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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupement A}}
\rfoot{\small{septembre 2020}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur septembre 2020 - groupement A}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Spécialités :}
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item Électrotechnique
\item Systèmes phoniques
\item Techniques physiques pour l'industrie et le laboratoire
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip


Afin d'assurer une meilleure protection contre les surtensions du réseau et de réduire les harmoniques de courant produits par le variateur sur le réseau, un technicien décide d'insérer en amont du variateur une inductance de ligne.

\medskip

\emph{\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}}

\medskip

\textbf{Partie A : étude du modèle théorique}

\medskip

On note $i_1$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ qui modélise le courant (exprimé en ampère) induit dans cette inductance en fonction du temps $t$ (exprimé en seconde).

À l'instant $t = 0$, aucun courant ne circule donc : $i_1(0) = 0$.

L'équation régissant l'évolution du courant il dans le circuit est:
di,
\[L \dfrac{\text{d}i_1}{\text{d}t} + R i_1  = E\]

où $L$ est l'inductance, exprimée en henry (H), $R$ est la résistance, exprimée en ohm ($\Omega$), et $E$ est la différence de potentiel dans le circuit, exprimée en volt (V).

On donne: $E = 6$V.

\medskip

\textbf{Dans cette partie}, on prend $R = 0,5\Omega$ et $L = 0,015$H. Ces valeurs sont celles qui figurent sur la plaque signalétique de l'inductance que le technicien souhaite installer.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la fonction $i_1$ est solution, sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$, de l'équation différentielle 

\[\left(E_1\right) \quad  3y' + 100y = \np{1200}.\]

\item On rappelle que l'équation différentielle $ay' + by = 0$ ($a$ et $b$ réels avec $a \ne 0$) admet pour solutions les fonctions définies, pour tout réel $t$, par : 

\[y(t) = K\text{e}^{-\frac{b}{a}t} , \: \text{avec }\:K \:\: \text{constante réelle}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Donner les solutions de l'équation différentielle $\left(E_0\right) :\:\: 3y' + 100y = 0$.
		\item Déterminer une fonction constante $y_0 : t \longmapsto  c$, $c$ constante réelle, qui soit solution particulière de l'équation différentielle $(E_l)$.
		\item En déduire les solutions de l'équation différentielle $(E_l)$. 
	\end{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel positif ou nul $t$ :

\[i_1(t) = 12 - 12\text{e}^{-\frac{100}{3}t}.\]

\item On note $i_1'$ la fonction dérivée de la fonction $i_1$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.
Calculer $i_1'(t)$ et en déduire que la fonction $i_1$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$. 
\item Sur l'annexe 1  on a tracé la courbe $\Gamma$ qui représente la fonction $i_1$.

On note $T$ la tangente à cette courbe en son point d'abscisse $0$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de la droite $T$. 
\item Tracer la droite $T$ sur le même graphique que la courbe $\Gamma$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : contrôle des valeurs de $\boldsymbol R$ et $\boldsymbol L$}

\medskip

Le technicien souhaite contrôler que l'inductance de ligne qu'il veut installer possède bien les valeurs indiquées sur la plaque signalétique. On rappelle ces valeurs: $R=0,5\Omega$ et $L = 0,015$H.

Pour effectuer ce contrôle, il prend $E = 6$V et enregistre, à l'aide d'un système d'acquisition informatisé, l'intensité (en ampère) du courant qui traverse le circuit en fonction du temps (en seconde).

Le résultat de l'enregistrement montre des différences avec la courbe $\Gamma$ donnée dans la partie A. Le technicien se sert de cet enregistrement pour déterminer les valeurs réelles de $R$ et de $L$ dans l'inductance de ligne considérée.

Sur le schéma ci-dessous, la courbe $\mathcal{C}$ représente l'intensité du courant enregistrée. Cette intensité (en ampère), à l'instant $t$ (en seconde), est notée $i_2(t)$.

La droite $\Delta$ tracée est la tangente à $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse $0$.

