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%Tapuscrit : Denis Vergès ; Dominique Vallée pour l'exercice 2.
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupe B2}}
\rfoot{\small{12 mai 2016}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur Métropole--Antilles--Guyane\\ 12 mai 2016 - groupement B2}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\parbox{0.55\linewidth}{
Une société utilise,  dans le cadre de son activité de nettoyage de
vitres,  une nacelle élévatrice à mât télescopique  vertical. On souhaite étudier  la durée nécessaire pour que la nacelle atteigne sa hauteur opérationnelle.

On note $f(t)$ la hauteur, en mètre de la nacelle à l'instant $t$,  en
seconde. On suppose  que $f$ une fonction de la variable $t$
définie et dérivable  sur $[0~;~+ \infty[$.}\hfill
\parbox{0.35\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,7)
\psframe*(0,0)(0.2,0.2)\psframe*(1,0)(1.2,0.2)
\psframe(0.2,0.1)(1,0.3)
\psframe(0.3,0.3)(0.9,1.7)
\psframe(0.4,1.7)(0.8,2.9)
\psframe(0.5,2.9)(0.7,4.6)
\psframe(0.4,4.6)(1.4,4.8)
\pspolygon*(1.2,4.6)(1.45,4.6)(3.15,6.1)(2.9,6.1)
\psframe(2.9,6.1)(3.9,6.25)
\pspolygon(2.9,6.25)(3.9,6.25)(4.1,6.55)(2.9,6.55)
\pspolygon(2.9,6.55)(4.1,6.55)(3.9,6.75)(2.9,6.75)(2.9,6.55)
\psset{arrowsize=2pt 4}
\psline[linestyle=dashed]{<->}(4.4,0)(4.4,6.1)
\psline[linestyle=dashed](4.4,0)(1.2,0)
\psline[linestyle=dashed](4.4,6.1)(3.9,6.1)
\uput[l](4.4,3.05){$f(t)$}
\end{pspicture}
}

\begin{center}
\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}\end{center}

\bigskip

\textbf{A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle $(E)$ :

\[y'+ \np{0,3}y = \np{3,6} \]

où $y$ est une fonction inconnue de la variable réelle $t$,  définie et dérivable sur l'intervalle
$[0~;~+ \infty[$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle $\left(E_0\right)$ :

\[y'+ \np{0,3} y = 0.\]

On fournit les formules suivantes.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline
Équation différentielle & Solutions sur un  intervalle $I$\\ \hline
$y' +  ay = 0$			& $h(t) = k\,\text{e}^{- at}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Vérifier que la fonction $g$, définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $g(t) = 12$,  est une solution de l'équation différentielle $(E)$.
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.
\item \emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte.\\
Recopier sur la copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne  demande aucune justification.\\
La réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne
rapporte ni n'enlève de point.}

\smallskip

On a représenté ci-dessous â l'aide d'un logiciel, certaines solutions de  l'équation différentielle 
$(E)$.

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-11)(13,12.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-2,-11)(13,12.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(13,12.2)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{13}{12 2.71828 0.3 x mul neg exp 22 mul sub}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linestyle=dotted]{0}{13}{12 2.71828 0.3 x mul neg exp 12 mul sub}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{0}{13}{12 2.71828 0.3 x mul neg exp 10 mul sub}
\uput[u](1,5.75){$C_3$}\uput[d](1,2){$C_2$}\uput[d](1,-6){\blue $C_1$}
\end{pspicture}
\end{center}

La courbe représentative de la solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie la condition
initiale $f(0) = 2$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
la courbe $C_1$&la courbe $C_2$&la courbe $C_3$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Étude de fonction et application}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$  par 

\[f(t) = - 10 \,\text{e}^{- \np{0,3} t} + 12.\]

On rappelle  que $f(t)$  désigne la hauteur de la nacelle, exprimée en mètre, à l'instant $t$,
exprimé en seconde.

