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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur S}
\lfoot{\small{Groupement B2 Maintenance industrielle}}
\rfoot{\small{2000}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~BTS Groupement B2 Métropole  mai 2000\\[5pt]Maintenance industrielle~\decofourright\\}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 10 points}

\medskip

Les ateliers d'un grand constructeur d'automobiles comportent des robots permettant de positionner
les pistolets de peinture autour de la carrosserie.

Ces robots sont constitués de trois parties : un bras articulé actionné par des vérins hydrauliques, un
groupe hydraulique et une armoire de contrôle (système électronique qui gère les mouvements du
robot par des programmes).

L'objectif de l'exercice est d'étudier la nature et la répartition des pannes.

\medskip

\textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes}

\medskip

\textbf{A.}  \emph{Pannes mécaniques sur le bras articulé}

\medskip

Au moment de s'équiper de 300 robots équipés de bras articulés d'un certain type, le
constructeur d'automobiles s'intéresse aux essais réalisés par son fournisseur lors de la mise
au point des robots : la probabilité qu'un robot ait une panne mécanique sur son bras articulé
pendant une période déterminée est alors $0,05$ et les pannes mécaniques des bras des
différents robots sont supposées indépendantes.

On prélève au hasard $300$ robots dans le stock très important du fournisseur et on assimile ce
prélèvement à un tirage avec remise.

On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre
de robots dont le bras a connu une panne mécanique pendant la période considérée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi $X$ suit une loi binomiale; déterminer les paramètres de cette loi.
\item On approche $X$ par la variable aléatoire $Y$ de loi normale de moyenne $\mu = 15$ et d'écart
type $\sigma = 3,77$. Justifier le choix des paramètres $\mu$ et $\sigma$.
\item Soit $E$ l'évènement \og lors de leur mise au point, strictement plus de 20 robots ont eu une
panne mécanique sur leur bras articulé pendant la période considérée \fg.

Calculer $P(Y \geqslant 20,5)$ à $10^{- 2}$ près (c'est, en utilisant l'approximation de $X$ par $Y$, la valeur de $P(E)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B.} \emph{Défaillances des groupes hydrauliques}

\medskip

Un tiers des robots des ateliers de peinture du constructeur d'automobiles est équipé d'un
modèle M$_1$ de groupe hydraulique, alors que les deux autres tiers bénéficient d'un modèle M$_2$,
plus récent. 

La probabilité, une semaine donnée, qu'une défaillance se produise par manque de
pression est $0,03$ pour un modèle M$_1$ et 0,02 pour un modèle M$_2$.

À la fin d'une semaine, on choisit au hasard un groupe hydraulique. On note $A$ l'évènement
\og le groupe choisi est de type M$_1$ \fg, $B$ l'évènement \og le groupe choisi est de type M$_2$\fg{} et $D$ l'évènement \og le groupe choisi a été défaillant durant la semaine \fg.

On a donc 

\[P(A) = \dfrac{1}{3}\quad  ; P(B) = \dfrac{2}{3}\quad ; P(D/A) = 0,03\quad  \text{et}\:\: P(D/B) = 0,02.\]

\begin{enumerate}
\item En remarquant que $D = (A \cap D) \cup (B \cap D)$ et que $A \cap D$ et $B \cap D$ sont incompatibles, calculer $P(D)$, à $10^{- 3}$ près.
\item On constate qu'un groupe hydraulique tiré au hasard a été défaillant. Quelle est, à $10^{- 3}$
près, la probabilité qu'il s'agisse d'un modèle M$_1$. c'est à dire $P(A/D)$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C }. \emph{Maintenance du système électronique des armoires de contrôle}

\medskip

Le service de maintenance préconise, pour les armoires de contrôle, des interventions
préventives (par changement de certains éléments électroniques). La période de ces
interventions sera déterminée à partir d'un historique de pannes d'une armoire de contrôle
choisie au hasard.

Les neuf premiers temps de bon fonctionnement (en jours) de cette armoire de contrôle sont
les suivants (rangés en ordre croissant) :  31 ; 42 ; 67 ; 77 ; 89 ; 95 ; 122 ; 144 ; 173.