Le point de coordonnées $(0,02~;~12)$ appartient à $\Delta$.


\begin{center}
\psset{xunit=50cm,yunit=0.5cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.02,-0.5)(0.2,13)
\multido{\n=0.000+0.004}{51}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,13)}
\multido{\n=0.00+0.02}{11}{\psline[linewidth=0.8pt](\n,0)(\n,13)}
\multido{\n=0.0+0.4}{33}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=lightgray](0,\n,0)(0.2,\n)}
\multido{\n=0+2}{7}{\psline[linewidth=0.8pt](0,\n)(0.2,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.02,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(0.2,13)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{0.2}{12 1 2.71828 50 x mul neg exp sub mul}
\uput[l](0.02,12){$\Delta$}\uput[d](0.19,12){\blue $\mathcal{C}$}
\psline(0.022,13.2)
\end{pspicture*}
\end{center}

On admet que pour tout réel positif ou nul $t$ :

\[i_2(t) = \dfrac{E}{R} \left(1- \text{e}^{-\frac{R}{L}t}\right).\] 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Conjecturer graphiquement la limite de la fonction $i_2$ quand $t$ tend vers $+ \infty$ .
		\item À l'aide de cette conjecture et en déterminant $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} i_2 (t)$ à partir de l'expression de $i_2 (t)$, montrer que la valeur de $R$ est bien celle figurant sur la plaque signalétique.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la droite $\Delta$ a pour équation : $y = 600t$.
		\item On note $i_2'$ la fonction dérivée de $i_2$. Déterminer $i_2'(t)$ puis $i_2'(0)$ en fonction de $E$ et de $L$. 
		\item En déduire la valeur de $L$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : vérification de la norme}

\medskip

On note $j$ le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

L'impédance complexe de l'inductance de ligne est donnée par le nombre complexe 
$\underline{Z} = R + jL\omega$ avec $R = 0,5~\Omega$ et $L = 0,01$~H.

La pulsation $\omega$ est exprimée en rad/s. On a : $\omega = 2\pi f$ où $f$ est la fréquence du réseau, en Hz.

On donne: $f = 50$ Hz.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur approchée, arrondie à $10^{-2}$, du module de $\underline{Z}$, noté $\left|\underline{Z}\right|$.
\item Le réseau est alimenté par une tension de $230$ V.

La chute de tension $U$ ,exprimée en volt, aux bornes de l'inductance est donnée par :

\[U = \left|\underline{Z}\right|I,\: \text{où}\: I\: \text{est le courant efficace absorbé dans le circuit, exprimé en ampère}.\]

La documentation indique: $I = 3,5$A.

Pour éviter une perte de couple du moteur, la norme EN 50178 impose que la chute de tension $U$ aux bornes de l'inductance de ligne soit comprise entre 3\,\% et 5\,\% de la tension d'alimentation du réseau.

La chute de tension aux bornes de l'inductance de ligne est-elle conforme à la norme EN 50178 ? 

Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 10 points}
 
 \medskip
 
\textbf{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes et peuvent être traitées dans n'importe quel ordre.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\textbf{Dans toute cette partie, les probabilités demandées sont à arrondir à $10^{-3}$ près.}

\medskip

Une entreprise fabrique différents modèles d'ampoules LED.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les ampoules LED MR0011 High Power de 3 watts ont une durée de vie annoncée par l'entreprise égale à \np{35000} heures. On peut modéliser cette durée de vie, exprimée en heure, par une variable aléatoire $D$ suivant une loi normale de moyenne $\mu = \np{35000}$ et d'écart-type $\sigma = \np{1000}$.
	\begin{enumerate}
		\item On donne ci-dessous trois graphiques.
		
L'un des trois représente la fonction densité de la variable aléatoire $D$ et, en gris, la probabilité
$P(\np{33000} \leqslant D \leqslant \np{37000})$. 

