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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupe B1}}
\rfoot{\small{13 mai 2014}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur Métropole--Antilles--Guyane\\ session 2014 - groupement B1}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\begin{center}\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}
\end{center} 

\textbf{A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip
 
On considère l'équation différentielle 
 
\[(E) :\quad  y" + 2 y' + y = 2 \text{e}^{-x},\]
  
où $y$ est une fonction inconnue de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R$, $y'$ la fonction dérivée de $y$ et $y''$ sa fonction dérivée seconde.
  
  \medskip
   
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $r^2 + 2 r + 1 = 0$. 
		\item En déduire les solutions définies sur $\R$ de l'équation différentielle 
		\[\left(E_{0}\right) :\quad  y'' + 2 y' + y = 0.\]
		
	\end{enumerate} 
\item \emph{Cette question est un questionnaire à choix multiples. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous paraÎt exacte. On ne demande aucune justification. La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}
	
\medskip
	 
Une solution de l'équation différentielle $(E)$ est donnée par la fonction définie sur $\R$ par l'expression ci-dessous.
	 
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$g(x) = 2 \text{e}^{-x}$& $h(x) = x^2 \text{e}^{-x} $&$k(x) = 2x\text{e}^{-x}$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
	  
Les dérivées première et seconde de ces fonctions sont données ci-dessous (ces calculs 
sont exacts).

\medskip
\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
$g'(x) = - 2\text{e}^{-x}$& 	$h'(x) = \left(2x - x^2\right)\text{e}^{-x}$&$k'(x) = (2 - 2x)\text{e}^{-x}$\\ 
$g''(x) = 2\text{e}^{-x}$ &$h''(x) = \left(x^2 - 4x + 2\right)\text{e}^{-x}$& 
 $k''(x) = (- 4 + 2x)\text{e}^{-x}$\\
\end{tabularx}
\medskip
 
\item En déduire les solutions de l'équation différentielle $(E)$. 
\item Déterminer la solution (de J'équation différentielle $(E)$ qui vérifie les conditions initiales $f(0) = - 1$ et $f'(0) = 1$.
   \end{enumerate}
   
\bigskip
    
\textbf{B. Étude d'une fonction}
    
\medskip
     
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 
     
\[f(x) = \left(x^2 - 1\right)\text{e}^{-x}.\]
      
 
On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère \Oij.
      
\medskip
       
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Un logiciel de calcul formel fournit ci-dessous une expression de la dérivée de $f$. Ce logiciel note \%$\text{e}^{-x}$ la quantité $\text{e}^{-x}$. 

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
(\%i1)& $f(x) : = \left(x^2 - 1\right) * \%\text{e}^{-x}$\rule[-3mm]{0mm}{8mm} ;\\
(\%o1)& $f(x) : = \left(x^2 - 1\right)\%\text{e}^{-x}$ \\
&\\
(\%i2) &factor(diff$(f(x),\:x)$ ;\\ 
(\%o2)&$- \left(x^2 - 2x - 1\right)\%\text{e}^{-x}$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 
 
Justifier par un calcul l'expression de $f'(x)$ affichée à la ligne notée (\%o2).
		\item On rappelle qu'une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $a$ est donnée par : $y = f'(a) (x - a) + f(a)$.

Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.		  
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide du développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction $t \longmapsto \text{e}^t$, déterminer le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction : $x \longmapsto \text{e}^{-x}$.
		\item En déduire que le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction $f$ est : 
		
\[f(x) = - 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + x^2\epsilon (x)\quad  \text{avec}\quad  \displaystyle\lim_{x \to 0} \epsilon(x) = 0.\]

		\item \emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne demande aucune justification.}
		 
\emph{La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}
		  
On veut justifier qu'au voisinage du point d'abscisse $0$, la courbe $\mathcal{C}$ est au-dessus de la droite $T$. Recopier sur la copie la justification qui vous paraît exacte.
		  
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$- 1 + x$ est positif au voisinage de $0$.&$\dfrac{x^2}{2}$	est positif au voisinage de $0$.&\rule[-0mm]{0mm}{7mm}$x^2 \epsilon(x)$ est positif au voisinage de $0$.\rule[-4mm]{0mm}{7mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 			 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C. Calcul intégral}
 
 \medskip
  
\begin{enumerate}
\item On note $I = \displaystyle\int_{1}^3  f(x)\:\text{d}x$ où $f$ est la fonction définie dans la partie B. 
	\begin{enumerate}
		\item Un logiciel de calcul formel fournit, à la ligne notée (\%o3), une primitive sur $\R$ de la fonction $f$. Ce logiciel note \%$\text{e}^{-x}$ l'expression $\text{e}^{-x}$.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline		 
(\%i3)&factor(integrate $(f(x),x)$) ;\\ 
(\%o3)& $-(x + 1)^2 \%\text{e}^{-x}$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 
 
Justifier ce résultat.
		\item Montrer que la valeur exacte de $I$ est : $I = 4 \text{e}^{-1} - 16\text{e}^{-3}$.
	 \end{enumerate} 
\item \emph{Cette question est un questionnaire à choix multiples. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous paraÎt exacte. On ne demande aucune justification. La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}
	  
On admet que $f(x)$ est positif pour $x$ dans l'intervalle [1~;~3].
	  
