%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès - Dominique Vallée pour l'exercice 2. %
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-eucl,pst-node,pst-circ}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {BTS groupement B2},
pdftitle = {9 mai 2017},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}  
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupe B2}}
\rfoot{\small{9 mai 2017}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur groupement B2\\Métropole--Antilles--Guyane\\9 mai 2017 }}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\parbox{0.6\linewidth}{Dans un régulateur de niveau, La hauteur de liquide varie en 
fonction du temps. On note $h(t)$ la hauteur (en mètre) atteinte par le liquide à l'instant $t$ (en heure).

On suppose que $h$ est une fonction de la variable réelle $t$
définie et deux fois dérivable sur $[0~;~+ \infty[$.}\hfill
\parbox{0.38\linewidth}{\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(6.5,8.4)
\psline[linewidth=1.25pt](2.3,3.7)(2.3,0.2)(5.9,0.2)(5.9,3.7)
\psline[linestyle=dotted](2.3,2.8)(5.9,2.8)
\psline{<->}(2.6,0.2)(2.6,2.8)\uput[r](2.6,1.5){$h(t)$}
\psline(2.3,0.5)(1.6,0.5)
\pscircle(1.35,0.5){0.25}
\psline(1.1,0.5)(0.5,0.5)(0.5,2.5)
\pscircle(0.5,2.75){0.25}
\psline(0.5,3)(0.5,8.2)(1.6,8.2)(1.6,7.4)
\psarc(1.6,7.1){0.3}{0}{180}
\psline(1.3,7.1)(1.9,7.1)
\psline(1.6,7.1)(1.6,6.7)
\pspolygon(1.1,7.1)(2.1,6.3)(2.1,7.1)(1.1,6.3)
\psline(1.1,6.7)(0.5,6.7)
\psline{->}(2.1,6.7)(4.1,6.7)(4.1,4.8)
\end{pspicture}
}

\begin{center}
\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}
\end{center}

\textbf{A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

Une étude mécanique montre que la fonction $h$ est solution de l'équation différentielle 

\[(E)\qquad 10y'' + 3 y' + 0,2y = 1,\]

où $y$ est une fonction inconnue de la variable réelle $t$, définie et deux fois dérivable
sur $[0~;~+ \infty[$,\: $y'$ la fonction dérivée de $y$ et $y''$ sa fonction dérivée seconde.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $10r^2 + 3r + 0,2 = 0$.
		\item En déduire les solutions de l'équation différentielle $\left(E_0\right)$ :

		\[10y'' + 3y' + 0,2y = 0.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
		
On fournit les formules suivantes :

\begin{center}		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4cm}|X|}\hline
\textbf{Équations}		& \textbf{Solutions sur un intervalle $I$}\\ \hline
Équations différentielle&Si $\Delta > 0$ :\: $y(t) = \lambda\text{e}^{r_1 t}  + \mu \text{e}^{r_2 t}$, où $r_1$ et $r_2$ les solutions de l'équation caractéristique.\\
$a y''+ by' + cy = 0$.	&Si $\Delta = 0$ :\: $y(t) =  (\lambda t + \mu)\text{e}^{rt}$, où  $r$ est la racine double  de l'équation caractéristique.\\
Équation caractéristique : 
$ar^2 + br + c = 0$ de discriminant $\Delta$.&Si $\Delta < 0$ : $y(t) = \left[\lambda \cos (\beta t) + \mu \sin(\beta t)\right]\text{e}^{\alpha t}$, où 

$r_1 = \alpha + \text{i} \beta$ et $r_2 = \alpha - \text{i}\beta$  sont les racines complexes conjuguées de l'équation caractéristique.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}		

Les conditions initiales du système mécanique conduisent à poser $h(0) = 8$ et 

$h'(0) = 0$.

Un logiciel de calcul formel fournit l'expression suivante de la fonction $h$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|X|}\hline
\multicolumn{2}{|l|}{$\triangleright$ \textbf{Calcul formel}}\\ \hline
1	&RésolEquaDiff[$10y''+3y'+0,2y = 1, y, t, (0, 8), (0, 0)$]\\
	&$\to y = 6 \text{e}^{-\frac{t}{10}} - 3\text{e}^{- \frac{t}{5}} + 5$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Quelle est la hauteur du liquide au bout de deux heures? Arrondir au dixième.

