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%Tapuscrit : Denis Vergès
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%echelon unité
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P.{}}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupement A}}
\rfoot{\small{13 mai 2015}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur\\ session 2015 - groupement A}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Spécialités :}
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item Contrôle industriel et régulation automatique
\item Informatique et réseaux pour l'industrie et les services techniques
\item Systèmes électroniques
\item Électrotechnique
\item Génie optique
\item Techniques physiques pour l'industrie et le laboratoire
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 11 points}

\medskip

Une enceinte acoustique transforme une puissance électrique en pression acoustique. Elle comporte
plusieurs haut-parleurs pour restituer les plages de fréquences audibles car il n'existe pas de haut-parleur
qui puisse restituer la totalité de ces fréquences.

Une enceinte acoustique de qualité comporte 3 haut-parleurs :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Le tweeter qui reproduit les fréquences hautes (3 à 15 kHz) des sons aigus.
\item[$\bullet~~$] Le médium qui reproduit les fréquences intermédiaires (300 à \np{3000} Hz).
\item[$\bullet~~$] Le boomer qui reproduit les fréquences basses (30 à 300 Hz) des sons
graves.
\end{itemize} 
\setlength\parindent{0mm}
 
Chaque haut-parleur est précédé d'un bloc de filtres qui sélectionne les fréquences
adaptées et d'un amplificateur.
 
\begin{center}
\psset{unit=0.9cm,arrowsize=3pt 5}
\begin{pspicture}(14,7)
%\psgrid
\psline(0.5,3)(2.8,3)\psline(2,3)(2,5)(2.8,5)\psline(2,3)(2,1)(2.8,1)
\psframe(2.8,4.25)(4.3,5.75)\psline(4.3,5)(5.3,5)\psframe(5.3,4.25)(6.8,5.75)\psline(6.8,5)(8,5)\psframe*(8,4.5)(8.4,5.5)\psline(8.4,5.5)(8.6,5.7)(8.6,4.3)(8.4,4.5)%Tweeter
\psframe(2.8,2.25)(4.3,3.75)\psline(4.3,3)(5.3,3)\psframe(5.3,2.25)(6.8,3.75)\psline(6.8,3)(8,3)\psframe*(8,2.5)(8.4,3.5)\psline(8.4,3.5)(8.7,3.7)(8.7,2.3)(8.4,2.5)%Medium
\psframe(2.8,0.25)(4.3,1.75)\psline(4.3,1)(5.3,1)\psframe(5.3,0.25)(6.8,1.75)\psline(6.8,1)(8,1)\psframe*(8,0.35)(8.5,1.55)\psline(8.5,1.55)(8.9,1.8)(8.9,0.1)(8.5,0.35)%Boomer
\rput(0,3){SON}\rput(3.55,5){B$_3$}\rput(3.55,3){B$_2$}\rput(3.55,1){B$_1$}
\rput(6.05,5){A$_3$}\rput(6.05,3){A$_2$}\rput(6.05,1){A$_1$}
\rput(9.8,5){Tweeter}\rput(9.8,3){Medium}\rput(9.8,1){Boomer}
\rput(3.55,7){Blocs}\rput(3.55,6.4){de filtres}\rput(6.05,6.4){Amplificateurs}
\psline{->}(0.5,3)(1.5,3)\psdots[dotscale=1.8](2.,3)
\pspolygon(11,0.6)(12.2,0)(12.2,5.4)(11,6)

\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](12.2,0)(13.4,0.8)(13.4,6.2)(12.2,5.4)
\psline(11,6)(12.2,6.8)(13.4,6.2)
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=white](12.8,5)(0.2,0.4)
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=white](12.8,3.4)(0.3,0.6)
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=white](12.8,1.4)(0.45,0.7)
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=black](12.7,5)(0.1,0.17)
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=black](12.7,3.4)(0.2,0.27)
\psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=black](12.65,1.4)(0.28,0.42)
\end{pspicture}
\end{center}