Quel est ce graphique ? Justifier. 

\begin{center}
\psset{xunit=0.00125cm, yunit=80cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true}
\def\xmin {30000}   \def\xmax {40000}
\def\ymin {-0.005} \def\ymax {0.05}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=0, gridlabels=0, gridcolor=white, subgridcolor=gray](0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax)
\multido{\n=30500+500}{19}{\uput[d](\n,0){\tiny \np{\n}}}

\def\m{35000}% moyenne 
\def\s{1000}% écart type
\def\f{100/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\psplot[plotpoints=3000]{\xmin}{\xmax}{\f}

\def\inf{33000} \def\sup{37000}
\pscustom[fillstyle=solid,linewidth=0.5pt, fillcolor=lightgray]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\psplot{\sup}{\inf}{0}
\closepath % indispensable !
}
\psaxes[tickstyle=bottom,Dx=500, Dy=0.1, labels=none](0,0)(\xmin,0)(\xmax,0)
\uput[u](31500,0.025){\fbox{~Graphique 1~}}
\end{pspicture*}
%\end{center}

%\begin{center}
%%% graphique 2
\psset{xunit=0.00125cm, yunit=80cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true}
\def\xmin {31000}   \def\xmax {41000}
\def\ymin {-0.005} \def\ymax {0.05}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[subgriddiv=0, gridlabels=0, gridcolor=white, subgridcolor=gray](0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax)
\multido{\n=31500+500}{19}{\uput[d](\n,0){\tiny \np{\n}}}

\def\m{36000}% moyenne 
\def\s{1000}% écart type
\def\f{100/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\psplot[plotpoints=3000]{\xmin}{\xmax}{\f}

\def\inf{33000} \def\sup{37000}
\pscustom[fillstyle=solid,linewidth=0.5pt, fillcolor=lightgray]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\psplot{\sup}{\inf}{0}
\closepath % indispensable !
}
\psaxes[tickstyle=bottom,Dx=500, Dy=0.1, labels=none](0,0)(\xmin,0)(\xmax,0)
\uput[u](32500,0.025){\fbox{~Graphique 2~}}
\end{pspicture*}
%\end{center}

%\begin{center}
%%% graphique 3
\psset{xunit=0.00125cm, yunit=80cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true}
\def\xmin {30000}   \def\xmax {40000}
\def\ymin {-0.005} \def\ymax {0.05}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[subgriddiv=0, gridlabels=0, gridcolor=white, subgridcolor=gray](0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax)
\multido{\n=30359+714,\na=22000+2000}{14}
{
\uput[d](\n,0){\tiny \np{\na}}
\psline(\n,-0.001)(\n,0)
}

\def\m{35000}% moyenne 
\def\s{1000}% écart type
\def\f{100/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\psplot[plotpoints=3000]{\xmin}{\xmax}{\f}

\def\inf{34250} \def\sup{35750}
\pscustom[fillstyle=solid,linewidth=0.5pt, fillcolor=lightgray]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\psplot{\sup}{\inf}{0}
\closepath
}
\psaxes[ticksize=0pt,labels=none](0,0)(\xmin,0)(\xmax,0)
\uput[u](31500,0.025){\fbox{~Graphique 3~}}
\end{pspicture*}
\end{center}

		\item Calculer la probabilité qu'une ampoule LED MR0011 High Power de $3$ watts fonctionne plus de \np{37000} heures.
	\end{enumerate}
\item L'entreprise fabrique d'autres ampoules LED. Celles-ci ont des formes différentes :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 20\,\% des ampoules sont de forme \emph{épi de maïs} ;
\item[$\bullet~~$] 50\,\% des ampoules sont de forme \emph{sphérique} ;
\item[$\bullet~~$] 30\,\% des ampoules sont de forme \emph{ flamme}.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

90\,\% des ampoules de forme \emph{épi de maïs} ont une durée de vie d'au moins \np{50000} heures. 

30\,\% des ampoules de forme \emph{sphérique} ont une durée de vie d'au moins \np{50000} heures. 

La moitié des ampoules de forme \emph{ flamme} ont une durée de vie d'au moins \np{50000} heures.

\medskip

On prélève une ampoule au hasard dans la production de l'entreprise. On considère les évènements suivants :

\begin{description}
\item[ ] $E$ : \og l'ampoule est de forme épi de maïs \fg{} ;
\item[ ] $S$ : \og l'ampoule est de forme sphérique \fg{} ;
\item[ ] $F$ : \og l'ampoule est de forme flamme \fg{} ; 
\item[ ] $V$ : \og l'ampoule a une durée de vie d'au moins \np{50000} heures \fg.
\end{description}

On note $\overline{V}$ l'évènement contraire de l'évènement $V$.