On désigne par $C$  la courbe représentative de $f$ dans un repère \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la hauteur de la nacelle à l'instant $t = 0$.
\item Un logiciel de calcul formel fournit les résultats suivants que l'on admet et qui pourront 
être exploités dans les questions suivantes.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|X|}\hline
\multicolumn{2}{|l|}{\texttt{Calcul formel}}\\ \hline
1	& $ \mathtt{ f(t) : = - 10*\text{exp}(- 0,3\,t) + 12 }$ \\
	& $ \mathtt{ \to \quad f(t) : = - 10\,\text{e}^{-\frac{3}{10}t} + 12 }$\\ \hline
2	& \texttt{Limite }$  \mathtt{ [f(t), + \infty] }$\\
	& $  \mathtt{ \to 12 } $\\ \hline
3	& $ \mathtt{ f(t) } $\\
	& \texttt{Dérivée : }$  \mathtt{ 3\,\text{e}^{-\frac{3}{10}t} } $\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la courbe $C$ admet une asymptote dont on donnera une équation.
		\item Déterminer le signe de $f'(t)$ sur $[0~;~+ \infty[$ puis on déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur cet intervalle,
		\item La vitesse de la nacelle, en mètre par seconde, à l'instant $t$, exprimé en seconde, est
modélisée par $f'(t)$. Calculer la vitesse de la nacelle à l'instant $t = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C. Algorithmique et application}

\medskip

On considère que la nacelle est stabilisée dès lors que sa hauteur $f(t)$ à l'instant $t$ vérifie
l'encadrement :

\[11,9 \leqslant f(t) \leqslant 12.\]

On rappelle que la fonction $f$ est définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[f(t) = -  10 \,\text{e}^{-0,3t} + 12.\]

L'objectif de cette partie est de déterminer à partir de quel instant la nacelle peut être
considérée comme stabilisée.

\begin{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l|X|}\hline
Variable :			&$t$ est un nombre réel\\
Initialisation :	&$t$ prend la valeur 0\\
Traitement :		&Tant que $f(t) <  \np{11,9} $\\
					&\hspace{0,5cm} $t$ prend la valeur $t + 1$\\
					&Fin de Tant que\\
Affichage : 		&Afficher $t$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Faire tourner cet algorithme \og  à la main \fg{} en complétant le tableau ci-dessous que l'on
recopiera sur la copie.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Étapes	&Valeur de $t$	&Valeur de $f(t)$	      &\small Condition $f(t) < \np{11,9} $ & Affichage\\ \hline
étape 1	&0 				&$f(0) = 2$			      &VRAIE					& aucun\\ \hline
étape 2	&1				&$f(1) \approx \np{4,59} $&VRAIE					& aucun\\ \hline
\ldots	&\ldots			&\ldots				      &\ldots					&\ldots\\ \hline
étape 14&13				&$f(13)\approx \np{11,80}$&		    				&\\ \hline
étape 15&				&				          &	    					&\\ \hline
étape 16&				&					      & 						&\\ \hline
étape 17&				&					      &			    			&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item À partir de quel instant $t_0$, arrondi à la seconde, peut-on considérer que la nacelle est
stabilisée ?
\item Proposer une modification de l'algorithme précédent afin qu'il permette d'obtenir une
valeur approchée de $t_0$ arrondie au dixième.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}



%%%  ----------------- Exercice 2   ----------------------------------------------------------
\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\begin{flushleft}
	On considère un moteur à courant continu. On note $e(t)$ le signal d'entrée et $s(t)$ le signal de sortie.
	 La quantité $e(t)$ représente la tension électrique à l'entrée du moteur et $s(t)$ la vitesse de rotation du moteur.
\end{flushleft}

% schéma décrivant sommairement l'entrée, le moteur, la sortie. Deux flèches, et un cercle.
\begin{center}

	%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
	\psset{xunit=1cm , yunit=1cm}
	\begin{pspicture*}(-0.2,-1.4)(6.4,1.4)
		\def\xmin{0} \def\xmax{6.2} \def\ymin{-1.2} \def\ymax{1.2}
		%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-0.2,-1.4)(6.4,1.4)
		\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
		\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
		\psclip{%
		\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
		}
		\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
		\pscircle(3.0000,0.0000){1.0000}
		\psline{->}(0.0000,0.0000)(2.0000,0.0000)
		\psline{->}(4.0000,0.0000)(6.0000,0.0000)
		% entrée
		\uput{0.1}[30.0](.7,0.2){$e(t)$}
		
		% sortientrée
		\uput{0.1}[30.0](4.7,0.2){$s(t)$}
		\endpsclip
	\end{pspicture*}

\end{center}
% --- fin du schéma  -------

\bigskip



\begin{flushleft}
	Une fonction définie sur $\mathbb{R}$ est dite causale si elle est nulle sur l'intervalle $]-\infty ; 0 [$.
	
	On suppose que le système est régi par l'équation différentielle suivante :
	\[\dfrac{L J}{k_{c}} s''(t) + \dfrac{R J}{k_{c}} s'(t) + k_{e}~s(t) = e(t)\]
	
	où $s$ est la fonction causale vérifiant $s(0^{+})=0$ et $s'(0^{+})=0$.
	