\medskip

\textbf{B. Étude de fonction}

\medskip

On considère la fonction $h$ définie et dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ par:

\[h(t) = 6 \text{e}^{-0,1 t} - 3 \text{e}^{-0,2t} + 5.\]

On note $C$ la courbe représentative de $h$ dans un repère orthogonal et on appelle $D$ la droite
d'équation $y = 5$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}h(t) = 5$.
		\item Interpréter graphiquement le résultat précédent.
	\end{enumerate}
\item Déterminer une expression de $h'(t)$.
\item Un logiciel de calcul formel fournit le résultat suivant, qui est admis : l'ensemble des
solutions de l'inéquation $h'(t) \leqslant  0$ est l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|X|}\hline
\multicolumn{2}{|l|}{$\triangleright$ \textbf{Calcul formel}}\\ \hline	
1 &$h(t)$:=6$*$exp($-$0.1$*$t)$-$ 3$*$exp($-0.2t$) + 5\\ 
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=black](0,0.08){0.1} &$\to  h(t)$ := $-3 \text{e}^{-\frac{1}{5}t} + 6 \text{e}^{-\frac{1}{10}t} + 5$\\ \hline
2 &Résoudre[Dérivée$[h(t), t]\leqslant 0, t]$\\
\pscircle(0,0.08){0.1}&$\to  \{t \geqslant 0\}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Dresser le tableau de variation de la fonction $h$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Étude locale}

\medskip

On rappelle que la fonction $h$ est définie et dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ par :

\[h(t) = 6 \text{e}^{-0,1t} - 3 \text{e}^{-0,2t} + 5.\]

On note $C$ la courbe représentative de $h$ dans un repère orthogonal et on appelle $T$ la
tangente à la courbe $C$ au point d'abscisse $0$.

Un logiciel de calcul formel affiche la partie régulière du développement limité à l'ordre 2 de
fonction $h$ au voisinage de zéro.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|X|}\hline
\multicolumn{2}{|l|}{$\triangleright$ \textbf{Calcul formel}}\\ \hline
1 &$h(t)$:=6*exp($-0.1$*t)$-$3*exp($-0.2$t)+5\\ 
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=black](0,0.08){0.1} &$\to  h(t)$ := $-3 \text{e}^{-\frac{1}{5}t} + 6 \text{e}^{-\frac{1}{10}t} + 5$\\ \hline
&PolynômeTaylor$[h(t), t,  0, 2]$\\
	\rule{0pt}{2.ex}	% correction pour l'affichage de la fraction dans la cellule
	\rule[-2.ex]{0pt}{0pt}	% idem bas
2 &$\to 8 - \dfrac{3}{100}t^2$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item \emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte.
Recopier sur  la copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne demande aucune justification.\\
La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne
rapporte ni n'enlève de point.}

\medskip

Le développement limité de la fonction $h$, à l'ordre 2, au voisinage de $0$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	\rule{0pt}{3.3ex}	% correction pour l'affichage de la fraction dans la cellule
	\rule[-2ex]{0pt}{0pt}	% idem bas
$8 - 0,3t^2$&
 $8 - \dfrac{3}{100}t^2 + t^2 \epsilon(t)$ avec $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \epsilon(t) = 0$
 &$8 - \dfrac{3}{100}t^2 + t^2 \epsilon(t)$  avec $\displaystyle\lim_{t \to 0} \epsilon(t) = 0$&$- \dfrac{3}{100}t^2 + t^2 \epsilon(t)$ 
avec $\displaystyle\lim_{t \to 0} \epsilon(t) = 0$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item \emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte.\\
Recopier sur la copie la réponse qui vous parait exacte. On ne demande aucune justification.\\
La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne
rapporte ni n'enlève de point.}

\medskip

Une équation de la tangente $T$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	\rule{0pt}{3.3ex}	% correction pour l'affichage de la fraction dans la cellule
	\rule[-2ex]{0pt}{0pt}	% idem bas
$y  = - \dfrac{3}{100}t^2$& $y=8 - \dfrac{3}{100}t^2$& $y=8$&$y = 8t$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Étudier la position relative, au voisinage du point d'abscisse $0$, de la courbe $C$ et de la
tangente $T$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

%------------------------------------------------------------------------------------
\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\begin{flushleft}
	Soit $f$ la fonction périodique de période $T = 2\pi$, paire, définie par :
	\[f(t) = 1 \text{ si } t \in \left[ 0, ~ \dfrac{\pi}{2} \right] \text{ et }
	f(t) = 0 \text{ si } t \in \left] \dfrac{\pi}{2},~ \pi \right] . \]
	