Soit $T$ la variable aléatoire qui, à toute armoire de contrôle, associe son temps de bon
fonctionnement. On cherche à ajuster la loi de $T$ à une loi de Weibull.

À l'aide d'un tableur, on a obtenu le tableau et le graphique ci-dessous, où $F\left(t_i\right)$ et $R\left(t_i\right)$ correspondent respectivement à la défaillance et à la fiabilité au temps $t_i$ (selon la méthode des rangs moyens) :

\begin{center}
\parbox{0.58\linewidth}{{\scriptsize \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|c|X|X|}\hline
$t_i$&$F\left(t_i\right)$&$R\left(t_i\right)$&\tiny $x_i = \ln \left(t_i\right)$&\tiny$y_i = \ln \left[- \ln R\left(t_i\right)\right]$\\ \hline
31& 0,1& 0,9& \np{3,43398720}& \np{-2,25036733}\\ \hline
42& 0,2& 0,8& \np{3,73766962}& \np{-1,49993999}\\ \hline
67& 0,3& 0,7& \np{4,20469262}& \np{-1,03093043}\\ \hline
77& 0,4& 0,6& \np{4,34380542}& \np{-0,67172699}\\ \hline
89& 0,5& 0,5& \np{4,48863637}& \np{-0,36651292}\\ \hline
95& 0,6& 0,4& \np{4,55387689}& \np{-0,08742157}\\ \hline
122&0,7& 0,3& \np{4,80402104}& \np{0,18562676}\\ \hline
144&0,8& 0,2& \np{4,96981330}& \np{0,47588500}\\ \hline
173&0,9& 0,1& \np{5,15329159}& \np{0,83403245}\\ \hline
\end{tabularx}}}\hfill \parbox{0.38\linewidth}{\psset{unit=0.7cm,comma=true,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-0.5,-2.6)(6,1.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.5](0,0)(0,-2.5)(6,1)
\psplot[plotpoints=1000]{3.43}{5.16}{x 1.7522 mul 8.2171 sub}
\psdots(3.43,-2.25)(3.74,-1.5)(4.2,-1.03)(4.34,-0.67)(4.48,-0.37)(4.55,-0.09)(4.80,0.19)(4.97,0.48)(5.15,0.83)
\rput(3.5,0.8){\scriptsize $y = \np{1,7522} x - \np{8,2171}$}
\rput(3.5,0.4){\scriptsize $r^2 = \np{0,9882}$}
\uput[r](3.5,-2.4){$D$}
\end{pspicture}}
\end{center}

Sur le graphique ci-dessus, figure la droite de régression $D$ de $y$ en $x$, obtenue par la méthode
des moindres carrés, avec son équation dans un repère orthogonal, ainsi que le carré $r^2$ du
coefficient de corrélation linéaire.

On admet le résultat suivant qui n'a donc pas à être démontré ici:

\[R(t) = \text{e}^{-\left(\frac{t}{\eta}\right)^{\beta}}\quad  \text{équivaut à}\quad  y = \beta x -\beta \ln \eta\]

, où l'on a posé $x = \ln t$ et $y = \ln[- \ln R(t)]$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déduire des informations précédentes les résultats ci-dessous:
	\begin{enumerate}
		\item Le nuage des points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ est correctement ajusté par cette droite $D$ ;
		\item On peut considérer que $T$ suit une loi de Weibull de paramètre $\gamma = 0$ ;
		\item On peut prendre, pour les deux autres paramètres, $\beta = 1,75$ (arrondi au centième) et
		
$\eta = 109$ (arrondi à l'unité).
		
