[!ht]
\centering
\caption{Tableau des valeurs prises par $a_n$ et $b_n$ }
\label{tab_ex2_b2}
\begin{tabularx}{12cm}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash$}X<{$}|}}\hline 
n	&0	&1		&2		&3\\ \hline
a_n	&1,5&-0,637	&0		&0,212\\\hline
b_n	&	&0,637	&0,637	&0,212\\\hline
\end{tabularx}
\end{table}

\item
	\begin{enumerate}
		\item On a

\[\boxed{P\approx 2,90}\]

		\item On en tire alors $\frac{3-P}{3}\approx 0,03$ d'où

\[\boxed{\frac{3-P}{3}<0,04}\]

	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}