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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupe B}}
\rfoot{\small{9 mai 2017}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur Métropole--Antilles--Guyane\\ 9 mai 2017 - groupement B}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\parbox{0.6\linewidth}{Dans un régulateur de niveau, La hauteur de liquide varie en 
fonction du temps. On note $h(t)$ la hauteur (en mètre) atteinte par le liquide à l'instant $t$ (en heure).

On suppose que $h$ est une fonction de la variable réelle $t$
définie et deux fois dérivable sur $[0~;~+ \infty[$.}\hfill
\parbox{0.38\linewidth}{\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(6.5,9)
\psline[linewidth=1.25pt](2.3,3.7)(2.3,0.2)(5.9,0.2)(5.9,3.7)
\psline[linestyle=dotted](2.3,2.8)(5.9,2.8)
\psline{<->}(2.6,0.2)(2.6,2.8)\uput[r](2.6,1.5){$h(t)$}
\psline(2.3,0.5)(1.6,0.5)
\pscircle(1.35,0.5){0.25}
\psline(1.1,0.5)(0.5,0.5)(0.5,2.5)
\pscircle(0.5,2.75){0.25}
\psline(0.5,3)(0.5,8.2)(1.6,8.2)(1.6,7.4)
\psarc(1.6,7.1){0.3}{0}{180}
\psline(1.3,7.1)(1.9,7.1)
\psline(1.6,7.1)(1.6,6.7)
\pspolygon(1.1,7.1)(2.1,6.3)(2.1,7.1)(1.1,6.3)
\psline(1.1,6.7)(0.5,6.7)
\psline{->}(2.1,6.7)(4.1,6.7)(4.1,4.8)
\end{pspicture}}

\begin{center}
\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}
\end{center}

\textbf{A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

Une étude mécanique montre que la fonction $h$ est solution de l'équation différentielle 

\[(E)\qquad 10y'' + 3 y' + 0,2y = 1,\]

où $y$ est une fonction inconnue de la variable réelle $t$, définie et deux fois dérivable
sur $[0~;~+ \infty[$,\: $y'$ la fonction dérivée de $y$ et $y''$ sa fonction dérivée seconde.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $10r^2 + 3r + 0,2 = 0$.
		\item En déduire les solutions de l'équation différentielle $\left(E_0\right)$ :

		\[10y'' + 3y' + 0,2y = 0.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
		
On fournit les formules suivantes :

\begin{center}		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4cm}|X|}\hline
\textbf{Équations}		& \textbf{Solutions sur un intervalle $I$}\\ \hline
Équations différentielle&Si $\Delta > 0$ :\: $y(t) = \lambda\text{e}^{r_1 t}  + \mu \text{e}^{r_2 t}$, où $r_1$ et $r_2$ les solutions de l'équation caractéristique.\\
$a y''+ by' + cy = 0$.	&Si $\Delta = 0$ :\: $y(t) =  (\lambda t + \mu)\text{e}^{rt}$, où  $r$ est la racine double  de l'équation caractéristique.\\
Équation caractéristique : 
$ar^2 + br + c = 0$ de discriminant $\Delta$.&Si $\Delta < 0$ : $y(t) = \left[\lambda \cos (\beta t) + \mu \sin(\beta t)\right]\text{e}^{\alpha t}$, où $r_1 = \alpha + \text{i} \beta$ et $r_2 = \alpha - \text{i}\beta$  sont les racines complexes conjuguées de l'équation caractéristique.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}		

\begin{enumerate}[resume]
\item Vérifier que la fonction $g$, définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $g(t) = 5$, est une solution de l'équation différentielle $(E)$.
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.
\item Les conditions initiales du système mécanique conduisent à poser $h(0) = 8$ et $h'(0) = 0$. 
Un logiciel de calcul formel fournit l'expression suivante de la fonction $h$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|X|}\hline
\multicolumn{2}{|l|}{$\triangleright$ \textbf{Calcul formel}}\\ \hline
1	&RésolEquaDiff[$10y''+3y'+0,2y = 1, y, t, (0, 8), (0, 0)$]\\
	&$\to y = 6 \text{e}^{-\frac{t}{10}} - 3\text{e}^{- \frac{t}{5}} + 5$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Quelle est la hauteur du liquide au bout de deux heures ? Arrondir au dixième.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{B. Étude de fonction}