	On note $ \omega $ la pulsation associée à la fonction $f$.
\end{flushleft}

\begin{center}
\emph{Un formulaire sur les séries de Fourier figure à la dernière page.}
\end{center}


\medskip

\textbf{A. Étude d'une fonction}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $\omega = 1$.
\item \emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est correcte.
On ne demande aucune justification.
La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne
rapporte ni n'enlève de point.}

\begin{flushleft}
	À quelle courbe correspond la fonction $f$ ?
\end{flushleft}

\begin{center}
	% ---------   figure 1 -----------
	\psset{xunit=0.6366cm,yunit=2.5cm,comma=true}
	\begin{pspicture*}(-6.8,-0.4)(6.8,1.4)
	\def\xmin{-6.7} \def\xmax{6.7} \def\ymin{-0.3} \def\ymax{1.3}
	%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-6.8,-0.4)(6.8,1.4)
	\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
	\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
	\psset{xunit=1.0001cm,yunit=1cm}
	\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt,gridcolor=gray,subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-4.2648,-0.75)(4.2648,3.25)
	\psset{xunit=0.6366cm , yunit=2.5cm}
	\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1.571,Dy=0.2,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
	\psclip{%
	\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
	}
	\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
	\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
	\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
	% graduation axes des x
	\uput[d](-6.283,0){$-2\pi$}
	\uput[d](-4.713,0){$-\frac{3\pi}{2}$}
	\uput[d](-3.1415,0){$-\pi$}
	\uput[d](-1.571,0){$-\frac{\pi}{2}$}
	
	\uput[d](1.571,0){$\frac{\pi}{2}$}
	\uput[d](3.1415,0){$\pi$}
	\uput[d](4.713,0){$\frac{3\pi}{2}$}
	\uput[d](6.283,0){$2\pi$}
	
	% graduation axe des y
	\uput[dl](0,-.15){$-0,2$}
	\uput[l](0,.2){$0,2$}
	\uput[l](0,.4){$0,4$}
	\uput[l](0,.6){$0,6$}
	\uput[l](0,.8){$0,8$}
	\uput[l](0,1){$1$}
	\uput[l](0,1.2){$1,2$}
	% ---- Courbe -----
	\psline[linecolor=red, linewidth=2px](-6.5,1)(-4.713,1)
	
	\psline[linecolor=red, linewidth=2px](-4.713,0)(-1.571,0)
	
	\psline[linecolor=red, linewidth=2px](-1.571,1)(1.571,1)
	
	\psline[linecolor=red, linewidth=2px](4.713,0)(1.571,0)
	
	\psline[linecolor=red, linewidth=2px](6.5,1)(4.713,1)
	
	\endpsclip
	\end{pspicture*}
	
	Courbe 1

	\medskip
	% --------------------------------------------
	
	% ------------- figure 2  --------------------
	\psset{xunit=0.6366cm , yunit=2.5cm}
	\begin{pspicture*}(-6.8,-0.4)(6.8,1.4)
	\def\xmin{-6.7} \def\xmax{6.7} \def\ymin{-0.3} \def\ymax{1.3}
	%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-6.8,-0.4)(6.8,1.4)
	\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
	\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
	\psset{xunit=1.0001cm,yunit=1cm}
	\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-4.2648,-0.75)(4.2648,3.25)
	\psset{xunit=0.6366cm , yunit=2.5cm}
	\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1.571,Dy=0.2,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
	\psclip{%
	\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
	}
	\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
	\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
	\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
	% graduation axes des x
	\uput[d](-6.28,0){$-2\pi$}
	\uput[d](-4.713,0){$-\frac{3\pi}{2}$}
	\uput[d](-3.1415,0){$-\pi$}
	\uput[d](-1.571,0){$-\frac{\pi}{2}$}
	\uput[dr](0,0){$0$}
	\uput[d](1.571,0){$\frac{\pi}{2}$}
	\uput[d](3.1415,0){$\pi$}
	\uput[d](4.713,0){$\frac{3\pi}{2}$}
	\uput[d](6.283,0){$2\pi$}
	
