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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupe B2}}
\rfoot{\small{13 mai 2014}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur Métropole--Antilles--Guyane\\ session 2014 - groupement B2}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\begin{center}\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}
\end{center} 

\textbf{A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip
 
On considère l'équation différentielle 
 
 \[(E) :\quad  y" + 2 y' + y = 2 \text{e}^{-x},\]
  
où $y$ est une fonction inconnue de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R$, $y'$ la fonction dérivée de $y$ et $y''$ sa fonction dérivée seconde.
  
  \medskip
   
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $r^2 + 2 r + 1 = 0$. 
		\item En déduire les solutions définies sur $\R$ de l'équation différentielle 
		\[\left(E_{0}\right) :\quad  y'' + 2 y' + y = 0.\]
		
	\end{enumerate} 
\item \emph{Cette question est un questionnaire à choix multiples. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous paraÎt exacte. On ne demande aucune justification. La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}
	
\medskip
	 
Une solution de l'équation différentielle $(E)$ est donnée par la fonction définie sur $\R$ par l'expression ci-dessous.
	 
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$g(x) = 2 \text{e}^{-x}$& $h(x) = x^2 \text{e}^{-x} $&$k(x) = 2x\text{e}^{-x}$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
	  
Les dérivées première et seconde de ces fonctions sont données ci-dessous (ces calculs 
sont exacts).

\medskip
\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
$g'(x) = - 2\text{e}^{-x}$& $h'(x) = \left(2x - x^2\right)\text{e}^{-x}$&$k'(x) = (2 - 2x)\text{e}^{-x}$\\ 
$g''(x) = 2\text{e}^{-x}$ &$h''(x) = \left(x^2 - 4x + 2\right)\text{e}^{-x}$& 
 $k''(x) = (- 4 + 2x)\text{e}^{-x}$\\
\end{tabularx}
\medskip
 
\item En déduire les solutions de l'équation différentielle $(E)$. 
\item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$ 
qui vérifie les conditions initiales $f(0) = - 1$ et $f'(0) = 1$.
   \end{enumerate}
   
\bigskip
    
\textbf{B. Étude d'une fonction}
    
\medskip
     
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 
     
\[f(x) = \left(x^2 - 1\right)\text{e}^{-x}.\]
      
 
On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère \Oij.
      
\medskip
       
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Un logiciel de calcul formel fournit ci-dessous une expression de la dérivée de $f$. Ce logiciel note \%$\text{e}^{-x}$ la quantité $\text{e}^{-x}$. 

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
(\%i1)& $f(x) : = \left(x^2 - 1\right) * \%\text{e}^{-x}$ ;\\
(\%o1)& $f(x) : = \left(x^2 - 1\right)\%\text{e}^{-x}$ \\
&\\
(\%i2) &factor(diff$(f(x),\:x)$ ;\\ 
(\%o2)&$- \left(x^2 - 2x - 1\right)\%\text{e}^{-x}$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 
 
Justifier par un calcul l'expression de $f'(x)$ affichée à la ligne notée (\%o2).
		\item On rappelle qu'une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $a$ est donnée par : $y = f'(a) (x - a) + f(a)$.

Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.		  
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide du développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction $t \longmapsto \text{e}^t$, déterminer le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction : $x \longmapsto \text{e}^{-x}$.
		\item En déduire que le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction $f$ est : 
		
\[f(x) = - 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + x^2\epsilon (x)\quad  \text{avec}\quad  \displaystyle\lim_{x \to 0} \epsilon(x) = 0.\]

		\item \emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous paraÎt exacte. On ne demande aucune justification.}
		 
\emph{La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}
		  
On veut justifier qu'au voisinage du point d'abscisse $0$, la courbe $\mathcal{C}$ est au-dessus de la droite $T$. Recopier sur la copie la justification qui vous paraît exacte.
		  
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$- 1 + x$ est positif au voisinage de $0$.&$\dfrac{x^2}{2}$	est positif au voisinage de $0$.&$x^2 \epsilon(x)$ est positif au voisinage de $0$.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 			 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C. Calcul intégral}
 
 \medskip
  
\begin{enumerate}
\item On note $I = \displaystyle\int_{1}^3  f(x)\:\text{d}x$ où $f$ est la fonction définie dans la partie B. 
	\begin{enumerate}
		\item Un logiciel de calcul formel fournit, à la ligne notée (\%o3), une primitive sur $\R$ de la fonction $f$. Ce logiciel note \%$\text{e}^{-x}$ l'expression $\text{e}^{-x}$.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline		 
(\%i3)&factor(integrate $(f(x),x)$) ;\\ 
(\%o3)& $-(x + 1)^2 \%\text{e}^{-x}$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 
 
Justifier ce résultat.
		\item Montrer que la valeur exacte de $I$ est : $I = 4 \text{e}^{-1} - 16\text{e}^{-3}$.
	 \end{enumerate} 
\item \emph{Cette question est un questionnaire à choix multiples. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous paraÎt exacte. On ne demande aucune justification. La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}
	  
On admet que $f(x)$ est positif pour $x$ dans l'intervalle [1~;~3].
	  