%%% Olivier Redoux
%\newcommand{\HP}[4]
%{%
%% #1 nom du centre du HP
%% #2 rayon du cercle Extérieur
%% #3 rayon du cercle Moyen
%% #4 rayon du cercle intérieur
%    \psProjection
%    [%
%    object=cercle,%
%    args=#1 #2,%
%    range=0 360,%
%    fillstyle=solid,%
%    fillcolor=black!80,%
%    ]%
%    \psProjection
%    [%
%    object=cercle,%
%    args=#1 #3,%
%    range=0 360,%
%    fillstyle=ccslope,%
%    sloperadius=0.5,%
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%    slopeend=gray!50,%
%    ]%
%    \psProjection
%    [%
%    object=cercle,%
%    args=#1 #4,%
%    range=0 360,%
%    fillstyle=ccslope,%
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%    slopeend=black,%
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%    ]%
%}%
%    \psset
%    {%
%      Decran=20,%
%      solidmemory,%
%      viewpoint=10 20 1,%
%      lightsrc=100 200 10,%
%    }%
%    \psSolid
%    [%
%    object=parallelepiped,%
%    a=2,b=2,c=5,%
%    RotZ=-45,%
%    fillcolor=SandyBrown!80,%
%    linecolor=SandyBrown,%
%    mode=3,%
%    action=draw**,%
%    name=Baffle,%
%    %numfaces=all,%
%    ]%
%    \psSolid
%    [%
%    object=plan,%
%    definition=solidface,%
%    args=Baffle 1,%
%    name=P,%
%    action=none,% 
%    ]%(2,0,0)%
%    \psset{plan=P}
%    % Point de référence 
%    % A : HP du haut
%    % B : HP du bas
%    % C : HP du centre
%    \psProjection
%    [%
%    object=point,%
%    args=0 -1.5,%
%    name=A,%
%    ]
%    \psProjection
%    [%
%    object=point,%
%    args=0 1.5,%
%    name=B,%
%    ]
%    \psProjection
%    [%
%    object=point,%
%    args=0 0,%
%    name=C,%
%    ]%
%    \HP{A}{0.8}{0.6}{0.2}
%    \HP{B}{0.8}{0.6}{0.2}
%    \HP{C}{0.6}{0.33}{0.23}
%  \end{pspicture}
%%%%%%  fin Olivier Reboux

\textbf{Dans l'exercice, on étudie un des blocs de filtres utilisés. Il est constitué de deux filtres F$_1$ et F$_2$.}

\medskip

Pour le filtre F$_1$, on note :

\begin{itemize}
\item $H_1$ sa fonction de transfert,
\item $G_1(\omega) = 20 \log~\left|H_1(\jmath \omega)\right|$, où $\jmath$ est le nombre complexe de module 1 et d' argument $\frac{\pi}{2}$, le \textbf{gain en décibel} du filtre pour une pulsation $\omega$ ($\omega \geqslant 0$).
\item $\omega_1$ la \textbf{pulsation de coupure à \boldmath$- 3$\unboldmath~dB} du filtre c'est-à-dire la pulsation $\omega_1$ pour laquelle le gain en décibel est égal à $- 3$ (on admet qu'il n'y en a qu'une),
\item $f_1$ la fréquence associée à $\omega_1$ On l'appelle \textbf{fréquence de coupure du filtre} et $f_1 = \dfrac{\omega_1}{2\pi}$.
\end{itemize}

\medskip

La \textbf{bande passante} du filtre F$_1$ est l'ensemble des fréquences que le filtre laisse passer. On
considère que ce sont les fréquences associées à un gain en décibel supérieur ou égal à $- 3$.

\textbf{On adopte les notations et le vocabulaire analogues pour le filtre F$_2$.}

\bigskip

\textbf{PARTIE A : cas du filtre F}\boldmath$_1$\unboldmath

\medskip

On donne dans le \textbf{document réponse}  la représentation graphique de la fonction $G_1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement une valeur approchée de la pulsation de coupure $\omega_1$ du filtre F$_1$.

Laisser apparents les traits de construction.
\item En déduire
	\begin{enumerate}
		\item une estimation au hertz près de la fréquence de coupure $f_1$ du filtre F$_1$,
		\item une estimation de la bande passante du filtre F$_1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B : cas du filtre F$_2$}

\medskip

\parbox{0.47\linewidth}{Le filtre F$_2$ est représenté sur le schéma ci-contre. 

Les tensions d'entrée $v_e$ et de sortie $v_s$ sont des fonctions causales vérifiant : $v_e(0) = 0,\: v_s(0) = 0$ 
et $v_s(t) + RCv'_s(t) = v_e(t) \quad (1)$.

