%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-eucl,pst-node,pst-circ} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS groupement B}, pdftitle = {12 mai 2016}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur} \lfoot{\small{Groupe B}} \rfoot{\small{12 mai 2016}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur Métropole--Antilles--Guyane\\ 12 mai 2016 - groupement B}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip \parbox{0.55\linewidth}{ Une société utilise, dans le cadre de son activité de nettoyage de vitres, une nacelle élévatrice à mât télescopique vertical. On souhaite étudier la durée nécessaire pour que la nacelle atteigne sa hauteur opérationnelle. On note $f(t)$ la hauteur, en mètre de la nacelle à l'instant $t$, en seconde. On suppose que $f$ une fonction de la variable $t$ définie et dérivable sur $[0~;~+ \infty[$.}\hfill \parbox{0.35\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(5,7) \psframe*(0,0)(0.2,0.2)\psframe*(1,0)(1.2,0.2) \psframe(0.2,0.1)(1,0.3) \psframe(0.3,0.3)(0.9,1.7) \psframe(0.4,1.7)(0.8,2.9) \psframe(0.5,2.9)(0.7,4.6) \psframe(0.4,4.6)(1.4,4.8) \pspolygon*(1.2,4.6)(1.45,4.6)(3.15,6.1)(2.9,6.1) \psframe(2.9,6.1)(3.9,6.25) \pspolygon(2.9,6.25)(3.9,6.25)(4.1,6.55)(2.9,6.55) \pspolygon(2.9,6.55)(4.1,6.55)(3.9,6.75)(2.9,6.75)(2.9,6.55) \psset{arrowsize=2pt 4} \psline[linestyle=dashed]{<->}(4.4,0)(4.4,6.1) \psline[linestyle=dashed](4.4,0)(1.2,0) \psline[linestyle=dashed](4.4,6.1)(3.9,6.1) \uput[l](4.4,3.05){$f(t)$} \end{pspicture} } \begin{center} \textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}\end{center} \bigskip \textbf{A. Résolution d'une équation différentielle} \medskip On considère l'équation différentielle $(E)$ : \[y'+ 0,3y = 3,6\] où $y$ est une fonction inconnue de la variable réelle $t$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$. \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre l'équation différentielle $\left(E_0\right)$ : \[y'+ 0,3y = 0.\] On fournit les formules suivantes. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline Équation différentielle &Solutions sur un intervalle $I$\\ \hline $y' + ay = 0$ &$h(t) = k\text{e}^{- at}$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Vérifier que la fonction $g$, définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $g(t) = 12$, est une solution de l'équation différentielle $(E)$. \item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$. \item \emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte.\\ Recopier sur la copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne demande aucune justification.\\ La réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.} \smallskip On a représenté ci-dessous â l'aide d'un logiciel, certaines solutions de l'équation différentielle $(E)$. \begin{center} \psset{unit=0.5cm} \begin{pspicture}(-2,-11)(13,12.2) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-2,-11)(13,12.2) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(13,12.2) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{13}{12 2.71828 0.3 x mul neg exp 22 mul sub} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linestyle=dotted]{0}{13}{12 2.71828 0.3 x mul neg exp 12 mul sub} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{0}{13}{12 2.71828 0.3 x mul neg exp 10 mul sub} \uput[u](1,5.75){$C_3$}\uput[d](1,2){$C_2$}\uput[d](1,-6){\blue $C_1$} \end{pspicture} \end{center} La courbe représentative de la solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie la condition initiale $f(0) = 2$ est : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline la courbe $C_1$&la courbe $C_2$&la courbe $C_3$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{enumerate} \bigskip \textbf{B. Étude de fonction et application} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par \[f(t) = - 10\text{e}^{- 0,3t} + 12.\] On rappelle que $f(t)$ désigne la hauteur de la nacelle, exprimée en mètre, à l'instant $t$, exprimé en seconde. On désigne par $C$ la courbe représentative de $f$ dans un repère \Oij. