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%Tapuscrit : Denis Vergès
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie Groupe B}}
\rfoot{\small{novembre 2013}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
 {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\session 2013 - groupement B}}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 12 points}

\medskip

On étudie le mouvement d'une masse fixée à l'extrémité d'un ressort
soumis à un mouvement fluide, dans le cas d'un mouvement entretenu.

On considère, dans le repère indiqué sur la figure \ref{fig_GrpB_13C},
l'allongement horizontal $y(x)$ du ressort en fonction du temps $x$.


\begin{figure}[!h]
  \centering
  \begin{pspicture}(-1,-1.7)(8,1.5)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% les points d'ancrage du cylindre et du ressort sont fixes.
% la taille du cylindre peut-être modifié, car N est construit par
% translation des points (O,I,J). Il ne reste qu'à modifier les
% valeurs de distcoef dans la définition de M et N
\psset
{%
  xunit=1,%
  yunit=1,%
  PointName=none,%
  PointSymbol=none,%
  algebraic,%
  DistCoef=0.65,% Régle la position du piston. Doit être compris
                 % entre 0 et 1
}%

\psline[arrows=->](0,0)(8,0) 
\psline(0,-1.7)(0,1.5)
% repère, point fixe du moteur.
\pstGeonode[PosAngle=90](0,0){O}
\pstGeonode[PosAngle=90](1,0){I}
\pstGeonode[PosAngle=90](0,1){J}
% cylindre
\pstGeonode[PosAngle=90](0.5,-1.5){C_1}
\pstTranslation[PosAngle=90,DistCoef=1.5]{O}{I}{C_1}[c_1]
\pstTranslation[PosAngle=90,DistCoef=1]{O}{J}{c_1}[C_2]
\psframe(C_1)(C_2)
% piston
% Pour modifier la position du solide, il suffit de modifier le
% paramètre DistCoef dans la définition de P_1. Attention ce
% nombre doit être compris entre $0$ et $1$.
% Tout le reste de la figure en découle.
% le piston ne pouvant sortir du cylindre
\pstTranslation[PosAngle=90]{C_1}{c_1}{C_1}[P_1]
\pstTranslation[PosAngle=90,DistCoef=1]{c_1}{C_2}{P_1}[P_2]
\pstMiddleAB{P_1}{P_2}{P_3}
\pstMiddleAB{c_1}{C_2}{P_4}
\psline[linewidth=2pt](P_1)(P_2)
\psline[linewidth=2pt](P_3)(P_4)
% Bielle
% La bielle doit être au moins aussi grande que le piston.
% Donc le DistCoef doit être supérieur à 1
% le dessin de la bielle se fait après la position des points
\pstTranslation[PosAngle=90,DistCoef=1.6]{C_1}{c_1}{P_3}[B_1]
 % solide
% Le solide est solidaire de la bielle. On projette la bielle sur
% l'axe. Le point $A_1$ résultant sert de base pour la
% construction du solide.
\newcommand{\largeurS}{0.5}
\newcommand{\hauteurS}{1.25}
\pstProjection{O}{I}{B_1}[A_1]
\pstTranslation[PosAngle=90,DistCoef=-\largeurS]{O}{I}{A_1}[S_1]
\pstTranslation[PosAngle=90,DistCoef=\largeurS]{O}{I}{A_1}[S_2]
\pstTranslation[PosAngle=90,DistCoef=\hauteurS]{O}{J}{S_2}[S_3]
\psframe[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid,framearc=.5](S_1)(S_3)
\pstMiddleAB{S_2}{S_3}{I_2}
\psline(P_4)(B_1)(A_1)
% A_2 point d'ancrage du ressort
\pstTranslation[PosAngle=90,DistCoef=1]{S_2}{I_2}{S_1}[A_2]
% % Ressort
\pstTranslation[PosAngle=90,DistCoef=1]{S_1}{A_2}{O}[R_1]
\pstTranslation[PosAngle=90,DistCoef=1]{P_3}{B_1}{R_1}[R_2]
\pscoil[coilheight=0.55,coilwidth=0.66,linewidth=1.25pt](R_1)(R_2)
% Lignes diverses
\psline(0,-1)(0.5,-1)
\psline[linewidth=1.25pt](R_2)(A_2)
\rput[r](-0.25,0){$O$}
\rput[tl](8.2,0){$y$}
  \end{pspicture}
  \caption{ }
  \label{fig_GrpB_13C}
\end{figure}

\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

\textbf{Partie A : Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

L'étude du système mécanique conduit à considérer l'équation
différentielle (\ref{eq_GrpB_13Ca}) : 

\[y'' + 3 y' + 2y = \text{e}^{-2x},\label{eq_GrpB_13Ca}\tag{E}\]
où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux
fois dérivable sur $[0~;~+ \infty[$, $y'$ sa fonction dérivée et $y''$
sa fonction dérivée seconde.

