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%Merci à Jacques Nguyen et à Karine Dulhoste  de nous avoir communiqué ce sujet 
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie Groupe A}}
\rfoot{\small{novembre 2014}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}

\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur  novembre 2014~\decofourright\\ groupement A Nouvelle-Calédonie}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

Soit $\tau$ un nombre réel appartenant à l'intervalle $[0~;~\pi]$. On considère une fonction $F$ définie sur l'ensemble des nombres réels, périodique de période $2\pi$, impaire telle que :

\[\begin{array}{l c l l l}
F(t)&=&0&\text{si }&t \in \left[0~;~\dfrac{\tau}{2}\right[\\
F(t)&=&1&\text{si }&t \in \left[\dfrac{\tau}{2}~;~\pi - \dfrac{\tau}{2}\right[\\
\end{array}\]
et

\[\begin{array}{l c l l l}
F(t)&=&0&\text{si }&t \in \left[\pi - \dfrac{\tau}{2}~;~\pi\right]\\
\end{array}\]

La fonction $F$ satisfait aux conditions de Dirichlet. On note son développement en série de Fourier, avec les notations du formulaire :

\[a_0
 + \sum_{n=1}^{+ \infty} \left(a_n \cos (nt) + b_n \sin (nt)\right).\]

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Pour cette partie, $\tau = \dfrac{\pi}{3}$.

Cette partie est un questionnaire à choix multiples constitué de trois questions indépendantes. Pour chaque question, quatre réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de chaque question suivi de la réponse choisie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Parmi quatre courbes représentées sur l'annexe 1, laquelle représente la fonction $F$ ?
\item La valeur du coefficient $a_0$ est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash $\bullet~~$}X}}
0	&1	&$\dfrac{2}{3}$&$\pi$
\end{tabularx} 
\medskip

\item La valeur du coefficient $b_1 $ est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash $\bullet~~$}X}}
0	&1	&$\dfrac{2}{\pi}$&$\dfrac{2\sqrt{3}}{\pi}$
\end{tabularx} 
\medskip
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Pour cette partie, $\tau = \dfrac{\pi}{3}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $F_e$ la valeur efficace de la fonction $F$. On rappelle que :

\[F_e^2 = \dfrac{1}{\pi} \displaystyle\int_0
^\pi [F(t)]^2\:\text{d}t.\]

Montrer que : $F_e^2 = \dfrac{2}{3}$.
\item Le taux de distorsion harmonique $THD$ du signal modélisé par la fonction $F$ est défini par :

\[THD = 100 \dfrac{\sqrt{2F_e^2 - b_1^2}}{b_1}.\]

Donner une valeur approchée à une unité près du nombre $THD$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Pour cette partie $\tau$ est quelconque dans l'intervalle $[0~;~ \pi[$. 

Un onduleur autonome est un convertisseur statique assurant la transformation \og continu-alternatif \fg. La forme de l'onde obtenue par un onduleur autonome à commande décalée est celle définie par $F(t)$ où $t$ est le temps mesuré en secondes. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $a_0$ et $a_n$ pour tout nombre entier naturel $n$ non nul. Justifier la réponse. 
\item Montrer que 

\[\displaystyle\int_0^{\pi} F(t) \sin (nt)\: \text{d}t  = \dfrac{1}{n}\left[\cos \left(\dfrac{n\tau}{2}\right) - \cos \left(n\pi - \dfrac{n\tau}{2}\right)\right].\] 

\item Justifier que pour tout nombre réel $\tau$ et tout nombre entier naturel $n$ non nul, on a l'égalité suivante :  

\[\cos \left(n\pi - \dfrac{n\tau}{2}\right) = (-1)^n \cos \left(\dfrac{n\tau}{2}\right).\]
 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déduire des questions 2 et 3 que, pour tout nombre entier naturel $n$ non nul, on a :
		
\[b_n  = \dfrac{2\left(1 - (- 1)^n \right)}{n\pi}\cos \left(\dfrac{n\tau}{2}\right).\]
 
		\item En déduire les valeurs de $b_2$ et $b_4$· 
		\item Que peut-on dire de $b_{2p}$ pour tout nombre entier naturel $p$ non nul ?
	\end{enumerate} 
\item La courbe en annexe 2 donne en fonction de $\tau$, le taux de distorsion harmonique (THD) introduit dans la partie B. 