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la hauteur de la nacelle à l'instant $t = 0$. \item Un logiciel de calcul formel fournit les résultats suivants que l'on admet et qui pourront être exploités dans les questions suivantes. \begin{center} \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|X|}\hline \multicolumn{2}{|l|}{Calcul formel}\\ \hline 1 & $f(t) : = - 10*\text{exp}(- 0,3t) + 12$\\ &$\to \quad f(t) : = - 10\text{e}^{-\frac{3}{10}t} + 12 $\\ \hline 2 &Limite $[f(t), + \infty]$\\ &$\to 12$\\ \hline 3 &$f(t)$\\ &Dérivée : $3\text{e}^{-\frac{3}{10}t}$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Justifier que la courbe $C$ admet une asymptote dont on donnera une équation. \item Déterminer le signe de $f'(t)$ sur $[0~;~+ \infty[$ puis on déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur cet intervalle, \item La vitesse de la nacelle, en mètre par seconde, à l'instant $t$, exprimé en seconde, est modélisée par $f'(t)$. Calculer la vitesse de la nacelle à l'instant $t = 0$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{C. Algorithmique et application} \medskip On considère que la nacelle est stabilisée dès lors que sa hauteur $f(t)$ à l'instant $t$ vérifie l'encadrement : \[11,9 \leqslant f(t) \leqslant 12.\] On rappelle que la fonction $f$ est définie sur $[0~;~+ \infty[$ par \[f(t) = - 10 \text{e}^{-0,3t} + 12.\] L'objectif de cette partie est de déterminer à partir de quel instant la nacelle peut être considérée comme stabilisée. \begin{enumerate} \item On considère l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l|X|}\hline Variable : &$t$ est un nombre réel\\ Initialisation : &$t$ prend la valeur 0\\ Traitement : &Tant que $f(t) < 11,9$\\ &\hspace{0,5cm} $t$ prend la valeur $t + 1$\\ &Fin de Tant que\\ Affichage : &Afficher $t$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Faire tourner cet algorithme \og à la main \fg{} en complétant le tableau ci-dessous que l'on recopiera sur la copie. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Étapes &Valeur de $t$ &Valeur de $f(t)$ &\small Condition $f(t) < 11,9$& Affichage\\ \hline étape 1 &0 &$f(0) = 2$ &VRAIE & aucun\\ \hline étape 2 &1 &$f(1) \approx 4,59$&VRAIE & aucun\\ \hline \ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots\\ \hline étape 14&13 &$f(13)\approx 11,80$& &\\ \hline étape 15& & & &\\ \hline étape 16& & & &\\ \hline étape 17& & & &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item À partir de quel instant $t_0$, arrondi à la seconde, peut-on considérer que la nacelle est stabilisée ? \item Proposer une modification de l'algorithme précédent afin qu'il permette d'obtenir une valeur approchée de $t_0$ arrondie au dixième. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points} \medskip \begin{center}\textbf{Les quatre parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.\\ Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à \boldmath$10^{-3}$\unboldmath.}\end{center} Une entreprise conçoit des composants électroniques pour l"industrie automobile. \bigskip \textbf{A. Loi exponentielle} \medskip Cette entreprise fabrique notamment un certain type de transistors. On note $T$ la variable aléatoire qui, à un transistor de ce type prélevé au hasard dans la production, associe sa durée de fonctionnement exprimée en heures. On admet que $T$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 5 \times 10^{- 6}$. On rappelle que : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item pour tout nombre réel positif $t$, on a $P(T \leqslant t) = 1 - \text{e}^{- \lambda t}$. \item l'espérance $E(T)$ de la variable aléatoire $T$ est égale à $E(T) = \dfrac{1}{\lambda}$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Déterminer $P(T \leqslant \np{5000})$. \item Déterminer la probabilité qu'un transistor prélevé au hasard fonctionne plus de \np{10000} heures. \item \emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte.\\ Recopier sur la copie le réponse qui vous paraît exacte, On ne demande aucune justification.