	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'arbre pondéré de probabilités suivant:
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$E$~~}}
	{\Tr{$V$}
	\TR{$\overline{V}$}
	}
\pstree{\TR{$S$~~}}
	{\Tr{$V$}
	\TR{$\overline{V}$}
	}
\pstree{\TR{$F$~~}}
	{\Tr{$V$}
	\TR{$\overline{V}$}
	}
}
\end{center}

\bigskip

		\item Calculer la probabilité $P(F \cap V)$.
		\item Calculer la probabilité qu'une ampoule prise au hasard dans la production ait une durée de vie d'au moins \np{50000} heures.
		\item Quelle est la probabilité qu'une ampoule ayant une durée de vie d'au moins \np{50000} heures soit de forme \emph{épi de maïs} ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le moteur triphasé d'une voiture électrique est alimenté par un onduleur pour modifier sa vitesse. 

La tension simple à la sortie de cet onduleur dépend de $\omega t$  où $\omega$ est la pulsation (en rad/s) et $t$ le temps (en s). On l'exprime sous la forme $v(\omega t)$, où $v$ est une fonction paire, périodique de période $T = 2\pi$, et définie pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~\pi]$ par :

\[\left\{\begin{array}{l c l c l}
v(x) &=& 300 &\text{si} &0 \leqslant x < \frac{\pi}{6} \\[7pt]
v(x) &=& 150 &\text{si} & \frac{\pi}{6} \leqslant  x \leqslant \frac{\pi}{2}\\[7pt]
v(x) &=& -150 &\text{si} & \frac{\pi}{2} < x < \frac{5\pi}{6}\\[7pt]
v(x) &=& -300 &\text{si} &\frac{5\pi}{6} \leqslant x \leqslant \pi
\end{array}\right.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter sur \textbf{l'annexe 2}  la représentation graphique de la fonction $v$ sur l'intervalle $\left[- \dfrac{3\pi}{2}~;~\dfrac{3\pi}{2}\right]$.

On admet que la fonction $v$ est développable en série de Fourier et que, pour tout réel $x$, on a:

\[v(x) = a_0 + \displaystyle\sum_{n=1}^{+ \infty} \left(a_n \cos (nx) + b_n \sin (nx) \right).\]

\item Justifier que $b_n = 0$ pour tout entier $n\geqslant 1$.
\item On rappelle que : $a_0 = \dfrac{2}{T}\displaystyle\int_0^{\frac{T}{2}} v(x)\:\text{d}x$.

 Montrer que : $a_0 = 0$.
\item On donne, pour tout entier $n \geqslant 1$ :\: $a_n = \dfrac{4}{T}\displaystyle\int_0^{\frac{T}{2}}v(x)\cos(nx)\:\text{d}x$.
	\begin{enumerate}
		\item On pose : $I_n =  \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{6}} 300\, \cos(nx)\:\text{d}x$ et $J_n =\displaystyle\int_{\frac{5\pi}{6}}^{\pi} \left[- 300 \cos(nx)\right]\:\text{d}x$
		
Calculer $I_n$ et $J_n$ en fonction de $n$.
		\item Écrire les intégrales qu'il reste à calculer pour obtenir l'expression de $a_n$ en fonction de $n$. 
		
\textbf{On ne demande pas de les calculer.}

	\end{enumerate}
\item On admet que, pour tout entier $n \geqslant 1$, on a : $a_n = \dfrac{300}{n\pi} \left[\sin\left(\dfrac{n\pi}{6}\right) + 2 \sin \left(\dfrac{n\pi}{2}\right) + \sin \left(\dfrac{5n \pi}{6}\right)\right]$.

Recopier et compléter le tableau ci-dessous.
 :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Valeurs de $n$			& 0&1		&2	&3	&4	&5	&6	&7\\ \hline
Valeurs approchées de $a_n$
 arrondies au dixième.	&0 &286,5 	&0 	&0	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item  On évalue la pollution harmonique de deux façons : de manière qualitative, en observant la présence d'harmoniques sur le spectre des amplitudes, et de manière quantitative en calculant le taux de distorsion harmonique par rapport au fondamental.
	\begin{enumerate}
		\item Compléter sur \textbf{l'annexe 2}  le spectre des amplitudes $A_n$ associé à la fonction $v$ pour $n$ allant de $0$ à $7$.
		