	% graduation axe des y
	\uput[dl](0,-.15){$-0,2$}
	\uput[l](0,.2){$0,2$}
	\uput[l](0,.4){$0,4$}
	\uput[l](0,.6){$0,6$}
	\uput[l](0,.8){$0,8$}
	\uput[l](0,1){$1$}
	\uput[l](0,1.2){$1,2$}
	% ---- Courbe -----
	\psline[linecolor=red, linewidth=2px](-6.7,0)(-4.713,0)	
	\psline[linecolor=red, linewidth=2px](-4.713,1)(-3.1415,1)	
	\psline[linecolor=red, linewidth=2px](-3.1415,0)(0,0)	
	\psline[linecolor=red, linewidth=2px](0,1)(1.571,1)	
	\psline[linecolor=red, linewidth=2px](1.571,0)(4.713,0)	
	\psline[linecolor=red, linewidth=2px](6.28,1)(4.713,1)	
	\psline[linecolor=red, linewidth=2px](6.28,0)(6.7,0)	
	\endpsclip
	\end{pspicture*}
	
	Courbe 2
	\medskip
	% -----------------------------------
	
	% ------- figure 3  ----------------
	\psset{xunit=0.6366cm , yunit=2.5cm}
	\begin{pspicture*}(-6.8,-0.4)(6.8,1.4)
	\def\xmin{-6.7} \def\xmax{6.7} \def\ymin{-0.3} \def\ymax{1.3}
	\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-6.8,-0.4)(6.8,1.4)
	\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
	\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
	\psset{xunit=1.0001cm,yunit=1cm}
	\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-4.2648,-0.75)(4.2648,3.25)
	\psset{xunit=0.6366cm , yunit=2.5cm}
	\psaxes[labels=none,labelsep=1pt,Dx=1.571,Dy=0.2,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
	\psclip{%
	\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
	}
	\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
	\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
	\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
	% graduation axes des x
	\uput[d](-6.283,0){$-2\pi$}
	\uput[d](-4.713,0){$-\frac{3\pi}{2}$}
	\uput[d](-3.1415,0){$-\pi$}
	\uput[d](-1.571,0){$-\frac{\pi}{2}$}
	\uput[dr](0,0){$0$}
	\uput[d](1.571,0){$\frac{\pi}{2}$}
	\uput[d](3.1415,0){$\pi$}
	\uput[d](4.713,0){$\frac{3\pi}{2}$}
	\uput[d](6.283,0){$2\pi$}
	
	% graduation axe des y
	\uput[dl](0,-.15){$-0,2$}
	\uput[l](0,.2){$0,2$}
	\uput[l](0,.4){$0,4$}
	\uput[l](0,.6){$0,6$}
	\uput[l](0,.8){$0,8$}
	\uput[l](0,1){$1$}
	\uput[l](0,1.2){$1,2$}
	
	% ---- Courbe -----
	\psline[linecolor=red, linewidth=2px](-6.283,0)(-6.7,0)	
	\psline[linecolor=red, linewidth=2px](-6.281,1)(-3.1415,1)	
	\psline[linecolor=red, linewidth=2px](-3.1514,0)(-1.571,0)	
	\psline[linecolor=red, linewidth=2px](-1.571,1)(1.571,1)	
	\psline[linecolor=red, linewidth=2px](3.1415,0)(1.571,0)	
	\psline[linecolor=red, linewidth=2px](3.1415,1)(6.283,1)	
	\psline[linecolor=red, linewidth=2px](6.283,0)(6.7,0)
	\endpsclip
\end{pspicture*}
	
	Courbe 3
	\medskip
	
	% --------	
\end{center}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Calcul des coefficients de Fourier}

\medskip
\begin{flushleft}
On note $a_{n}$ et $b_{n}$ les coefficients de Fourier de la fonction $f$.
\end{flushleft}
 

\begin{enumerate}
	\item Déterminer $a_0$.
	\item Justifier que pour tout entier naturel non nul, $b_{n} = 0$. 
	\item Un logiciel de calcul formel fournit le résultat suivant, qui est admis.
		\begin{center}
			%\renewcommand{\arraystretch}{2}
			\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|X|}\hline
			\multicolumn{2}{|l|}{$\triangleright$ \textbf{Calcul formel}}\\ 
			\hline
			1	& Intégrale[ 1*cos(n*t), t, -pi/2, pi/2 ]\\
				& \rule[-2.ex]{0pt}{0pt} % permet l'affichage correct du dénominateur
				 $\to $ \, $ 2 {\cdot \dfrac{\sin \left(  \text{n} ~ \frac{\pi}{2} \right) }{\text{n}}}$\\
			\hline
			\end{tabularx}
			\end{center}
	Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $ a_n = \dfrac{2}{n \pi}\sin \left( \dfrac{n \pi}{2} \right)  $.