Déterminer graphiquement la valeur de $\tau$ pour laquelle le taux de distorsion harmonique est minimal. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes. 

Une société, spécialiste en équipements et accessoires de bureautique, souhaite commercialiser un nouveau modèle de photocopieur multifonction dont l'une des caractéristiques est la correction de QCM. Dans le but de respecter le plan marketing établi, l'un de ces photocopieurs est installé pour une période d'essai dans le secrétariat pédagogique d'une université. 

Les étudiants de cette université ont passé une épreuve de culture générale, sous la forme d'un QCM. Les documents réponses ont été ensuite corrigés par ce photocopieur.  

Une étude a été réalisée afin d'évaluer la fréquence des erreurs de correction et le temps nécessaire à cette correction. 

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

On prélève au hasard un document réponse de cette épreuve. Tous les documents réponses ont la même probabilité d'être tirés. 

Lors de cette étude, 85\,\% des documents réponses ont été complétés en noir et le reste dans une 

autre couleur. 

La probabilité qu'un document réponse présente au moins une erreur de correction sachant que la couleur utilisée pour y répondre est le noir, est égale à $0,001$. 

La probabilité qu'un document réponse présente au moins une erreur de correction sachant que 

la couleur utilisée pour y répondre n'est pas le noir, est égale à 0,1. 

On définit les évènements suivants : 

$E$ : \og Le document,réponse présente au moins une erreur de correction \fg{} ; 

$N$ : \og Le document réponse a été complété en noir \fg. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre ci-dessous qui illustre la situation précédente. 

\begin{center}

\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt,levelsep=3cm]{\TR{}}
	{
	\pstree{\TR{$N$}\taput{\ldots}}
		{
		\TR{$E$}\taput{\ldots}
		\TR{$\overline{E}$}\tbput{\ldots}
		}
	\pstree{\TR{$\overline{N}$}\tbput{\ldots}}
		{
		\TR{$E$}\taput{\ldots}
		\TR{$\overline{E}$}\tbput{\ldots}
		}	
	}
\end{center}

\item Dans cette question, on donnera les valeurs exactes. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $P(N \cap E) = \np{0,00085}$. 
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $\overline{N} \cap  E$.
		\item En déduire la probabilité $P(E)$. 
	\end{enumerate}
\item Quelle est la probabilité, donnée à $10^{- 3}$ près, que le document prélevé soit écrit en noir, sachant qu'il présente au moins une erreur de correction? 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip 

On appelle document \og mal corrigé \fg{} un document réponse présentant au moins une erreur de correction. 

La proportion de documents \og mal corrigés \fg{} est arrondie à 1,6 \,\%. 

On prélève au hasard $100$~documents réponses. Le nombre de documents réponses est suffisamment grand pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. 

On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de documents réponses \og mal corrigés \fg{} parmi les $100$ choisis. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item La variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser les paramètres de cette loi. 
\item Calculer la probabilité $P(X = 0)$ et interpréter le résultat à l'aide d'une phrase. On donnera une valeur approchée à $10^{-3}$ près. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On considère une variable aléatoire $Y$ suivant la loi de Poisson de paramètre $\lambda = 1,6$ dont la table est donnée ci-dessous. 
		
		\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A 		&B 				&C\\ \hline 
1	&$k$	&$P(Y = k)$ 	&  \\ \hline 
2	&   0	&   \np{0,2019}	&	\\ \hline         
3	&   1	&   \np{0,3230}	&	\\ \hline    
4	&   2	&   \np{0,2584}	&	\\ \hline     
5	&   3	&   \np{0,1378}	&	\\ \hline  
6	&   4	&   \np{0,0551}	&	\\ \hline        
7	&   5	&   \np{0,0176}	&	\\ \hline              
8	&   6	&   \np{0,0047}	&	\\ \hline             
9	&   7	&   \np{0,0011}	&	\\ \hline           
10	&   8	&   \np{0,0002}	&	\\ \hline      
11	&   9	&   \np{0,0000}	&	\\ \hline          
12	&   10	&   \np{0,0000}	&	\\ \hline    
13	&   11	&   \np{0,0000}	&\\ \hline           
14	& \ldots&\ldots			&\\ \hline       
15	&		&				&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

À l'aide de la table ou de la calculatrice, déterminer le plus petit nombre entier naturel $k'$ tel que: 

\[P(Y \leqslant k') \geqslant 0,95.\] 

		\item On admet que la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ peut être approchée par la loi de Poisson de paramètre $\lambda = 1,6$. 