On note $V_e$ et $V_s$ les transformées de Laplace de $v_e$ et $v_s$.}\hfill
\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=0.9cm,arrowsize=3pt 5}
\begin{pspicture}(8,5)
%\psgrid
\psline(0,4)(2.6,4)\psframe(2.6,3.8)(4,4.2)\psline(4,4)(5.5,4)(5.5,2.5)
\psline(4.7,2.5)(6.3,2.5)
\psline(4.7,2.2)(6.3,2.2)
\psline(5.5,2.2)(5.5,0.8)
\psline(5,0.8)(6,0.8)
\multido{\n=5.000+0.125,\na=5.150+0.125}{8}{\psline(\n,0.8)(\na,0.5)}
\multido{\n=0.600+0.125,\na=0.750+0.125}{8}{\psline(\n,0.8)(\na,0.5)}
\psline(0.6,0.8)(1.6,0.8)
\psline{->}(1.1,1)(1.1,3.5)\psline{->}(6.5,1)(6.5,3.5)\uput[r](6.5,2.25){$v_s(t)$}
\uput[l](1.1,2.25){$v_e(t)$}\uput[ul](5.5,2.5){C}\uput[u](3.3,4.2){R}
\end{pspicture}
}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Différentes formules de transformées de Laplace sont données à la fin de l'énoncé de cet
exercice.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item La fonction de transfert $H_2$ du filtre F$_2$ vérifie, pour tout réel $p$ strictement positif :

\[H_2(p) = \dfrac{V_s(p)}{V_e(p)}.\]

En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l'égalité (1), démontrer que

\[H_2(p) = \dfrac{1}{1 + \text{RC}p}.\]

\item On souhaite connaître la tension de sortie $v_s$ qui est obtenue lorsque la tension d'entrée $v_e$ est un échelon d'amplitude $5V$, autrement dit lorsque pour tout réel $t$ :

\[v_e(t) = 5\mathcal{U}(t)\: \text{avec}\:\: \mathcal{U}(t) = \left\{\begin{array}{l c l}
0&\text{si}&t < 0\\
1&\text{si}&t \geqslant 0
\end{array}\right.\]

	\begin{enumerate}
		\item Donner $V_e(p)$ puis calculer $V_s(p)$ en fonction de R, C et $p$.
		\item Démontrer que : $V_s(p) = \dfrac{5}{p} - \dfrac{5}{p + \frac{1}{\text{RC}}}$.
		\item En déduire $v_s(t)$ pour tout réel positif ou nul $t$.
	\end{enumerate}
\item On rappelle que pour tout réel positif $\omega :   G_2(\omega) = 20\log \left|H_2(\text{j}\omega)\right|$ et que pour tout réel strictement positif $x$ : $\log (x) = \dfrac{\ln (x)}{\ln (10)}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le module $\left|H_2(\text{j}\omega)\right|$ du nombre complexe $H_2(\text{j}\omega)$.
		\item En déduire que : $G_2(\omega) = -  \dfrac{10}{\ln (10)} \times \ln \left(1 + (\text{RC})^2\omega^2\right)$.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Étude de la fonction} \boldmath$G_2$\unboldmath
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout réel positif $\omega$  : $G'_2(\omega) = \dfrac{1}{\ln (10)} \times \dfrac{- 20 (\text{RC})^2\omega}{1 + (\text{RC})^2 \omega^2}$.
		\item En déduire les variations de la fonction $G_2$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{\omega \to + \infty} G_2 (\omega)$.
		\item Dresser le tableau de variations complet de la fonction $G_2$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Détermination de la bande passante du filtre F}\boldmath$_2$\unboldmath
	\begin{enumerate}
			\item Calculer $G_2\left(\dfrac{1}{\text{RC}}\right)$.

Justifier que la pulsation de coupure à $- 3$~dB du filtre F$_2$, notée $\omega_2$ est égale à $\dfrac{1}{\text{RC}}$ avec une bonne approximation.
			\item \textbf{Pour la suite de l'exercice on prend :} R $= 160 \times 10^3$~$\Omega$ et C $= 3,4 \times  10^{-9}$~F.
			
Donner une valeur approchée arrondie à l'unité de la fréquence de coupure $f_2$.
			\item Quelle est la bande passante du filtre F$_2$ ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : bilan}

\medskip

Le bloc de filtres étudié dans l'exercice est constitué des filtres F$_1$ et F$_2$.