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation : $ r^2 + 3r +2= 0$.
		\item En déduire les solutions définies sur $[0~;~+ \infty[$ de l'équation    différentielle (\ref{eq_GrpB_13Cb}) : 

    \[    y'' + 3 y' + 2y = 0,\label{eq_GrpB_13Cb}\tag{E'}\]
    
	\end{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $g(x) = -x \text{e}^{-2x}$.  Un  logiciel de calcul formel fournit l'expression de la dérivée et de   la dérivée seconde sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ de $g$ sous la forme  $g'(x) = (2x- 1) \text{e}^{-2x}$ et $g''(x) = (4 - 4x) \text{e}^{-2x}$.  

\emph{Ces résultats sont   admis et ne sont donc pas à démontrer}.  

  Montrer que la fonction $g$ est une solution de l'équation
  différentielle (\ref{eq_GrpB_13Ca}). 
\item En déduire les solutions de l'équation différentielle (\ref{eq_GrpB_13Ca}). 
\item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle (\ref{eq_GrpB_13Ca})
  vérifiant les conditions initiales $f(0) = 0,5$ et $f'(0) = - 2$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : Étude d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$, par $f(x) = (0,5 - x) \text{e}^{-2x}$.

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On admet le résultat suivant : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x\text{e}^{-2x} = 0$.
\begin{enumerate}
\item Calculer: $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
\item En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet une droite
asymptote dont on donnera une équation.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item \emph{Cette question est une question à choix multiples. Une
seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui
vous paraît exacte. On ne demande aucune justification.  La
réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence
de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}  

 
On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$. Une expression de $f'(x)$ est :
      
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}
$f'(x) = (2x - 1)\text{e}^{-2x}$ ;& $f'(x) = (2x - 2)\text{e}^{-2x}$ ;&
$f'(x) = (2x - 3)\text{e}^{-2x}$.
\end{tabularx}
\medskip

\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
\item En déduire que $f$ admet un minimum sur $[0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\item À l'aide du développement limité, à l'ordre $2$, au
voisinage de $0$, de la fonction $t \mapsto \text{e}^{t}$, déterminer le développement limité, à l'ordre $2$, au voisinage de $0$, de la
 fonction : $x \mapsto \text{e}^{-2x}$.
\item En déduire que le développement limité, à l'ordre $2$, au
voisinage de $0$, de la fonction $f$ est : 

\[f(x) = 0,5 -2x + 3x^2 +  x^2 \varepsilon(x) \text{ avec } \displaystyle\lim_{x\to 0} \varepsilon(x) = 0.\]

\item En déduire une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la
    courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
\item \emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule
réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous
paraît exacte. On ne demande aucune justification.  La réponse
juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de
réponse ne rapporte ni n'enlève de point}.

On veut justifier qu'au voisinage du point d'abscisse $0$, la courbe
 $\mathcal{C}$ est au-dessus de la droite $\mathcal{T}$. Recopier sur
votre copie la justification qui vous paraît exacte.

$0,5 -2x$ est positif  au voisinage de $0$    ;

$x^2\varepsilon(x)$ est positif  au voisinage de $0$ ; 

$3x^2$ est positif au voisinage de $0$ ;
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PartieCalcul intégral}

\medskip

On admet qu'une primitive sur $[0~;~+ \infty[$ de la fonction $h$
définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $h(x) = \text{e}^{-2x}$ est la fonction $H$
définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $H(x) = \frac{\text{e}^{-2x}}{2}$. 

\emph{Ce résultat n'est pas à démontrer.}
\begin{enumerate}
\item Calculer l'intégrale $I = \displaystyle\int_{0}^{0,5} \text{e}^{-2x}\: \text{d}x$.
\item On pose $J = \displaystyle\int_{0}^{0,5} f(x) \: \text{d}x$ où $f(x) = (0,5 - x) \text{e}^{-2x}$.
  \begin{enumerate}
  \item À l'aide d'une intégration par parties, montrer que $J =
    \frac{1}{4} - \frac{1}{2}I$.
  \item Donner la valeur approchée de $J$ arrondie à $10^{-2}$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\medskip

\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

Dans une entreprise, deux automates programmables industriels
commandent deux machines $m_1$ et $m_2$ qui produisent des boulons.