Peut-on affirmer que la probabilité qu'au plus 4 documents réponses sur 100 soient \og mal corrigés \fg{} est supérieure ou égale à $0,95$ ? 
	\end{enumerate}
\item La durée, exprimée en secondes, nécessaire à l'appareil pour corriger $100$~documents est une variable aléatoire $Z$. On admet que la variable aléatoire $Z$ suit la loi normale de moyenne $250$ et d'écart type $20$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $P(220 \leqslant Z \leqslant 280)$. 

On donnera une valeur approchée à $10^{-3}$ près. 
		\item Le photocopieur est jugé performant si la probabilité que le temps de correction de $100$ documents réponses soit compris entre $220$~secondes et $280$~secondes est supérieure à $0,8$. Ce photocopieur est-il performant ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip 

Cette partie est un questionnaire à choix multiples constitué de trois questions indépendantes. 

\emph{Pour chaque question, quatre réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de chaque question suivi de la réponse choisie.}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Une variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $100$ et $0,016$. 

Une valeur approchée à $10^{-3}$ près de la probabilité $P(X \geqslant 1)$ est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash $\bullet~~$}X}}
0,199	&0,324	&0,523&0,801
\end{tabularx}
\medskip 

\item Une variable aléatoire $Y$ suit la loi de Poisson de paramètre $\lambda$. 

On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction qui à tout nombre réel strictement positif $\lambda$ associe la probabilité de l'évènement $Y = 2$. 

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=10cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,-0.1)(10.5,0.5)
\multido{\n=-1.0+0.5}{24}{\psline[linestyle=dotted](\n,-0.1)(\n,0.5)}
\multido{\n=-0.10+0.05}{13}{\psline[linestyle=dotted](-1,\n)(10.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1]{->}(0,0)(-0.95,-0.095)(10.5,0.5)
\uput[d](10.4,0){$\lambda$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10.5}{x dup mul 2.71828 x exp 2 mul div}
\end{pspicture}
\end{center}

Sachant que cette probabilité vaut $0,26$, une valeur possible, approchée au dixième, de $\lambda$ est: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash $\bullet~~$}X}}
0,1&1,6&3&3,9
\end{tabularx}
\medskip 
 
\item Une variable aléatoire $Z$ suit la loi normale centrée réduite. 

Une valeur approchée à $10^{-1}$ près du nombre réel $\alpha$ tel que : 
 
\[P(Z \leqslant  \alpha) = \np{0,0668}\] 

est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash $\bullet~~$}X}}
$- 1,5$&$- 0,5$&0,5&1,5
\end{tabularx}
\medskip 

\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
{\Large \textbf{Annexe 1}}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-4.55,-1.5)(6,2)
\psgrid[xunit=2.1,subgriddiv=2,gridlabels=0,griddots=5](-4.55,-1.5)(6,2)
\multido{\n=-4.55+0.35}{31}{\psline[linestyle=dotted](\n,-1.5)(\n,2)}
\psaxes[xunit=2.1,trigLabels,labelFontSize=\small](0,0)(-4.55,-1.5)(6,1.95)
\psset{linecolor=blue}
\multido{\n=-4.55+2.10,\na=-3.85+2.10}{5}{\psline[linewidth=2pt](\n,0)(\na,0)}
\multido{\n=-3.85+4.20,\na=-2.40+4.20}{3}{\psline[linewidth=2pt](\n,1)(\na,1)}
\multido{\n=-1.75+4.20,\na=-0.35+4.20}{2}{\psline[linewidth=2pt](\n,-1)(\na,-1)}
\end{pspicture*}