	\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous avec des valeurs exactes.
	
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering  \arraybackslash}X|}}\hline
	  $n$    &  0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\hline
	  $a_n$  &   &   &   &   &   & \\\hline
\end{tabularx}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C. Étude du spectre}

\medskip


\begin{enumerate}
	\item Le spectre d'amplitude de la fonction $f$ est donné par les nombres $A_n$
	définis pour tout entier $n$ non nul par $ A_n = \sqrt{a_n^2+b_n^2} $ et $A_0 = |a_0|$. Dans ce cas $A_0 = \dfrac{1}{2}$.
	
	Indiquer, sans justification, quel est, parmi les spectres d'amplitude ci-dessous, celui associé à $f$.
	
	% 3 graphiques
	\begin{minipage}[c]{.33\linewidth}
	\psset{xunit=.48cm , yunit=2cm}
	\begin{pspicture*}(-1.15,-0.4)(6.,1.4)
	\def\xmin{-0.5} \def\xmax{5.6} \def\ymin{-0.3} \def\ymax{1.3}
	%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-0.6,-0.4)(5.45,1.4)
	\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
	\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
	\psset{xunit=1cm,yunit=1.25cm}
	%\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-0.5,-0.6)(5.35,2.6)
	\psset{xunit=.5cm , yunit=2cm}
	\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=0.5,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
	\psclip{%
	\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
	}
	\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
	\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
	\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
	% Annotation de l'axe des abscisses
	\uput[d](5.365,0.05){$n$}
	% Annotation de l'axe des abscisses
	\uput[r](-0.1,1.2){$A_n$}
	
	% ---- Courbe -----
	\psline[linecolor=red, linewidth=2px](0,0)(0, .5)	
	\psline[linecolor=red, linewidth=2px](1, 0)(1, .64)	
	\psline[linecolor=red, linewidth=2px](2,0)(2,.4)	
	\psline[linecolor=red, linewidth=2px](3, 0)(3,.2)	
	\psline[linecolor=red, linewidth=2px](4,0)(4,0.15)	
	\psline[linecolor=red, linewidth=2px](5, 0)(5,.12)
\endpsclip
\end{pspicture*}
	
	\begin{center}
	Spectre 1
	\end{center}
	
\end{minipage}\begin{minipage}[c]{.33\linewidth}
	\psset{xunit=.48cm , yunit=2cm}
	\begin{pspicture*}(-1.15,-0.4)(6.,1.4)
	\def\xmin{-0.5} \def\xmax{5.6} \def\ymin{-0.3} \def\ymax{1.3}
	%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-0.6,-0.4)(5.45,1.4)
	\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
	\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
	\psset{xunit=1cm,yunit=1.25cm}
	%\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-0.5,-0.6)(5.35,2.6)
	\psset{xunit=.5cm , yunit=2cm}
	\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=0.5,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
	\psclip{%
	\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
	}
	\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
	\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
	\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
	% Annotation de l'axe des abscisses
	\uput[d](5.365,0.05){$n$}
	% Annotation de l'axe des abscisses
	\uput[r](-0.1,1.2){$A_n$}
	
	% ---- Courbe -----
	\psline[linecolor=red, linewidth=2px](0,0)(0, .5)	
	\psline[linecolor=red, linewidth=2px](1, 0)(1, .64)	
	\psline[linecolor=red, linewidth=2px](3, 0)(3,.21)		
	\psline[linecolor=red, linewidth=2px](5, 0)(5,.12)
\endpsclip
\end{pspicture*}
	 \begin{center}
	 Spectre 2
	 \end{center}
\end{minipage}\begin{minipage}[c]{.33\linewidth}

\psset{xunit=.48cm , yunit=2cm}
	\begin{pspicture*}(-1.15,-0.4)(6.,1.4)
	\def\xmin{-0.5} \def\xmax{5.6} \def\ymin{-0.3} \def\ymax{1.3}
	%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-0.6,-0.4)(5.45,1.4)
	\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
	\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
	\psset{xunit=1cm,yunit=1.25cm}
	%\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-0.5,-0.6)(5.35,2.6)
	\psset{xunit=.5cm , yunit=2cm}
	\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=0.5,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
	\psclip{%
	\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
	}
	\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
	\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
	\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
	% Annotation de l'axe des abscisses
	\uput[d](5.365,0.05){$n$}
	% Annotation de l'axe des abscisses
	\uput[r](-0.1,1.2){$A_n$}
	
