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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupe B1}}
\rfoot{\small{14 mai 2013}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur Métropole--Antilles--Guyane\\ session 2013 - groupement B1}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}

Dans cet exercice, on étudie des fonctions intervenant dans les prévisions sur la vitesse moyenne du vent pour l'implantation d'éoliennes.

\medskip

\textbf{A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle 

\[(E) \::\qquad  y' + (0,25 x) y = 0,25 x\]
 
où $y$ est une fonction inconnue de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ et $y'$ sa fonction dérivée.

\medskip
  
\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions définies sur $[0~;~+ \infty[$ de l'équation différentielle 

\[\left(E_{0}\right)\: : \qquad  y' + (0,25 x) y = 0.\] 

\item Vérifier que la fonction constante $h$, définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $h(x) = 1$, est une solution de l'équation différentielle $(E)$. 
\item En déduire les solutions de l'équation différentielle $(E)$. 
\item Déterminer la solution de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie la condition initiale $F(0) = 0$.
 
\textbf{Remarque :  la fonction F intervient dans la partie C de cet exercice}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{B. Étude d'une fonction}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = (0,25 x)\text{e}^{-0,125 x^2}\]
 
\textbf{Remarque : la fonction $f$ n'est pas une solution de l'équation différentielle (E)}.

\medskip
 
On désigne par $C$ la courbe représentative de $f$ dans un repère \Oij.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item \emph{Les questions a. et b. suivantes sont des questions à choix multiples. Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne demande aucune justification. 
La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}

\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$ est égal à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$+ \infty$&$- \infty$&$0$\\ \hline
\end{tabularx} 

\medskip
 
		\item En $+ \infty$ la courbe $C$ admet une asymptote d'équation: 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$y = -0,125x^2$&$y = 0$&$x = 0$\\ \hline
\end{tabularx} 

\medskip
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, 
		
		\[f'(x) = \np{0,0625}(2 + x)(2 - x)\text{e}^{- 0,125x^2}\]
		
		\item En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. 
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate} 
\item Un logiciel de calcul formel fournit le développement limité de la fonction $f$, à l'ordre 3, au voisinage de zéro : 

\[f(x) = 0,25 x - \np{0,03125} x^3 + x^3 \epsilon(X)\quad  \text{avec}\: \lim_{x \to 0} \epsilon(x) = 0.\] 

\textbf{Ce résultat est admis et n'est donc pas à démontrer.}  
	\begin{enumerate}
		\item En déduire une équation de la tangente $T$ à la courbe $C$ au point d'abscisse $0$. 
		\item Étudier la position relative de $T$ et de $C$ au voisinage du point d'abscisse $0$, pour $x$ positif.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{C. Application à l'étude de la vitesse du vent}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $F$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[F(x) = 1 - \text{e}^{-0,125 x^2}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} F(x)$. 
		\item Démontrer que $F$ est une primitive sur $[0~;~+ \infty[$ de la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par : 
		 
\[f(x) = (0,25 x) \text{e}^{-0,125 x^2}.\] 
	\end{enumerate}
\item Calculer $I = \displaystyle\int_{1}^6  f(x)\text{d}x$. Donner la valeur approchée du résultat arrondie à $10^{- 2}$.
 
\emph{Le résultat précédent donne la probabilité, qu'une journée donnée, la vitesse moyenne du vent soit comprise entre $1$ m/s et $6$ m/s.} 
\end{enumerate} 

 \vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\begin{center}
 
\textbf{Les quatre parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. 
Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à \boldmath $10^{- 2}$\unboldmath}\end{center}
 
\textbf{A. Loi de Poisson}

\medskip
 
On  désigne par $X$ la variable aléatoire qui, a tout intervalle de temps d'une durée de 30~secondes, associe le nombre de skieurs se présentant à une remontée mécanique, entre 14 heures et 15 heures. On admet que $X$ suit la loi de Poisson de paramètre $\lambda = 6$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité $P(X = 6)$. 
\item Calculer la probabilité que, pendant un intervalle de temps d'une durée de $30$ secondes pris au hasard entre 14~heures et 15~heures, il se présente au plus 6~skieurs.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{B. Loi normale}

\medskip
 
Une entreprise découpe une grande quantité de tubes pour le montage des remontées mécaniques. La longueur des tubes est exprimée en millimètres. Un tube est dit \og conforme pour la longueur \fg{} lorsque celle-ci appartient à l'intervalle [245~;~255]. 

On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque tube pris au hasard dans la production d'une journée, associe sa longueur.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Après un réglage de la machine, on admet que la variable aléatoire $Y$ suit la loi normale de moyenne $250$ et d'écart type $3$.

Calculer la probabilité qu'un tube pris au hasard dans la production de cette journée soit conforme pour la longueur. 
\item Le résultat obtenu au 1. n'est pas jugé satisfaisant. On décide de modifier l'écart type à l'aide d'un nouveau réglage de la machine. Dans cette question, la variable aléatoire $Y$ suit une loi normale de moyenne $250$ et d'écart type $\sigma$. 

Déterminer l'écart type $\sigma$ pour que $P(245 \leqslant Y \leqslant 255) = 0,97$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{C. Loi binomiale}

\medskip
 
Dans un lot de tubes, 3\,\% des tubes ne sont pas conformes pour la longueur. On prélève au hasard $50$~tubes de ce lot. Le lot est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de $50$~lots.
 
On considère la variable aléatoire $Z$ qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de tubes qui ne sont pas conformes pour la longueur.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $Z$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 
\item Calculer la probabilité $P(Z = 0)$. 
\item Calculer la probabilité que dans un tel prélèvement au moins un tube ne soit pas conforme pour la longueur. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{D. Test d'hypothèse}

\medskip
 
On se propose de construire un test d'hypothèse pour contrôler la moyenne $\mu$ inconnue des longueurs, exprimées en millimètres, d'un lot important de tubes destinés au montage des remontées mécaniques.
 
On désigne par $\overline{L}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de $50$~tubes prélevés au hasard dans ce lot, associe la moyenne des longueurs de ces tubes (le lot est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise).
 
L'hypothèse nulle est $H_{0} : \mu = 250$. Dans ce cas, on considère que le lot est conforme.

L'hypothèse alternative est $H_{1} : \mu \neq 250$.
  
Le seuil de signification du test est fixé à 5\,\%.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Sous l'hypothèse nulle $H_{0}$, on admet que la variable aléatoire $\overline{L}$ suit la loi normale de moyenne $250$ et d'écart type $0,33$. 

On admet également que $P(249,35 < \overline{L} < 250,65) = 0,95$. Ce résultat n'a pas à être démontré.
 
Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test. 
\item On prélève un échantillon aléatoire de $50$~tubes dans le lot et on observe que, pour cet échantillon, la moyenne des longueurs des tubes est $\overline{\ell} = 250,49$.
 
Peut-on, au seuil de 5\,\%, conclure que ce lot est conforme ? 
\end{enumerate}
\end{document}