%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{graphicx} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}} 
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-eucl,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\def\vect#1{\overrightarrow{\strut#1}}

% Repère (O,i,j)
%usage : \Rij
\newcommand{\Rij}{(O~;~\V{i},~\V{j})}
% Repère (O;u,v)
\newcommand{\Ruv}{(O~;~\V{u},~\V{v})}
%Repère (O, i, j, k)
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\V{i},~ \V{j},~ \V{k}\right)$}
% un autre repère (O;i,j)
\newcommand{\REP}{\mbox{$\left(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$}}
% un autre repère (O;u,v)
\newcommand{\REPB}{\mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$}}
\newcommand{\tn}[1]{~~~~\textnormal{#1}~~~~}
\newcommand{\e}{{\rm e}}
\newcommand{\dd}{~{\rm d}}
\newcommand{\jj}{\rm j}
\newcommand{\LL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\V}{\overrightarrow}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupement A}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur session 2007~\decofourright\\ Groupement A}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A}
\vspace{2ex}
\begin{enumerate}
\item La fonction $h$ est dérivable sur $\R$, et $h'(t)=0$.
 
D'où il vient immédiatement : $\dfrac{1}{2}y'(t)+y(t)=10-\beta$ : $h$ est une solution particulière de $(E_1)$.
\item L'équation homogène associée à $(E_1)$ est 

\[\dfrac{1}{2}y'(t)+y(t)=0 \quad (E_0).\]

La fonction $G$ définie sur $\R$ par $G(t)=2t$ est une primitive de la fonction $g$ définie sur  $\R$ par $g(t)=\dfrac{1}{\frac{1}{2}}=2$.

On en déduit la solution générale de l'équation homogène 

\[(E_0),~ y(t)=k\e^{-2t} \quad\text{avec } k\in\R\]

La solution générale de $(E_1)$ s'obtient en ajoutant une solution particulière $h$ à la solution générale de l'équation homogène $(E_0)$.

La solution générale de $(E_1)$ peut s'écrire :

\[y(t)=k\e^{-2t}+10-\beta \quad \text{avec } k\in\R\]

\item La fonction $f$ est solution de $(E_1)$ alors $f(t)=k\e^{-2t}+10-\beta$.

On veut de plus $f(0)=10$ alors $k=\beta$, d'où :

\[f(t)=\beta\e^{-2t}+10-\beta\]
\item On a : $\displaystyle\lim_{t\to +\infty}(-2t)=-\infty$ et $\lim_{u\to -\infty}\e^{u}=0$, alors, par composée, $\displaystyle\lim_{t\to +\infty}\e^{-2t}=0$.

On obtient donc :

\[\lim_{t\to +\infty}f(t)=10-\beta=f_\infty\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $i$ est causale et on a pour $t\geq 0$ : 

\[\begin{aligned}i(t)&=13\displaystyle\int_0^t[10U(u)-g(u)]\dd u\\
&=130\int_0^t U(u)\dd u -13\int_0^t g(u)\dd u\\
&=130\int_0^t 1\dd u -13\int_0^t g(u)\dd u\\
&=130t -13\int_0^t g(u)\dd u\\
&=130tU(t) -13\int_0^t g(u)\dd u
\end{aligned}\]

On a 

\[\LL\left[tU(t)\right]=\dfrac{1}{p ^2} \quad \text{et}\quad \LL\left[\int_0^t g(u)\dd u\right]=\dfrac{G(p)}{p}\]

D'où 

\[I(p)=\dfrac{130}{p^2}-13\dfrac{G(p)}{p}\]

\item On a
\[\begin{aligned}
\LL[g'(t)]&=pG(p)-g(0^+)\\
&=pG(p)-10 \quad \text{car } g(0^+)=10 \end{aligned}\]
et \[\LL[U(t)]=\dfrac{1}{p}\]

d'où, en prenant la transformée de Laplace de l'équation $(E_2)$

\[\begin{aligned}\dfrac{1}{2}[pG(p)-10]+G(p)&=\dfrac{130}{p^2}-13\dfrac{G(p)}{p}+\dfrac{10-\beta}{p}\\
\left(\dfrac{1}{2}p+1+\dfrac{13}{p}\right)G(p)&=\dfrac{130}{p^2}+\dfrac{10-\beta}{p}+5\\
\dfrac{p^2+2p+26}{2p}G(p)&=\dfrac{5p^2+(10-\beta)p+130}{p^2}\\
\text{alors }\quad G(p)&=\dfrac{10p^2+2(10-\beta)p+260}{p(p^2+2p+26)}
\end{aligned}\]

