%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-node,pst-circ} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\small A. P. M. E. P.} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur} \lfoot{\small{Groupe B2 : conception et industrialisation\\ en microtechniques}} \rfoot{\small{14 mai 2013}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur ~\decofourright\\Métropole -- Antilles--Guyane\\ session 2013 - groupement B2}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 12 points} \medskip \textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante} Dans cet exercice, on étudie des fonctions intervenant dans les prévisions sur la vitesse moyenne du vent pour l'implantation d'éoliennes. \medskip \textbf{A. Résolution d'une équation différentielle} \medskip On considère l'équation différentielle \[(E) \::\qquad y' + (0,25 x) y = 0,25 x\] où $y$ est une fonction inconnue de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ et $y'$ sa fonction dérivée. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer les solutions définies sur $[0~;~+ \infty[$ de l'équation différentielle \[\left(E_{0}\right)\: : \qquad y' + (0,25 x) y = 0.\] \item Vérifier que la fonction constante $h$, définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $h(x) = 1$, est une solution de l'équation différentielle $(E)$. \item En déduire les solutions de l'équation différentielle $(E)$. \item Déterminer la solution de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie la condition initiale $F(0) = 0$. \textbf{Remarque : la fonction F intervient dans la partie C de cet exercice} \end{enumerate} \bigskip \textbf{B. Étude d'une fonction} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = (0,25 x)\text{e}^{-0,125 x^2}\] \textbf{Remarque : la fonction $f$ n'est pas une solution de l'équation différentielle (E)}. \medskip On désigne par $C$ la courbe représentative de $f$ dans un repère \Oij. \medskip \begin{enumerate} \item \emph{Les questions a. et b. suivantes sont des questions à choix multiples. Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne demande aucune justification. La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.} \medskip \begin{enumerate} \item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$ est égal à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $+ \infty$&$- \infty$&$0$\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item En $+ \infty$ la courbe $C$ admet une asymptote d'équation: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $y = -0,125x^2$&$y = 0$&$x = 0$\\ \hline \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, \[f'(x) = \np{0,0625}(2 + x)(2 - x)\text{e}^{- 0,125x^2}\] \item En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. \item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \item Un logiciel de calcul formel fournit le développement limité de la fonction $f$, à l'ordre 3, au voisinage de zéro : \[f(x) = 0,25 x - \np{0,03125} x^3 + x^3 \epsilon(X)\quad \text{avec}\: \lim_{x \to 0} \epsilon(x) = 0.\] \textbf{Ce résultat est admis et n'est donc pas à démontrer.} \begin{enumerate} \item En déduire une équation de la tangente $T$ à la courbe $C$ au point d'abscisse $0$. \item Étudier la position relative de $T$ et de $C$ au voisinage du point d'abscisse $0$, pour $x$ positif. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{C. Application à l'étude de la vitesse du vent} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $F$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par \[F(x) = 1 - \text{e}^{-0,125 x^2}.\] \begin{enumerate} \item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} F(x)$. \item Démontrer que $F$ est une primitive sur $[0~;~+ \infty[$ de la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = (0,25 x) \text{e}^{-0,125 x^2}.\] \end{enumerate} \item Calculer $I = \displaystyle\int_{1}^6 f(x)\text{d}x$. Donner la valeur approchée du résultat arrondie à $10^{- 2}$. \emph{Le résultat précédent donne la probabilité, qu'une journée donnée, la vitesse moyenne du vent soit comprise entre $1$ m/s et $6$ m/s.} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 8 points} \begin{center}\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.} \end{center} \textbf{A. Étude d'un signal} \medskip On considère la fonction $f$, périodique de période $T = 4$, définie par : \[\begin{array}{l c l c l} f (x) &=& 2 &\text{si } &x \in [0~;~3[ ;\\ f (x) &=& 0 &\text{si } &x \in [3~;~4[. \end{array}\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer $f(1), f(3,2)$ puis $f(3)$. \item Tracer la représentation graphique de la fonction $f$, pour $x$ variant dans l'intervalle $[- 4~;~8[$ dans un repère orthogonal d'unités graphiques 1~cm sur l'axe des abscisses et 2~cm sur l'axe des ordonnées. \end{enumerate} \item \emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous paraÎt exacte. On ne demande aucune justification. La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}} Si $x \in [13~;~14[,\: f(x)= 0$\\ Si $x \in [14~;~15[, \: f(x)= 2$\\ Si $x \in [15~;~16[,\: f(x)= 2$ \end{tabularx} \medskip \item On note $\omega$ la pulsation associée à la fonction $f$. Justifier que $\omega = \dfrac{\pi}{2}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{B. Calcul des coefficients de Fourier \boldmath $a_{n}$ \unboldmath du signal} \medskip On note $a_{n}$ et $b_{n}$ les coefficients de Fourier de la fonction $f$. \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que $a_{0} = \dfrac{3}{2}$. \item \begin{enumerate} \item Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 1, calculer l'intégrale $I = \displaystyle\int_{0}^3 \cos \left( n\dfrac{\pi}{2}t\right)\: \text{d}t$. \item Montrer que, pour tout entier $n \geqslant 1,\: a_{n} = \dfrac{2}{n\pi}\sin \left(\dfrac{3n \pi}{2}\right)$. \item En déduire les valeurs exactes de $a_{1}, a_{2}$ et $a_{3}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{C. Application à la valeur efficace} \medskip \begin{enumerate} \item On admet que, pour tout entier $n \geqslant 1,\: a_{n} = \dfrac{2}{n\pi} \sin \left(\dfrac{3n \pi}{2}\right)$ et $b_{n} = \dfrac{2}{n\pi}\left(1 - \cos \left(\dfrac{3n \pi}{2}\right)\right)$. Recopier et compléter le tableau suivant avec des valeurs approchées arrondies à $0,001$. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $n$ &0& 1 &2 &3\\ \hline $a_{n}$&1,5&&&\\ \hline $b_{n}$&&&&\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item On note $f_{\text{e}}$ la valeur efficace de la fonction $f$ et on admet que $f_{\text{e}}^2 = 3$. Soit $P$ le nombre défini par : $P = a_{0}^2 + \dfrac{1}{2}\left(a_{1}^2 + b_{1}^2 + a_{2}^2 + b_{2}^2 + a_{3}^2 + b_{3}^2\right)$. On veut vérifier que le nombre $P$ est une approximation de $f_{\text{e}}^2$. \begin{enumerate} \item En utilisant les nombres du tableau de la question 1., calculer le nombre $P$. Donner la valeur approchée de $P$ arrondie à $0,01$. \item On appelle erreur relative de l'approximation le nombre $\dfrac{3 - P}{3}$. Vérifier que $\dfrac{3 - P}{3} < 0,04$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}