\bigskip

\textbf{A. Probabilités conditionnelles}

\medskip

La machine $m_1$ produit 40\,\% des boulons de
l'entreprise dont 2\,\% de boulons défectueux. La machine
$m_2$ produit 60\,\% des boulons de l'entreprise dont 3\,\% de boulons
 défectueux.

On prélève au hasard un boulon dans la production d'une journée. Tous
les boulons ont la même probabilité d'être tirés. 

On considère les évènements suivants : 
\begin{description}
\item[$M_1$ :] \og  le boulon prélevé est produit par la machine $m_1$\fg.
\item[$M_2$ :] \og  le boulon prélevé est produit par la machine $m_2$\fg.
\item[$D\phantom{_{1}}$ :] \og  le boulon prélevé est défectueux\fg.
\end{description}
\begin{enumerate}
\item Déterminer les probabilités $P(M_1)$, $P(M_2)$, $P_{M_1}(D)$ et $P_{M_2}(D)$.

  (On rappelle que $P_{m_1}(D)$ est la probabilité de l'évènement $D$ sachant
  que l'évènement $M_1$ est réalisé.)
\item Calculer $P(M \cap D)$ et $P(M_2 \cap D)$.
\item En déduire que $P(D) = 0,026$.
\item Calculer la probabilité $P_D(M_1)$ que le boulon prélevé provienne de la machine $M_1$ sachant qu'il est défectueux. Donner la valeur approchée arrondie à $10^{- 2}$.

Dans la suite de l'exercice les résultats approchés seront arrondis
à $10^{- 2}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Loi binomiale et loi de Poisson}

\medskip

On prélève au hasard $50$ boulons dans un stock de I'entreprise. On
considère que ce stock est suffisamment important pour assimiler ce
prélèvement à un tirage avec remise de $50$ boulons. On suppose que la
probabilité qu'un boulon prélevé au hasard dans ce stock soit
défectueux est $0,03$. On note $X$ la variable aléatoire qui, à tout
prélèvement ainsi défini, associe le nombre de boulons défectueux.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale
  dont on précisera les paramètres.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, aucun  boulon ne soit défectueux.
		\item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus  deux boulons soient défectueux. 
	\end{enumerate}
\item On considère que la loi de probabilité suivie par la variable
aléatoire $X$ peut être approchée par une loi de Poisson.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le paramètre $\lambda$ de cette loi de Poisson.
		\item On désigne par $Y$ une variable aléatoire suivant la loi de  Poisson de paramètre $\lambda$, oÙ $\lambda$ est la valeur obtenue au a). Calculer $P(Y \leqslant 2)$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C. Test d'hypothèse}

\medskip

On se propose de construire un test d'hypothèse pour contrôler la
moyenne $p$ inconnue des diamètres, exprimés en millimètres, des boulons
produits par la machine $m_1$ durant une journée.

On désigne par $\bar{D}$ la variable aléatoire qui, à chaque
échantillon aléatoire de $50$ boulons prélevés au hasard dans la
production d'une journée de la machine $m_1$, associe la moyenne des
diamètres de ces boulons (la production est suffisamment importante
pour que l'on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec
remise).  

L'hypothèse nulle est $H_0$ : $\mu = 10$. Dans ce cas, on considère
que la machine $m_1$ est bien réglée.  

L'hypothèse alternative est $H_1$ : $\mu \not = 10$.  

Le seuil de signification du test est fixé à 5\,\%.

\begin{enumerate}
\item Sous l'hypothèse nulle $H_0$, on admet que la variable aléatoire
$\overline{D}$ suit la loi normale de moyenne $10$ et d'écart type
$0,16$.

  Déterminer, en utilisant cette loi normale, le nombre réel $h$ positif
  tel que : $P(10- h\leqslant \overline{D} \leqslant 10+h) =0,95$.
\item Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test.
\item  On prélève un échantillon aléatoire de $50$ boulons dans la
production d'une journée de la machine $m_1$ et on observe que, pour
cet échantillon, la moyenne des diamètres des boulons est $\bar{d} =
10,2$.

Peut-on, au seuil de $5$\,\% conclure que la machine
$m_1$ est bien réglée ?
\end{enumerate}
\end{document}