\medskip

On considère la fonction $h$ définie et dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ par:

\[h(t) = 6 \text{e}^{-0,1 t} - 3 \text{e}^{-0,2t} + 5.\]

On note $C$ la courbe représentative de $h$ dans un repère orthogonal et on appelle $D$ la droite
d'équation $y = 5$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}h(t) = 5$.
		\item Interpréter graphiquement le résultat précédent.
	\end{enumerate}
\item Déterminer une expression de $h'(t)$.
\item Un logiciel de calcul formel fournit le résultat suivant, qui est admis : l'ensemble des
solutions de l'inéquation $h'(t) \leqslant  0$ est l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|X|}\hline
\multicolumn{2}{|l|}{$\triangleright$ \textbf{Calcul formel}}\\ \hline	
1 &$h(t)$:=6$*$exp($-$0.1$*$t)$-$ 3$*$exp($-0.2t$) + 5\\ 
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=black](0,0.08){0.1}&$\to  h(t)$ := $-3 \text{e}^{-\frac{1}{5}t} + 6 \text{e}^{-\frac{1}{10}t} + 5$\\ \hline
2 &Résoudre[Dérivée$[h(t), t]\leqslant 0, t]$\\
\pscircle(0,0.08){0.1}&$\to  \{t \geqslant 0\}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Dresser le tableau de variation de la fonction $h$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Étude locale}

\medskip

On rappelle que la fonction $h$ est définie et dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ par :

\[h(t) = 6 \text{e}^{-0,1t} - 3 \text{e}^{-0,2t} + 5.\]

On note $C$ la courbe représentative de $h$ dans un repère orthogonal et on appelle $T$ la
tangente à la courbe $C$ au point d'abscisse $0$.

Un logiciel de calcul formel affiche la partie régulière du développement limité à l'ordre 2 de
fonction $h$ au voisinage de zéro.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|X|}\hline
\multicolumn{2}{|l|}{$\triangleright$ \textbf{Calcul formel}}\\ \hline
1 &$h(t)$:=6*exp($-0.1$*t)$-$3*exp($-0.2$t)+5\\ 
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=black](0,0.08){0.1}&$\to  h(t)$ := $-3 \text{e}^{-\frac{1}{5}t} + 6 \text{e}^{-\frac{1}{10}t} + 5$\\ \hline
&PolynômeTaylor$[h(t), t,  0, 2]$\\
2 &$\to 8 - \dfrac{3}{100}t^2$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item \emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte.
Recopier sur  la copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne demande aucune justification.\\
La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne
rapporte ni n'enlève de point.}

\medskip

Le développement limité de la fonction $h$, à l'ordre 2, au voisinage de $0$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\rule{0pt}{3.3ex}	% correction pour l'affichage de la fraction dans la cellule
\rule[-2ex]{0pt}{0pt}	% idem bas
$8 - 0,3t^2$&
 $8 - \dfrac{3}{100}t^2 + t^2 \epsilon(t)$ avec $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \epsilon(t) = 0$
 &$8 - \dfrac{3}{100}t^2 + t^2 \epsilon(t)$  avec $\displaystyle\lim_{t \to 0} \epsilon(t) = 0$&$- \dfrac{3}{100}t^2 + t^2 \epsilon(t)$ 
avec $\displaystyle\lim_{t \to 0} \epsilon(t) = 0$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item \emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte.\\
Recopier sur la copie la réponse qui vous parait exacte. On ne demande aucune justification.\\
La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne
rapporte ni n'enlève de point.}

\medskip

Une équation de la tangente $T$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\rule{0pt}{3.3ex}	% correction pour l'affichage de la fraction dans la cellule
\rule[-2ex]{0pt}{0pt}	% idem bas
$y  = - \dfrac{3}{100}t^2$& $y=8 - \dfrac{3}{100}t^2$& $y=8$&$y = 8t$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Étudier la position relative, au voisinage du point d'abscisse $0$, de la courbe $C$ et de la
tangente $T$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\begin{center}\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.\\
Dans cet exercice, sauf mention du contraire, les résultats approchés
sont à arrondir à \boldmath$10^{- 4}$.}
\end{center}



Une entreprise de métallurgie conçoit des pièces pour l'industrie aéronautique.