(On pourra utiliser l'équivalence  ci-dessus.)
	\end{enumerate}
\item Déterminer, par le calcul, la périodicité d'interventions préventives basée sur une fiabilité
de 80\,\%.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip
 
\emph{L'objectif de cet exercice est de résoudre une équation différentielle dont une solution
particulière est susceptible de définir une fonction de densité en probabilités.}
 
\medskip
 
\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante}
 
\medskip
 
\emph{A . Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle 

\[(E) :\qquad  y'' - 4 y = - \dfrac{16}{3} \text{e}^{-2x}\]

où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R$,\: $y'$ la fonction dérivée de $y$ et $y''$ sa fonction dérivée seconde.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre sur $\R$ l'équation différentielle $\left(E_0\right)\: :\quad  y'' - 4 y = 0$.
\item Vérifier que la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = \dfrac{4}{3} x\text{e}^{-2x}$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.
\item Déterminer la solution particulière $h$ de l'équation différentielle $(E)$ vérifiant les conditions

\[h(0)= \dfrac{4}{3} \quad \text{et} \quad h'(0) = - \dfrac{4}{3}.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\emph{B . Étude d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{4}{3} (1 + x)\text{e}^{- 2 x}.\]

Une représentation graphique $\mathcal{C}$ de $f$, dans un repère
orthogonal, est donnée ci-dessous.
\medskip

\parbox{0.27\linewidth}{\psset{unit=1.25cm}\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(3.2,2.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(3.2,2.2)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3.2}{x 1 add 4 mul 3 div 2.7182818 x 2 mul exp div}
\uput[u](0.2,1.3){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{0.7\linewidth}{\begin{enumerate}
\item Le graphique suggère un sens de variation pour la
fonction $f$. L'objet de cette question est de justifier ce
résultat.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout $x$ de $[0~;~+ \infty[$,\:
		
\[f'(x) = - \dfrac{4}{3}(2x + 1)\text{e}^{-2x}.\]
		
		\item En déduire le sens de variation de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}		}

\begin{enumerate}		
\item[\textbf{2.}] Le graphique permet d'envisager une asymptote en $+ \infty$ pour la courbe 
$\mathcal{C}$. À partir de l'expression de $f(x)$, déterminer une limite de $f$ justifiant cette propriété graphique.
\item[\textbf{3.}]
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide du développement limité au voisinage de $0$ de la fonction exponentielle $t \longmapsto \text{e}^t$, donner le développement limité à l'ordre 3 au voisinage de $0$ de la fonction: $x \longmapsto \text{e}^{- 2 x}$.
		\item En déduire que le développement limité à l'ordre 3 au voisinage de $0$ de la fonction $f$
est :
		
\[f(x) = \dfrac{4}{3} - \dfrac{4}{3}x + \dfrac{8}{9}x^3 + x^3\epsilon(x)\:\:\text{avec}\:\:\displaystyle\lim_{x \to 0} \epsilon(x) = 0.\]

		\item En déduire une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ et la position relative de $\mathcal{C}$ et T, pour $x$ positif au voisinage de $0$.
 	\end{enumerate}
\item[\textbf{4.}]
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide d'une intégration par parties, calculer la valeur exacte de l'intégrale:

		\[I = \displaystyle\int_0^3 f(x)\:\text{d}x.\]
		
Donner une valeur approchée, arrondie au centième, de l'intégrale $I$.
		
Donner une interprétation graphique de l'intégrale $I$.
		\item Sur l'écran d'une calculatrice, équipée d'un logiciel particulier (calcul formel), on lit le résultat suivant, où $t$ est un nombre réel positif quelconque : 
		
\[\displaystyle\int_0^3 f(x)\:\text{d}x = \left(- \dfrac{2}{3}t - 1 \right)\text{e}^{-2t} + 1.\]

\textbf{Ce résultat est admis ici et n'a donc pas à être démontré.}

Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to  \infty} \left(- \dfrac{2}{3}t - 1 \right)\text{e}^{-2t}$.
		\item Soit $\mathcal{A}(t)$ l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan limitée par les axes de coordonnées, la courbe $\mathcal{C}$, et la droite d'équation $x = t$ où $t$ est un nombre réel positif.

Déterminer $J = \displaystyle\lim_{t \to + \infty} A(t)$.
		\item Déterminer la valeur exacte de $J - I$  où $I = \mathcal{A}(3)$ a été calculé à la question 4. a., et en déduire la double inégalité : $0 \leqslant  J - I \leqslant 10^{-2}$.

Donner, à l'aide d'une phrase, une interprétation graphique de $J - I$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}