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$I$ est une mesure, en unités d'aire, de l'aire de la partie  du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 3$.&$I$ est une mesure, en cm$^2$ de l'aire de la partie  du plan	comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 3$.&$I$ est une mesure, en unités d'aire de l'aire de la partie	du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équation $y = 1$ et $y = 3$.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
\newpage

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\begin{center}
\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}\end{center} 
 
On considère un système, électrique ou mécanique. On désigne par $e(t)$ le signal d'entrée et par $s(t)$ le signal de sortie.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,1.5) 
\psline{->}(0,0.75)(2,0.75)
\psline{->}(5,0.75)(7,0.75)
\psframe(2,0)(5,1.5)
\uput[u](1,0.75){$e(t)$}
\uput[u](6,0.75){$s(t)$} 
\rput(3.5,0.75){Système} 
\end{pspicture}
\end{center}
 
On note $E(p) = \mathcal{L}(e(t))$ et $S(P) = \mathcal{L}(s(t))$, où $\mathcal{L}$ est la transformée de Laplace.
 
On désigne par $\mathcal{U}$ la fonction échelon unité définie par $\mathcal{U}(t) = 0$ si $t < 0$ et $\mathcal{U}(t) = 1$ si $t \geqslant 0$. 

L'équation différentielle régissant ce système s'écrit :
 
\[2s'(t) + s(t) = e(t),\]
 
où la fonction inconnue $s$ vérifie $s(t) = 0$ pour tout nombre réel $t$ négatif ou nul (en particulier $s(0+) = 0$).

\bigskip
 
\textbf{A. Étude du signal d'entrée}

\medskip
 
On suppose que le signal d'entrée $e$ est donné par : 

\[e(t) = \left\{\begin{array}{l c l}
1& \text{si}& 0 \leqslant  t < 1\\ 
0& \text{si}& t < 0\:\: \text{ou}\:\: t\geqslant 1.
\end{array}\right.\]
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sur une feuille de papier millimétré, tracer, dans un repère orthogonal, la représentation graphique de e sur l'intervalle $[- 1~;~4]$. On prendra comme unité 2~cm pour l'axe des abscisses et 5~cm pour l'axe des ordonnées. 
		\item Justifier, par exemple à l'aide d'un tableau, que, pour tout nombre réel $t$ : 
		
		\[e(t) = \mathcal{U}(t) - \mathcal{U}(t - 1).\]
	\end{enumerate} 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\mathcal{L}(\mathcal{U}(t))$ et $\mathcal{L}(\mathcal{U}(t - 1 ))$. 
		\item En déduire $E(p)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 	 
\textbf{B. Recherche de la transformée de Laplace du signal de sortie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer à l'aide de $S(p)$ : 
	\begin{enumerate}
		\item $\mathcal{L}(s'(t))$. 
		\item $\mathcal{L}(2 s'(t) + s(t))$.
	\end{enumerate} 
\item En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l'équation différentielle, montrer que $S(p) = \dfrac{1}{p(2p + 1)}\left(1 - \text{e}^{- p}\right)$.
\item Vérifier que, pour tout nombre réel $p$, on a : $\dfrac{1}{p(2p + 1)} = \dfrac{1}{p} - \dfrac{1}{p + \frac{1}{2}}$. 
\item En déduire que $S(p)$ peut s'écrire : $S(p) = \dfrac{1}{p} 
- \dfrac{\text{e}^{- p}}{p} - \dfrac{1}{p + \frac{1}{2}}
 + \dfrac{\text{e}^{- p}}{p + \frac{1}{2}}$. 
\end{enumerate}

\bigskip
 	 
\textbf{C. Obtention du signal de sortie}

\medskip 

On recherche l'original de $S(p) = \dfrac{1}{p} - \dfrac{\text{e}^{- p}}{p} - \dfrac{1}{p + \frac{1}{2}} + \dfrac{\text{e}^{- p}}{p + \frac{1}{2}}$. 
			
\medskip
			 
\begin{enumerate}
\item Un logiciel de calcul formel fournit l'affichage suivant.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|}\hline
$>>>$ inverselaplacetransform(1/p-exp(-p)/p-1/(p+1/2)+exp(-p)/(p+1/2), p, t)\\ 
$\theta(t) - \theta(t - 1) - \text{e}^{- \frac{t}{2}}\theta(t) + \text{e}^{\frac{1}{2}}\text{e}^{- \frac{t}{2}}\theta(t - 1)$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 

Le logiciel note $\theta$ la fonction échelon unité désignée par $\mathcal{U}$ dans cet exercice. En utilisant cet affichage et le formulaire, donner les originaux de : 
 
\[\frac{1}{p}\quad ; \quad \dfrac{\text{e}^{- p}}{p}\quad ; \quad \dfrac{1}{p + \frac{1}{2}}\quad \text{et}\:\: \dfrac{\text{e}^{- p}}{p + \frac{1}{2}}\] 

Donner une expression de $s$ à l'aide de $\mathcal{U}$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Préciser $s(t)$ sur l'intervalle $]- \infty~;~0]$.  
		\item Soit $t$ un nombre réel dans l'intervalle $[0~;~1[$. Montrer que $s(t) = 1 - \text{e}^{- \frac{1}{2}t}$. 
		\item Soit $t$ un nombre réel dans l'intervalle $[1~;~+ \infty[$. Montrer que 
		
		$s(t) = \text{e}^{- \frac{1}{2}t}\left(\text{e}^{\frac{1}{2}} - 1 \right)$.
	\end{enumerate} 
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant, où $s(t)$ est arrondi au centième. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$&$- 1$&$- 0,5$&0&0,5& 0,75& 1&1,5& 2&2,5& 3&3,5& 4\\ \hline
$s(t)$&0&&&&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
\item Sur le graphique de la partie A, représenter la fonction $s$ sur l'intervalle $[- 1~;~4]$. 
\end{enumerate}
\end{document}