	% ---- Courbe -----
	\psline[linecolor=red, linewidth=2px](0,0)(0, .64)	
	\psline[linecolor=red, linewidth=2px](1, 0)(1, .3)	
	\psline[linecolor=red, linewidth=2px](3, 0)(3,.21)		
	\psline[linecolor=red, linewidth=2px](5, 0)(5,.12)
\endpsclip
\end{pspicture*}
	
	\begin{center}
	Spectre 3
	\end{center}
\end{minipage}	
	
\medskip
	
	\item On note $f_e$ la valeur efficace de la fonction $f$. Cette valeur est définie par l'égalité :
	\[f_e^2 = \dfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \left( f(t) \right)^2 \mathrm{d}t . \]
	Montrer que $f_e^2 = \dfrac{1}{2}.$
	
	\item  Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note
	 \[ S_{n} = a_{0}^{2} + \dfrac{1}{2} \sum _{k=1} ^{n} a_{k}^{2} .\]
	\begin{enumerate}
	
		\item On considère l'algorithme suivant.
		
		% ---------- Algorithme ------------
		\fbox{\parbox{.7\linewidth \fboxrule \fboxsep}{
			\emph{Variables}
			
			$S$, $P$ et $a$ sont des nombres réels
			
			$k$ est un nombre entier
			
			\emph{Initialisation}
			
			$k$ prend la valeur 0
			
			$a$ prend la valeur \np{0,5}
			
			$S$  prend la valeur $a^2$
			
			$P$  prend la valeur \np{0,5}
			
			\emph{Traitement}
			
			Tant que $ \dfrac{S}{P} < \np{0,95}$
			
			\setlength\parindent{1cm}
				$k$ prend la valeur $k+1$
				
				$a$ prend la valeur $ \dfrac{2}{k \pi} \sin\left( \dfrac{k \pi}{2} \right)  $
				
				$S$ prend la valeur $ S + \dfrac{1}{2} ~ a^2$

			\setlength\parindent{0cm}
			Fin de Tant que
			
			\emph{Affichage}
			
			Afficher $k$
		}
		} % -------  Fin de l'algorithme  ------
		
		\begin{flushleft}
		Faire tourner cet algorithme « à la main » jusqu'à son arrêt, en complétant le tableau ci-dessous que l'on recopiera sur la copie.
		\end{flushleft}
		
		% Tableau 4 colonnes avec barre verticales, 1 colone la dernière sans barre
\begin{tabularx}{.9\linewidth}{|*{4}{>{\centering\arraybackslash}X|} >{\centering  \arraybackslash}X}% la cololonne sans barre\hline
$k$  &  0 & 1 & 2 & \dots \\\hline
	  	$a$  & \np{0,5}  & \np{0,637}  &   &   \\\hline
		$S$  & \np{0,25}  & \np{0,453}  &   &   \\\hline
		\rule{0pt}{3.3ex}	% correction pour l'affichage de la fraction dans la cellule
	\rule[-2ex]{0pt}{0pt}	% idem bas	
$ \dfrac{S}{P} < \np{0,95} $ & VRAI  & VRAI  &   &   \\\hline
	\end{tabularx}		
	
\medskip
		
		\item Quelle est la valeur numérique affichée par l'algorithme ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{Formulaire pour les séries de Fourier}

	\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline\\
$f$ : fonction périodique de période $ T = \dfrac{2 \pi}{\omega}$.\\
Développement en série de Fourier :
%\\
\[ s(t) = a_{0} + \sum _{n=1} ^{+\infty} \left( a_{n} \cos(n \omega t ) + b_{n} \sin(n \omega t ) \right) \; ;\] \\
\[ a_0 = \dfrac{1}{T} \, \int _{a} ^{a+T} f(t) \,\mathrm{d}t \; ;\]\\
\[ a_n = \dfrac{2}{T} \, \int _{a} ^{a+T} f(t) \,\cos(n \omega t) \,\mathrm{d}t \quad (n \in \mathbb{N}^{*} ) \; ;\]		\\
\[ b_n = \dfrac{2}{T} \, \int _{a} ^{a+T} f(t) \,\sin(n \omega t)\,\mathrm{d}t  \; .\]\\ \hline	
	\end{tabularx}
\end{document}