La bande passante de ce bloc de filtres est l'ensemble des fréquences que le filtre F$_1$ et le filtre F$_2$
laissent tous les deux passer.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la bande passante du bloc de filtres étudié ?
\item Auquel des trois haut-parleurs de l'enceinte acoustique est associé le bloc de filtres étudié ?
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Formules relatives à la transformation de Laplace}

\vspace{0,5cm}

\renewcommand\arraystretch{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{6cm}|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
Fonction								& Transformée de Laplace\\ \hline
$t \longmapsto \mathcal{U}(t)$			&$p  \longmapsto \dfrac{1}{p}$\\ \hline
$t \longmapsto t\mathcal{U}(t)$			&$p  \longmapsto \dfrac{1}{p^2}$\\ \hline
$t \longmapsto t^n\mathcal{U}(t)$, avec$n \geqslant 1$	&$p  \longmapsto \dfrac{n!}{p^{n+1}}$\\ \hline
$t \longmapsto\text{e}^{at}\mathcal{U}(t)$&$p  \longmapsto \dfrac{1}{p - a}$\\ \hline
\multicolumn{2}{|c|}{\textbf{Propriétés}}\\ \hline
Fonction								& Transformée de Laplace\\ \hline
$t \longmapsto f(t)\mathcal{U}(t)$		&$p \longmapsto  F(p)$\\ \hline
$t \longmapsto f(t - a)\mathcal{U}(t - a)$, avec $a$ constante réelle &$p \longmapsto F(p)\text{e}^{-ap}$\\ \hline
$t \longmapsto  f(at)\mathcal{U}(t)$, avec $a$ constante réelle non nulle	&$p \longmapsto \dfrac{1}{a}F\left(\dfrac{p}{a}\right)$\\ \hline
$t \longmapsto  f(t)\text{e}^{- at}\mathcal{U}(t)$, avec $a$ constante réelle&$p \longmapsto F(p + a)$\\ \hline
$t \longmapsto  f'(t)\mathcal{U}(t)$	&$p \longmapsto  pF(p) - f\left(0^{+}\right)$\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{1}
\end{center}

\newpage

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}

\medskip

On considère un signal modélisé par une fonction $s$, paire et périodique de période $T = 2$, vérifiant:

\[\left(s(t) = 2t\:\: \text{si}\:\: 0 \leqslant  t \leqslant \dfrac{1}{2}\right)\quad  \text{et} \quad  \left(s(t) = 1 \:\: \text{si}\:\: \dfrac{1}{2} < t \leqslant  1\right).\]


\textbf{Partie A : série de Fourier associée à la fonction } \boldmath $s$\unboldmath

\medskip

On admet que la fonction $s$ est développable en série de Fourier et que, pour tout réel $t$ :

\[s(t) = a_0 + \displaystyle\sum_{n \geqslant 1} \left(a_n \cos(n \omega t) + b_n \sin (n \omega t)\right), \:\text{avec} \: \omega = \dfrac{2\pi}{\text{T}}.\]

On rappelle que :

$a_0 = \dfrac{1}{\text{T}}\displaystyle\int_{- \frac{\text{T}}{2}}^{\frac{\text{T}}{2}} s(t)\:\text{d}t$
et que, pour tout entier non nul $n$, $a_n = \dfrac{2}{\text{T}}\displaystyle\int_{- \frac{\text{T}}{2}}^{\frac{\text{T}}{2}} s(t)\cos (n \omega t)\:\text{d}t$ et $b_n = \dfrac{2}{\text{T}}\displaystyle\int_{- \frac{\text{T}}{2}}^{\frac{\text{T}}{2}} s(t)\sin (n \omega t)\:\text{d}t$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter, sur la figure du \textbf{document réponse 2}, la représentation graphique de la
fonction $s$ sur l'intervalle $[- 4~;~4]$.
\item Établir que: $a_0 = \dfrac{3}{4}$.
\item Préciser la valeur de $b_n$ pour tout entier naturel $n$ non nul. Justifier.
\item On veut calculer $a_n$.

À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu certains résultats (voir copie d'écran donnée
dans le \textbf{document réponse 2}).

Démontrer alors que pour tout entier non nul $n$ : $a_n = \dfrac{4\left(\cos \left(\frac{n\pi}{2}\right) - 1\right)}{n^2 \pi^2}$.
\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous. On y portera les valeurs approchées à $10^{-3}$ près de
$a_n$ pour $n$ compris entre 1 et 7.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$		& 1			& 2 &3 	&4 	&5 	&6 	&7\\ \hline
$a_n$	& $- 0,405$	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : puissance du signal}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $s$ étant paire, la puissance du signal sur une période T est donnée par:

\[\text{P} = \dfrac{2}{\text{T}}\displaystyle\int_0^{\frac{\text{T}}{2}} (s(t))^2 \:\text{d}t.\]

Montrer que P $= \dfrac{2}{3}$.
\item On rappelle la formule de Parseval : P $= a_0^2 + \dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{n \geqslant 1} \left(a_n^2 + b_n^2\right)$.