Courbe 1

\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-4.55,-1.5)(6,2)
\psgrid[xunit=2.1,subgriddiv=2,gridlabels=0,griddots=5](-4.55,-1.5)(6,2)
\multido{\n=-4.55+0.35}{31}{\psline[linestyle=dotted](\n,-1.5)(\n,2)}
\psaxes[xunit=2.1,linewidth=1.pt,trigLabels,labelFontSize=\small](0,0)(-4.55,-1.5)(6,1.95)
\psset{linecolor=blue}
\multido{\n=-4.55+2.10,\na=-3.85+2.10}{5}{\psline[linewidth=2pt](\n,0)(\na,0)}
\multido{\n=-1.75+2.10,\na=-0.35+2.10}{2}{\psline[linewidth=2pt](\n,1)(\na,1)}
\psline[linewidth=2pt](4.55,1)(5.95,1)
\multido{\n=-3.85+6.30,\na=-2.45+6.30}{2}{\psline[linewidth=2pt](\n,-1)(\na,-1)}
\end{pspicture*}

Courbe 2

\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-4.55,-1.5)(6,2)
\psgrid[xunit=2.1,subgriddiv=2,gridlabels=0,griddots=5](-4.55,-1.5)(6,2)
\multido{\n=-4.55+0.35}{31}{\psline[linestyle=dotted](\n,-1.5)(\n,2)}
\psaxes[xunit=2.1,linewidth=1.pt,trigLabels,labelFontSize=\small](0,0)(-4.55,-1.5)(6,1.95)
\psset{linecolor=blue}
\multido{\n=-4.55+2.10,\na=-3.85+2.10}{5}{\psline[linewidth=2pt](\n,0)(\na,0)}
\multido{\n=-3.85+2.10,\na=-2.45+2.10}{5}{\psline[linewidth=2pt](\n,1)(\na,1)}
%\multido{\n=-1.75+4.20,\na=-0.35+4.20}{2}{\psline[linewidth=2pt](\n,-1)(\na,-1)}
\end{pspicture*}

Courbe 3

\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-4.55,-1.5)(6,2)
\psgrid[xunit=2.1,subgriddiv=2,gridlabels=0,griddots=5](-4.55,-1.5)(6,2)
\multido{\n=-4.55+0.35}{31}{\psline[linestyle=dotted](\n,-1.5)(\n,2)}
\psaxes[xunit=2.1,linewidth=1.pt,trigLabels,labelFontSize=\small](0,0)(-4.55,-1.5)(6,1.95)
\psset{linecolor=blue}
\multido{\n=-4.55+1.40,\na=-3.85+1.40}{7}{\psline[linewidth=2pt](\n,0)(\na,0)}
\multido{\n=-2.45+2.80,\na=-1.75+2.80}{3}{\psline[linewidth=2pt](\n,1)(\na,1)}
\multido{\n=-3.85+2.80,\na=-3.15+2.80}{4}{\psline[linewidth=2pt](\n,-1)(\na,-1)}
\end{pspicture*}

Courbe 4

\end{center}

\newpage

\begin{center}
{\Large \textbf{Annexe 2}}

\bigskip

%® merci à Xavier Tisserand


\psset{xunit=10cm,yunit=.2cm,comma=true,algebraic}
\begin{pspicture*}(-.1,-5)(12,60) 
\psaxes[
	labelFontSize=\scriptstyle,%
	linewidth=1.5pt,%
	Dx=.1,%
	Dy=5,%
	xsubticks=5,%
	ysubticks=5,%
	labelsep=-0.5cm,%
	xlabelPos=axis,%
	ylabelPos=axis,%
	subticksize=1,%
	xticksize=-2 58,
	yticksize=-.04 1.26,
	ticklinestyle=dashed,%
	%subticklinestyle=dotted,%
	]{-}(0,0)(1.26,58)%

%graphe de la fonction $THD$
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]%
	{0}{1.25}%
	{%
	25*\psPi/cos(x/2)*sqrt(2/\psPi*(\psPi-x)-16/(\psPi)^2*(cos(x/2))^2)%
	}%
\end{pspicture*} 
\end{center} 
\end{document}