	On se place dans le cas où 
	$ k_{e} = 2$, $k_{c} = \np{0,01}$, $J = \np{0,01}$, $L = 1$ et $R = 3$,
	 exprimés en unités du système international.
\end{flushleft}

\begin{flushleft}
	On se propose de déterminer $s(t)$ en utilisant la transformation de Laplace. On suppose que $s$, $s'$, $s''$ et 
	$e$ admettent des transformées de Laplace.
	
	On note $E(p) = \mathcal{L}(e(t))$ et $S(p) = \mathcal{L}(s(t))$, où $\mathcal{L}$ est la transformée de Laplace.
	
	On désigne par $\mathcal{U}$ la fonction échelon unité définie par $\mathcal{U}(t) = 0$ si $t<0$ et $\mathcal{U}(t) = 1$ si $t\geqslant 0$.

\end{flushleft}

\begin{center}
	\textbf{Un formulaire concernant la transformation de Laplace est fourni page 6/6}
\end{center}

%  ------------  Partie A    -------------------------------
\textbf{A. Transformée de Laplace \emph{S} du signal de sortie}

\medskip

\setlength\parindent{8mm}
\begin{enumerate}
	\item Montrer que l'équation différentielle régissant le moteur peut s'écrire :
		\[ s''(t) + 3~s'(t) + 2 ~s(t) = e(t).\]
	\item On se place dans cet exercice dans le cas où $e(t) = \mathcal{U}(t)$. Déterminer $E(p)$.
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $ \mathcal{L}(s'(t)) = p S(p) $ et que $ \mathcal{L}(s''(t)) = p^{2} S(p) $.
		On rappelle que $s(0^{+})=0$ et $s'(0^{+})=0$.
		\item En déduire que $ \mathcal{L}(s''(t) + 3~s'(t) + 2 ~ s(t)) = (p^2 + 3~p + 2)S(p) $.
	\end{enumerate}
	\item En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l'équation différentielle, montrer que \[ S(p) = \dfrac{1}{p(p^2 + 3~p + 2)} . \]
\end{enumerate}
\setlength\parindent{0mm}



\bigskip

% ----------    Partie B  --------------------------
\textbf{B. Expression du signal de sortie \emph{s}}

\medskip



\setlength\parindent{8mm}


\medskip

\begin{enumerate}
	\item Un logiciel de calcul formel permet ci-dessous de transformer l'expression :
		\[ \dfrac{1}{p(p^2 + 3~p + 2)}. \]
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|ll|}
			% ligne 1
			\hline
			\texttt{(\%i1)} & \texttt{partfrac(1/(p*(p$^{\wedge}$2+3*p+2)),p)}\\ 
			% ligne 2
			\texttt{(\%o1)} & $ \mathtt{\dfrac{1}{2(p+2)} - \dfrac{1}{p+1} + \dfrac{1}{2p}}$ \\ 
			\hline			
			\end{tabular} 
		\end{center}
		En admettant le résultat fourni par le logiciel, en déduire une nouvelle expression de $S(p)$.
	\item  Donner les originaux de 
					$ \mathcal{L}^{-1} \left( \dfrac{1}{p} \right)  $,
					$ \mathcal{L}^{-1} \left( \dfrac{1}{p+1} \right) $, et
					$ \mathcal{L}^{-1} \left( \dfrac{1}{p+2} \right) $.
	
	\item
		\begin{enumerate}
			\item En déduire une expression de $s$ en fonction de $\mathcal{U}$.
			\item Justifier que, pour tout 
			$t\geqslant 0, \, s(t) = \dfrac{1}{2} \mathrm{e}^{-2t} - \mathrm{e}^{-t} + \dfrac{1}{2}$.
		\end{enumerate}

\end{enumerate}

\bigskip

% ----------   Partie C   -------------
\textbf{C. Étude de la valeur finale de \emph{s}}
\begin{enumerate}
	% question 1
	\item On rappelle que, pour tout réel $ p > 0, \, S(p) = \dfrac{1}{p(p^2 + 3~p + 2)} .$
	
	Déterminer $ \lim \limits_{\substack{p \rightarrow 0 \\ p>0}} p S(p).$
	
	% question 2	
	\item On rappelle que, pour tout $t\geqslant 0, \, s(t) = \dfrac{1}{2} \mathrm{e}^{-2t} - \mathrm{e}^{-t} + \dfrac{1}{2}$.
	
	On rappelle que $\lim \limits_{t \rightarrow + \infty} \mathrm{e}^{-t} = 0$.
	
	Déterminer $ \lim \limits_{t \rightarrow + \infty} s(t)$.
	