\item On a 

\[\begin{aligned}\dfrac{10}{p}-\dfrac{2\beta}{(p+1)^2+5^2}&=\dfrac{10[(p+1)^2+5^2]-2\beta p}{p(p^2+2p+26)}\\
&=\dfrac{10p^2+2(10-\beta)p+260}{p(p^2+2p+26)}\\
&=G(p)
\end{aligned}\]

\item On a alors 

\[pG(p)=10-\dfrac{2\beta p}{(p+1)^2+5^2}\]

et 

\[\lim_{p\to +0^+}\dfrac{2\beta p}{(p+1)^2+5^2}=0\]
d'où 

\[\displaystyle\lim_{p\to 0^+}pG(p)=10=g_\infty\]

\item
	\begin{enumerate}
		\item On a \[\LL[\sin(5t)U(t)]=\dfrac{5}{p^2 +5^2}\] et \[\LL[f(t)\e^{-t}U(t)]=F(p+1)\] d'où \[\LL[\e^{-t}\sin(5t)U(t)]=\dfrac{5}{(p+1)^2+5^2}\]
		\item À l'aide de la question \textbf{3.}, on a \[G(p)=\dfrac{10}{p}-\dfrac{2\beta}{5}\times\dfrac{5}{(p+1)^2+5^2}\]
et sachant que \[\LL^{-1}\left[\dfrac{1}{p}\right]=U(t)\] alors \[g(t)=10U(t)-\dfrac{2\beta}{5}\e^{-t}\sin(5t)U(t)\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
 \item
	\begin{enumerate}
		\item On a 

\[\begin{aligned}f(t)&=5\e^{-2t}+5\\
f(t)&=f_\infty\e^{-2t}+f_\infty\\
\text{d'où } &\dfrac{f(t)-f_\infty}{f_\infty}=\e^{-2t}
\end{aligned}\]

		\item \[\begin{aligned}\e^{-2t}&\leq 0,02\\
\e^{-2t}&\leq \dfrac{1}{50}\\
-2t&\leq -\ln 50\\
t&\geq \dfrac{1}{2}\ln 50=t_1\\
t_1&\simeq 2,0
        \end{aligned}\]
        
	\end{enumerate}
\item On veut 

\[-0,02\leq\dfrac{g(t)-10}{10}\leq 0,02 \quad \text{équivaut à}\quad 9,8\leq g(t)\leq 10,2\]

Il faut alors tracer les deux droites d'équations respectives

\[\begin{aligned} y&=9,8\\
y&=10,2
\end{aligned}\]
Graphiquement, on obtient
\[t_2\simeq 2,3\]

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 12 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\[\begin{aligned}\left|T(\omega)\right|&=\left|\dfrac{-\jj \omega k}{1-\jj\dfrac{\omega}{2}}\right|\\
&=\dfrac{|-\jj \omega k|}{\left|1-\jj\dfrac{\omega}{2}\right|}\\
&=\dfrac{k\omega}{\sqrt{1+\dfrac{\omega^2}{4}}} \quad (k>0)
         \end{aligned}\]
         
		\item On a \[H(\omega)=\left(T(\omega)\right)^3\] alors \[\begin{aligned}r(\omega)&=|H(\omega)|\\&=|T(\omega)|^3\\&=\left(\dfrac{k\omega}{\sqrt{1+\dfrac{\omega^2}{4}}}\right)^3\end{aligned}\]
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item 
\begin{itemize}
\item $\arg\left((-\jj \omega k)^3\right)=3\arg (-\jj\omega k)$ avec $k>0$ et $\omega>0$, alors 

\[\arg(-\jj\omega k)=-\dfrac{\pi}{2} \quad \text{à } 2\pi \text{ près}\]

d'où \[\begin{aligned}\arg\left((-\jj \omega k)^3\right)&=-\dfrac{3\pi}{2}\quad \text{à } 2\pi \text{ près}\\
&=\dfrac{\pi}{2} \quad \text{à } 2\pi \text{ près}
\end{aligned}\]