On rappelle que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$ : $A_n = \sqrt{a_n^2  + b_n^2}$.
		\item On s'intéresse au taux de distorsion harmonique par rapport au fondamental.
		
On obtient une valeur approchée significative de ce taux en calculant le nombre T donné par :

\[\text{T} = \dfrac{\sqrt{a_2^2 + a_3^2 + a_4^2 + a_5^2 + a_6^2 + a_7^2}}{a_1}.\]

Sachant que ce taux doit être inférieur à 10\,\%, la commande de l'onduleur du moteur est-elle adaptée ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}

\textbf{\large ANNEXE 1 à rendre avec la copie}

\end{center}

\textbf{EXERCICE 1- Partie A- Question 5}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=60cm,yunit=0.6cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.02,-0.5)(0.2,13)
\multido{\n=0.000+0.004}{51}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,13)}
\multido{\n=0.00+0.02}{11}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,13)}
\multido{\n=0.0+0.4}{33}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n,0)(0.2,\n)}
\multido{\n=0+2}{7}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\n)(0.2,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.02,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(0.2,13)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{0.2}{12 1 2.71828 50 x mul neg exp sub mul}
\uput[d](0.18,12){\red $\Gamma$}
\end{pspicture}
\end{center}
\newpage

\begin{center}

\textbf{\large ANNEXE 2 à rendre avec la copie}

\end{center}

\textbf{ANNEXE EXERCICE 2- Partie B- Question 1}

\medskip
\begin{center}
\psset{xunit=0.5,yunit=0.01cm}
\begin{pspicture}(-6,-300)(6,350)
\multido{\n=-11+1}{22}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,-300)(\n,350)}
\multido{\n=-300+50}{13}{\psline[linewidth=0.1pt](-11,\n)(12,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=50,Dx=12,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-11,-300)(11,350)
\psline(0,300)(1,300)\psline(1,150)(3,150)\psline(3,-150)(5,-150)\psline(5,-300)(6,-300)
\uput[d](1,0){\footnotesize $\frac{\pi}{6}$}\uput[d](2,0){\footnotesize $\frac{\pi}{3}$}
\uput[d](3,0){\footnotesize $\frac{\pi}{2}$}\uput[d](4,0){\footnotesize $\frac{2\pi}{3}$}
\uput[d](5,0){\footnotesize $\frac{5\pi}{6}$}\uput[d](6,0){\footnotesize $\pi$}
\uput[d](7,0){\footnotesize $\frac{7\pi}{6}$}\uput[d](8,0){\footnotesize $\frac{4\pi}{3}$}
\uput[d](9,0){\footnotesize $\frac{3\pi}{2}$}\uput[d](10,0){\footnotesize $\frac{5\pi}{3}$}
\uput[d](-1,0){\footnotesize $-\frac{\pi}{6}$}\uput[d](-2,0){\footnotesize $-\frac{\pi}{3}$}
\uput[d](-3,0){\footnotesize $-\frac{\pi}{2}$}\uput[d](-4,0){\footnotesize $-\frac{2\pi}{3}$}
\uput[d](-5,0){\footnotesize $-\frac{5\pi}{6}$}\uput[d](-6,0){\footnotesize $-\pi$}
\uput[d](-7,0){\footnotesize $-\frac{7\pi}{6}$}\uput[d](-8,0){\footnotesize $-\frac{4\pi}{3}$}
\uput[d](-9,0){\footnotesize $-\frac{3\pi}{2}$}\uput[d](-10,0){\footnotesize $-\frac{5\pi}{3}$}
\psdots(0,300)(1,150)(3,150)(5,-300)(6,-300)
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{1.5cm}

\textbf{EXERCICE 2- Partie B- Question 6. a.}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=1.25cm,yunit=0.0225cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-50)(7.5,400)
\uput[r](0,355){Valeurs de $A_n$}
\multido{\n=0.0+0.5}{15}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,350)}
\multido{\n=0+10}{36}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(7.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=50,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(7.5,360)
\uput[d](6.8,-30){Valeurs de $n$}
\psline[linewidth=5pt](1,0)(1,285)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}