\medskip

\textbf{A. Loi exponentielle}

\medskip

Cette entreprise fabrique un certain type de plaques métalliques destinées à la conception
des carlingues d'avion. Une machine permet de découper ces plaques métalliques. de
manière autonome. Cette machine nécessite d'être étalonnée régulièrement.

On considère que la durée de bon fonctionnement, exprimée en heure, entre deux
étalonnages, est modélisée par une variable aléatoire $T$ de loi exponentielle de paramètre
$\lambda = 2 \times 10^{-4}$.

On rappelle que :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item pour tout nombre réel positif $t$, on a $P(T \leqslant t) = 1 - \text{e}^{- \lambda t}$,
\item l'espérance $E(T)$ de la variable aléatoire $T$ est égale à $E(T) = \dfrac{1}{\lambda}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $P(T \leqslant \np{2000})$.
\item Déterminer la probabilité que la durée de bon fonctionnement de cette machine dépasse
\np{10000} heures.
\item Calculer $E(T)$ puis interpréter ce nombre dans le contexte.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Loi binomiale et approximation par une loi normale}

\medskip

l'entreprise fabrique également des billes d'acier destinées à l'élaboration de roulements à
billes. On suppose que 0,5\,\% des billes fabriquées en usine présentent un défaut de
fabrication.

On prélève au hasard un échantillon de \np{1000}~billes dans l'ensemble de la production (la
production est assez importante pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à des tirages
avec remise de \np{1000}~billes). 

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de billes qui présentent un défaut de fabrication.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les
paramètres.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $p(X = 0)$. Interpréter le résultat obtenu.
		\item En déduire la probabilité qu'au moins une bille de l'échantillon présente un défaut de
fabrication.
	\end{enumerate}		
\item On décide d'approcher la loi de la variable aléatoire $X$ par la loi normale de moyenne $5$ et
d'écart type $2,2$. 
		
On note $Y$ une variable aléatoire suivant cette loi normale.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier les valeurs des paramètres de cette loi normale.
		\item Déterminer, à l'aide de cette approximation, la probabilité qu'il y ait au plus 7 billes présentant un défaut de fabrication dans le lot de \np{1000}~billes, c'est-à-dire calculer
$P(Y \leqslant 7,5)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C. Test d'hypothèse}

\medskip

On se propose de construire un test d'hypothèse bilatéral pour contrôler la moyenne $\mu$ de
l'ensemble des diamètres, en millimètre, des billes constituant la prochaine livraison à
effectuer.

On note $Z$ la variable aléatoire qui, à chaque bille prélevée au hasard dans la livraison,
associe son diamètre en millimètre. La variable aléatoire Z suit une loi normale de moyenne
inconnue $\mu$ et d'écart type $\sigma = 0,15$.

On désigne par $\overline{Z}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de $100$~billes prélevé dans la livraison, associe la moyenne des diamètres de ces billes. La livraison est suffisamment importante pour que l'on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec
remise.

L'hypothèse nulle $H_0$ est : \og $\mu = 55$ \fg, dans ce cas la livraison est dite conforme pour le
diamètre.

L'hypothèse alternative $H_1$ est : \og $\mu \ne 55$ \fg.

Le seuil de signification du test est fixé à 5\,\%.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que, sous l'hypothèse nulle $H_0$, la variable aléatoire $\overline{Z}$ suit la loi normale de moyenne $55$ et d'écart type $\sigma = 0,015$. 

On souhaite déterminer, sous l'hypothèse nulle $H_0$,
le réel positif $h$ tel que 

$P\left(55 - h \leqslant \overline{Z} \leqslant 55 + h\right) = 0,95$.

\smallskip

\emph{Cette question est un questionnaire à choix multiples. Une seule réponse est correcte.\\
Indiquer sur la copie la réponse correcte. On ne demande aucune justification.\\
La réponse correcte rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne
rapporte ni n'enlève de point.}

\smallskip

La valeur approchée de $h$ arrondie au centième est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
0,02 &0,03 &0,04\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test.
\item On prélève un échantillon aléatoire de $100$~billes dans la livraison. La moyenne des
diamètres des $100$~billes de cet échantillon est $\overline{z} = 55,06$~mm.

Quelle est la conclusion du test ?
\end{enumerate}
\end{document}