		\item Soit $\theta=\arg\left(1-\jj\dfrac{\omega}{2}\right)$ alors \[\cos\theta>0 \quad \text{et}\quad \sin\theta<0 \quad \text{donc } \theta \in\left]-\dfrac{\pi}{2}~;~0\right[\] alors 

\[\tan\theta=-\dfrac{\omega}{2}\] équivaut à \[\theta=\arctan\left(-\dfrac{\omega}{2}\right)\]

En utilisant l'imparité de la fonction arctangente, \[\arg\left(1-\jj\dfrac{\omega}{2}\right)=-\arctan\left(\dfrac{\omega}{2}\right)\]
		\item On a \[H(\omega)=\left(T(\omega)\right)^3\] alors
\[\begin{aligned}\arg H(\omega)&=\arg \dfrac{\left(-\jj \omega k\right)^3}{\left(1-\jj\dfrac{\omega}{2}\right)^3}\\
&=\arg\left(-\jj \omega k\right)^3-3\times\arg\left(1-\jj\dfrac{\omega}{2}\right)\\
\varphi(\omega)&=\dfrac{\pi}{2}+3\arctan\left(\dfrac{\omega}{2}\right)
\end{aligned}\]
\end{itemize}
		\item On a \[\begin{aligned}\varphi'(\omega)&=3\times\dfrac{\dfrac{1}{2}}{1+\left(\dfrac{\omega}{2}\right)^2}\\
              &=\dfrac{3}{2}\times\dfrac{1}{1+\dfrac{\omega^2}{4}}
             \end{aligned}\]
Alors \[\varphi'(\omega)>0 \quad \text{sur } ]0~;~+\infty[\]
		\item 
\begin{itemize}
 \item On a \[\lim_{t\to 0}\arctan t = 0\] alors \[\lim_{\omega\to +\infty}\varphi(\omega)=\dfrac{\pi}{2}\]
\item On a \[\lim_{t\to +\infty}\arctan t =\dfrac{\pi}{2}\] alors \[\lim_{\omega\to +\infty}\varphi(\omega)=\dfrac{\pi}{2}+3\times\dfrac{\pi}{2}=2\pi\]
\end{itemize}
	\end{enumerate}
\item Tableau des variations conjointes :
\begin{center}
\psset{xunit=0.75cm}
\begin{pspicture}(16.5,8)
%lignes horizontales}
\psline(1,1)(15.5,1)
\psline(1,1.6)(15.5,1.6)
\psline(1,3.9)(15.5,3.9)
\psline(1,6.1)(15.5,6.1)
\psline(1,6.7)(15.5,6.7)
\psline(1,7.2)(15.5,7.2)
%lignes verticales
\psline(1,1)(1,7.2)
\psline(3.11,1)(3.1,7.2)
\psline(15.5,1)(15.5,7.2)
\psline[doubleline=true](3.5,1)(3.5,6.7)
%fleches
\psline{->}(5,4.2)(13.7,5.7)
\psline{->}(5,2.1)(13.7,3.5)
%les colonnes
\rput(2,6.9){$\omega$}
\rput(2,6.4){$r'(\omega)$}
\rput(2,5){$r(\omega)$}
\rput(2,2.7){$\varphi(\omega)$}
\rput(2,1.2){$\varphi'(\omega)$}
\rput(3.5,6.9){$0$}

\rput(14.2,6.9){$+\infty$}
\rput(14.2,5.7){$8k^3$}
\rput(14.2,3.5){$2\pi$}

\rput(4.5,4.2){$0$}
\rput(4.5,2.1){$\dfrac{\pi}{2}$}

%les signes
\rput(9,6.4){$+$}
\rput(9,1.2){$+$}
\end{pspicture}
\end{center}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Il faut placer le point $M_0$, intersection du cercle de centre $0$ et de rayon $1$, avec la courbe $\mathcal{C}$.
		\item On a $|H(\omega_0)|=1$ équivaut à $|T(\omega_0)|=1$ équivaut à $|T(\omega_0)|^2=1$, d'où 

	\[\begin{aligned}
	\left(\dfrac{k\omega_0}{\sqrt{1+\dfrac{\omega_0^2}{4}}}\right)^2&=1\\
	k^2\omega^2&=1+\dfrac{\omega_0^2}{4}\\
	\left(k^2-\dfrac{1}{4}\right)\omega_0&=1 \quad \text{avec } k=0,9\\
	\omega_0&=\dfrac{1}{0,56}\\
	\omega&\simeq1,34\text{ rad.s}^{-1}\\
	\text{alors}\quad\varphi(\omega_0)&=\dfrac{\pi}{2}+3\arctan\left(\dfrac{\omega_0}{2}\right)\\
	\varphi(\omega_0)&\simeq3,34\text{ rad}
	\end{aligned}\]
	