	% question 3
	\item Le théorème de la valeur finale fournit l'égalité suivante :
		\[ \lim \limits_{\substack{p \rightarrow 0 \\ p>0}} p S(p) = \lim \limits_{t \rightarrow + \infty} s(t). \]
		Cette égalité est-elle bien vérifiée ?
	
	\smallskip

\end{enumerate}
% ------------ Fin exercice 2 -----------------------------------


% ----------- Page formulaire ------------------------------------
\newpage
\textbf{\emph{Formulaire}}

\begin{center}
	% tableau 5, lignes 3 colones
	\begin{tabular}{ccc}
	%\hline
	% ligne 1 
	 & $\mathcal{L}$ &  \\ 
	% ligne 2
	\multicolumn{3}{c}{% dessin fleche 1
			\psset{xunit=1.2cm , yunit=1cm}
				\rput(0,.15){
					\begin{pspicture*}(-0.5,-0.3)(2.7,0.7)
						\def\xmin{-0.1} \def\xmax{2.5} \def\ymin{-0.1} \def\ymax{0.5}
					
						\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
						% variables
						\def \x0{0} \def \y0{0}
						
						\definecolor{mongris}{gray}{0.85}
						% flèche talon à gauche
						\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=mongris]
						{
						\pscurve(\x0,\y0)(0.1,0.15)(1.1,.4)
						\pscurve(.26,0.08)(0.22,0)
						\psline(0.22,0)(\x0,\y0)
						}
						
						% flèche pointe à  droite
						\pscurve(1.1,.4)(2.1,.3)(2.2,.2)
						\pscurve(1.1,.4)(1.9,.3)(2.,.2)
						\psline(2.,.2)(1.8,.2)(2.09,0)(2.35,.2)(2.2,.2)
					
					\end{pspicture*}
			}
	} \\ 
	% ligne 3 
		$f(t) \mathcal{U}(t)$ &  & $F(p)$ \\ 
	% ligne 4 
		\multicolumn{3}{c}{% dessin fleche 2
			\psset{xunit=1.2cm , yunit=1cm}
			\rput{180}(0,0.1){
				\begin{pspicture*}(-0.5,-0.3)(2.7,.7)
			
					\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
					% variables
					\def \x0{0} \def \y0{0}
					
					\definecolor{mongris}{gray}{0.85}
					% flèche talon à gauche
					\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=mongris]
					{
					\pscurve(\x0,\y0)(0.1,0.15)(1.1,.4)
					\pscurve(.26,0.08)(0.22,0)
					\psline(0.22,0)(\x0,\y0)
					}
					
					% flèche pointe à  droite
					\pscurve(1.1,.4)(2.1,.3)(2.2,.2)
					\pscurve(1.1,.4)(1.9,.3)(2.,.2)
					\psline(2.,.2)(1.8,.2)(2.09,0)(2.35,.2)(2.2,.2)
				
					\end{pspicture*}	
			} % rotation à 180
		
		} \\ 
	% ligne 5
	 & $\mathcal{L}^{-1}$ &  \\ 
	%\hline 
	\end{tabular}

\end{center}

\begin{flushleft}
On rappelle les formules suivantes sur la transformation de Laplace.
	% linéarité
	\[ \mathcal{L}[ \lambda f + \mu g ] = \lambda \, \mathcal{L}[f] + \mu \, \mathcal{L}[g]. \]
	% Transformée de U(t)
	\[ \mathcal{L}[ \mathcal{U}(t)] = \dfrac{1}{p}. \]
	% Transformée d'exponentielle
	\[ \mathcal{L}[ \mathrm{e}^{-a t} \mathcal{U}(t)] = \dfrac{1}{p+a}. \]

Plus généralement, si on note $ \mathcal{L}[ f(t) \mathcal{U}(t)] = F(p) $ alors,
	% Transformée du retard
	\[ \mathcal{L}[ f(t - \tau) \mathcal{U}(t - \tau)] = F(p) \, \mathrm{e}^{- \tau p} ;\]
	% Transformée d'un produit par une exponentielle
	\[ \mathcal{L}[ f(t) \, \mathrm{e}^{-a t} \mathcal{U}(t)] = F(p+a) ;\]
	% Transformée d'une dérivée
	\[ \mathcal{L}[ f'(t) \mathcal{U}(t)] = p\,F(p) - f(0^{+}) ;\]
	% Transformée d'une dérivée seconde
	\[ \mathcal{L}[ f''(t) \mathcal{U}(t)] = p^{2}\,F(p) - p\,f(0^{+}) - f'(0^{+}) .\]
\end{flushleft}





\end{document}