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$I$ est une mesure, en unités d'aire, de l'aire de la partie  du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 3$.&$I$ est une mesure, en cm$^2$ de l'aire de la partie  du plan	comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 3$.&$I$ est une mesure, en unités d'aire de l'aire de la partie	du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équation $y = 1$ et $y = 3$.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\begin{center}	 
\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.\\ 
Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à } \boldmath $10^{-3}$\unboldmath
\end{center}
 
Un fournisseur d'accès à Internet étudie les défaillances de son système de transmission par ADSL.
 
 \medskip
  
\textbf{A. Évènements indépendants}
  
\medskip
   
On considère que les défauts d'éligibilité à l'ADSL sont dus à deux causes principales :

\begin{itemize}
\item le diamètre des fils de cuivre utilisés entre le central et le domicile de l'abonné est trop faible (inférieur à 0,4~mm) ; 
\item la distance entre le domicile de l'abonné et le central téléphonique est trop importante.
\end{itemize}
 
On considère un abonné pris au hasard dans un département donné. On note $A$ l'évènement \og le diamètre des fils de cuivres entre le central et le domicile de cet abonné est trop faible \fg, et $B$ l'évènement \og la distance entre le domicile de cet abonné et le central téléphonique est trop importante \fg.
  
Une étude statistique permet d'admettre que les probabilités des évènements $A$ et $B$ sont : 
$p(A) = 0,02$ et $p(B) = 0,085$.
   
On suppose que les évènements $A$ et $B$ sont indépendants.
    
Calculer la probabilité des deux évènements suivants :
     
\begin{enumerate}
\item $E_{1}$ : \og la ligne téléphonique de l'abonné possède les deux défauts d'éligibilité à l'ADSL \fg.
\item $E_{2}$ : \og la ligne téléphonique de l'abonné possède au moins un des deux défauts d'éligibilité à l'ADSL \fg.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{B. Loi binomiale et loi de Poisson}
 
 \medskip
  
Les données utilisateur sont transmises par trames de $53$ octets. Dans une connexion, on prélève une trame au hasard. La connexion est suffisamment importante pour assimiler ce prélèvement à un tirage au hasard et avec remise de $53$ octets parmi l'ensemble des octets transmis lors de la connexion.
   
On suppose que la probabilité qu'un octet prélevé au hasard dans la connexion contienne une erreur est $0,03$.
    
On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de $53$ octets ainsi défini, associe le nombre d'octets contenant une erreur.
    
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 
\item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, aucun octet ne contienne une erreur. 
\item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus trois octets contiennent une erreur. 
\item On considère que la loi suivie par $X$ peut être approchée par une loi de Poisson.

 Justifier que le paramètre de cette loi de Poisson est $\lambda = 1,59$. 
\item On désigne par $Y$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre le $\lambda = 1,59$. 
 
Calculer, à l'aide de la calculatrice : 
	\begin{enumerate}
		\item $P (Y = 0)$ ; 
		\item $P(Y \leqslant 3)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
		
\bigskip

\textbf{C. Intervalle de confiance}
 
\medskip
  
Dans cette partie, on considère un stock de rouleaux de câbles de cuivre destiné à la livraison à une entreprise d'installation de lignes téléphoniques. On souhaite estimer la fréquence inconnue $p$ des rouleaux de ce stock ayant une section inférieure à $0,4$~mm. 
  
On prélève un échantillon aléatoire de $100$~rouleaux dans ce stock. Ce stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de $100$ ~rouleaux.
 
On constate que seuls $4$ rouleaux de cet échantillon ont une section inférieure à $0,4$~ mm.
 
 \medskip
  
\begin{enumerate}
\item Donner une estimation ponctuelle de la fréquence inconnue $p$ des rouleaux de ce stock ayant une section inférieure à $0,4$~mm. 
\item Soit $F$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de $100$~rouleaux ainsi prélevé dans ce stock, associe la fréquence des rouleaux de cet échantillon ayant une section inférieure à $0,4$~mm. 

On suppose que $F$ suit la loi normale de moyenne inconnue $p$ et d'écart type $\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{100}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer un intervalle de confiance de la fréquence $p$ avec le coefficient de confiance 95\,\%. 
		\item On considère l'affirmation suivante : \og la fréquence $p$ est obligatoirement dans l'intervalle de confiance obtenu à la question 2. a. \fg.
		 
Cette affirmation est-elle vraie ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}