On considère l'algorithme :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|l|X|}\hline
\textbf{Variables}	&$n$ entier naturel\\
					& $S$ nombre réel\\
					&$a$ nombre réel\\ \hline
\textbf{Traitement}	&$n$ prend la valeur 0\\ 
					&$S$ prend la valeur $\left(\dfrac{3}{4}\right)^2$\\
					&Tant que $S < \dfrac{99,9}{100} \times \dfrac{2}{3}$  faire\\ 
					&\hspace{1cm}$n$ prend la valeur $n + 1$\\
					&$a$ prend la valeur $\dfrac{4\left(\cos \left(\frac{n\pi}{2}\right) - 1\right)}{n^2 \pi^2}$\rule[-4mm]{0mm}{5mm}\\
					&$S$ prend la valeur $S + \dfrac{a^2}{2}$\\
					&Fin tant que\\ \hline
\textbf{Sortie}		&Afficher $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Quelle valeur de $n$ affiche l'algorithme ? Justifier.
		\item Que représente cette valeur pour le signal étudié ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{DOCUMENT RÉPONSE 1 À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{1.5cm}

\textbf{EXERCICE 1.{} Partie A : représentation graphique de la fonction } \boldmath$G_1$\unboldmath.

\vspace{1.5cm}

\psset{xunit=0.014cm,yunit=1.4cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-50,-5.5)(800,0.5)
\multido{\n=0+10}{81}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,-5.5)}
\multido{\n=-5.0+0.5}{11}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=cyan](0,\n)(800,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=50,Dy=6,xlabelPos=top]{->}(0,0)(0,-5.5)(800,0.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=50,Dy=6,xlabelPos=top]{->}(0,0)(800,0.5)
\multido{\n=0+-1}{6}{\uput[l](-20,\n){\np{\n}}}
\multido{\n=-0.5+-1.0}{6}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\uput[u](750,0.275){$\omega$ (rad/s)}
\uput[r](0,-5.3){dB}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{153}{800}{290 x 100 sub  div neg }
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\begin{center}
\textbf{DOCUMENT RÉPONSE 2 À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{0.5cm}

\textbf{EXERCICE 2}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie A{} question 1.}
\end{flushleft}

\bigskip

\psset{xunit=1.8cm,yunit=2cm}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\begin{pspicture}(-4.5,-1)(4.5,2.1)
\multido{\n=-4.5+0.5}{19}{\psline[linestyle=dotted](\n,-1)(\n,2)}
\multido{\n=-1+1}{4}{\psline[linestyle=dotted](-4.5,\n)(4.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-4.5,-1)(4.5,2.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(4.5,2.2)
\multido{\n=-4.5+1.0}{10}{\uput[d](\n,-0.07){\footnotesize \np{\n}}}
\psline[linewidth=1pt](0,0)(0.5,1)(1,1)
\end{pspicture}

\vspace{0,5cm}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie A question 4. : copie d'écran de logiciel de calcul formel}
\end{flushleft}

\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.8}
\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|m{0.4cm}|X|}\hline
\multicolumn{2}{|l|}{Calcul formel}\\ \hline
\multirow{2}{*}{1}&intégrale$[\cos(n*\pi*t), t, 0, 1/2]$\\
\rule[-4mm]{0mm}{5mm}&$\to \dfrac{\sin \left(n \frac{\pi}{2}\right)}{n\pi}$ \\ \hline
\multirow{2}{*}{2}&intégrale$[\cos(n*\pi*t), t, 1/2, 1]$\\
\rule[-4mm]{0mm}{5mm}&$\to \dfrac{\sin (n \pi) - \sin \left(n\frac{\pi}{2}\right)}{n\pi}$\\ \hline
\multirow{2}{*}{3}&intégrale$[t*\cos(n*\pi*t), t, 0, 1/2]$\\
\rule[-4mm]{0mm}{5mm}&$\to \dfrac{n\pi \sin \left(n\frac{\pi}{2}\right) + 2\cos\left(n\frac{\pi}{2}\right) - 2}{2n^2\pi^2}$\\ \hline
\multirow{2}{*}{4}&intégrale$[t*\cos(n*\pi*t), t, 1/2, 1]$\\
\rule[-4mm]{0mm}{5mm}&$\to \dfrac{2n\pi\sin (n\pi) - n\pi \sin\left(n\frac{\pi}{2}\right) + 2\cos (n\pi) - 2\cos \left(n\frac{\pi}{2}\right)}{2n^2\pi^2}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}