\\ La réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.} \smallskip La durée moyenne de fonctionnement d'un transistor de ce type est : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline environ \np{200000} ans& environ 23 ans& environ un an\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{enumerate} \bigskip \textbf{B. Probabilités conditionnelles} \medskip L'entreprise dispose de deux sites de production : un premier site désigné par \og site A \fg{} et un second site désigné par \og site B \fg. Ces deux sites produisent des transistors. On admet que 80\,\% des transistors sont fabriqués sur le site A. On estime que 1\,\% des transistors fabriqués sur le site A sont défectueux, tandis que 3\,\% des transistors fabriqués sur le site B sont défectueux. On prélève au hasard un transistor dans l'ensemble de la production de transistors de cette entreprise. Tous les transistors ont la même probabilité d'être prélevés. On considère les évènements suivants : \setlength\parindent{8mm} \begin{description} \item[ ] $A$ : \og le transistor prélevé provient du site A \fg{} ; \item[ ] $B$ : \og le transistor prélevé provient du site B \fg{} ; \item[ ] $D$ : \og le transistor prélevé est défectueux \fg. \end{description} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Donner, à partir des informations figurant dans l'énoncé, les probabilités $P(A),\: P(B),\: P_A(D)$ et $P_B(D)$. (On rappelle que $P_A(D)$ est la probabilité de l'évènement $D$ sachant que l'événement $A$ est réalisé). \item \begin{enumerate} \item Construire un arbre da probabilité ou un tableau correspondant à la situation. \item Calculer $P(D)$. \end{enumerate} \item Calculer la probabilité que le transistor prélevé provienne du site A sachant qu'il est défectueux. \end{enumerate} \bigskip \textbf{C. Loi binomiale} \medskip Un constructeur automobile sous-traite à cette entreprise la fabrication des cartes d'acquisition GPS pour la navigation embarquée ce qui nécessite des transistors. L'entreprise constitue à cet effet un stock important de transistors. On prélève au hasard dans ce stock $150$ transistors pour vérification. On note $E$ l'évènement : \og un transistor prélevé au hasard dans le stock est défectueux \fg. On suppose que $P(E) = 0,014$. On suppose que le stock est suffisamment important pour assimiler le prélèvement des $150$~transistors à un tirage avec remise. On considère la variable aléatoire $X$ qui à tout prélèvement de $150$~transistors ainsi défini, associe le nombre de transistors défectueux. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. \item Déterminer, à l'aide de la calculatrice $P(X = 2)$. \item Déterminer la probabilité qu'il y ait au moins un transistor défectueux parmi le prélèvement de $150$~transistors. \end{enumerate} \bigskip \textbf{D. Intervalle de confiance} \medskip Dans cette partie on s'intéresse à la fabrication de condensateurs. On souhaite estimer la proportion $p$ de condensateurs non conformes dans l'ensemble de la production. Pour cela on prélève au hasard un échantillon de $200$ condensateurs dans la production. Cette production est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de $200$~condensateurs. On constate que 12 condensateurs de cet échantillon ne sont pas conformes. \medskip \begin{enumerate} \item Donner une estimation ponctuelle de la proportion inconnue $p$ de condensateurs non conformes dans la production. \item Soit $F$ la variable aléatoire qui à tout échantillon de $200$~condensateurs ainsi prélevé dans la production, associe la fréquence de condensateurs non conformes. On suppose que $F$ suit la loi normale de moyenne inconnue $p$ et d'écart type $\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{200}}$. \begin{enumerate} \item Déterminer un intervalle de confiance de la proportion $p$ au niveau de confiance de 95\,\%. \item Est-on certain que la proportion $p$ appartienne à cet intervalle de confiance ? Pourquoi ? \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}