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Annexe 1\\
Document réponse à rendre avec la copie}
\end{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=1.5cm,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(5,12)
\psgrid[subgriddiv=10,gridlabels=0,gridwidth=1pt,subgridwidth=0.1pt]
\psaxes[linewidth=1pt]{->}(0,0)(-1,-1)(5,12)
\psplot[plotpoints=2500,linecolor=cyan,linewidth=1.25pt]{0}{5}{5*2.718^(-2*x)+5}%
\psplot[plotpoints=2500]{0}{5}{10-2*sin(5*x)*2.718^(-x)}%
\psline[linewidth=1pt,linecolor=blue](0,10.2)(5,10.2)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=blue](0,9.8)(5,9.8)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=blue](2.25,-0.2)(2.25,10.4)
\rput(2.25,-.5){$t_2$}
\rput(-0.1,-0.2){$0$}
\end{pspicture}

\begin{center}
 \textbf{Annexe 2\\
Document réponse à rendre avec la copie}
\end{center}
%figure  réalisée par Olivier REBOUX, lycée Jules SIEGFRIED, Le Havre 
%olivier.reboux@ac-rouen.fr
\psset{unit=1.75cm,algebraic=true}
\def\r{(0.9*t/sqrt(1+(t^2)/4))^3}
\def\Pi{3.1415927}
\def\a{0.5*\Pi+3*atg(t/2)}
\begin{figure}[!h]
    \centering
\begin{pspicture}(-3,-5)(8,4)
\psset%
{%
xunit=1,%
yunit=1,%
PointSymbol=none,%
PointName=none,%
algebraic=true,%
}%
\psclip%
{%
\psset%
    {%
PointName=none,%
PointSymbol=none,%
}
\pstGeonode(0,0){O}
\pstGeonode(1,0){a}
\pstCircleOA{O}{a}
}%
{%
\psset%
{%
PointName=none,%
PointSymbol=none,%
linestyle=dashed,%
nodesep=-10,%
}%
\pstGeonode(0.5,0.5){A}
\pstGeonode(-0.5,0.5){B}
\pstGeonode(-0.5,-0.5){C}
\pstGeonode(0.5,-0.5){D}
\pstLineAB{A}{B}
\pstLineAB{B}{C}
\pstLineAB{C}{D}
\pstLineAB{D}{A}
}%
\endpsclip%
\psclip%
{%
\psframe[linestyle=none](-3,-5)(8,4)%
}%
{%
\parametricplot[plotpoints=2500]{0.001}{250}%
{%
(\r)*cos(\a)|(\r)*sin(\a)%
}%
% prolongement manuel jusqu'à l'axe des abscisses.
\pstGeonode[PointName=none,PointSymbol=none](5.832,0){A}
\pstGeonode[PointName=none,PointSymbol=none](5.82743,-.199867){B}
\psline[linestyle=solid](A)(B)               
     }%
\endpsclip
\psaxes
[xsubticks=2,
ysubticks=2,
linewidth=1pt,
axesstyle=frame
]{->}(0,0)(-2.7,-4.5)(7.6,3.5)
\pstRotation[RotAngle=210]{O}{a}[M_1]             
\pstLineAB[nodesepB=-1,linestyle=dotted,linewidth=1.5pt]{O}{M_1}
                \pstRotation[RotAngle=240]{O}{a}[M_2]                
\pstLineAB[nodesepB=-2,linestyle=dotted,linewidth=1.5pt]{O}{M_2}
                \pstRotation[RotAngle=195]{O}{a}[M_3]           
\pstLineAB[nodesepB=-1,linestyle=dotted,linewidth=1.5pt]{O}{M_3}
\pstGeonode[PosAngle=-180,PointSymbol=pentagon,dotscale=2,fillstyle=solid,fillcolor=blue,PointName=M_0](-0.98,-.195){M_0}
\rput(3,-3.8){$\mathcal{C}$}
        \end{pspicture}
        %\caption{Courbe $\mathcal{C}$}\label{fig_Elec_07B}
    \end{figure}
\end{document}