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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur S}
\lfoot{\small{Groupement A}}
\rfoot{\small{2002}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~BTS Groupement A  novembre2002~\decofourright\\ Nouvelle-Calédonie}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 10 points}

\begin{center}

\textbf{Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.}

\textbf{La résolution de la partie B ne nécessite aucune connaissance dans le domaine des probabilités.}
\end{center}
 
\emph{On suppose qu'un système est surveillé par séquences d'une durée $d$.}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On note $Z$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de remplacements d'un élément du système pendant une durée $d$ de fonctionnement de ce système. On suppose que $Z$ suit une loi de Poisson de paramètre $2d$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on prend $d = 3$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner le nombre moyen de remplacements pendant une séquence de durée $d$. 
		\item Déterminer la probabilité qu'il y ait plus de 6 remplacements pendant une séquence de durée $d$. 
		\item Déterminer la plus petite valeur de l'entier $k$ telle que $P(Z \leqslant k) \geqslant 0,95$. 

Ce nombre $k$ représente le nombre maximum de remplacements à effectuer sur une période d, avec un degré de confiance de 95\,\%. 
	\end{enumerate}
\item Pour quelle valeur de $d$, la probabilité qu'il y n'ait aucun remplacement à effectuer pendant une séquence de durée $d$ est-elle égale à $0,8$ ?
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\emph{Un système est composé de deux éléments identiques au précédent et d'un réparateur. Tant que l'un de ces deux éléments fonctionne, le système est considéré comme étant en bon fonctionnement.}

\medskip
 
On s'intéresse à la probabilité, notée $r$, que le système fonctionne correctement pendant une durée $t$.
 
On démontre que $r(t) = x(t) +y(t)$ où $x$ et $y$ sont des fonctions dérivables sur $[0~;~+ \infty[$ et solution du système $S$ :
 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x'(t) &=& 3y(t) - 4x(t)\\
y'(t) &=& 4x(t) - 5y(t)
\end{array}\right.\quad  \text{avec les conditions initiales } \:x(0) = 1\: \text{et}\: y(0) = 0.\]
 
\emph{$x(t)$ est la probabilité qu'un élément du système fonctionne à l'instant $t$ et $y(t)$ est la probabilité que les deux éléments du système de fonctionnement à l'instant $t$.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On suppose que les fonctions $x , y$ et $r$ admettent des transformées de Laplace notées respectivement $X, Y$ et $R$.
 
En appliquant la transformation de Laplace au système $S$, montrer que : 
	 
\[R(p) = \dfrac{p + 9}{(p+8)(p+1)}\]  

\item Déterminer les réels $A$ et $B$ tels que $R(p) = \dfrac{A}{p + 8} + \dfrac{B}{p + 1}$. 
\item Déterminer l'original $r$ de $R$. 
\item Démontrer que la fonction $r$ est décroissante sur $[0~;~+ \infty[$. Calculer sa limite en $+ \infty$. 
\item Calculer l'intégrale généralisée $\displaystyle\int_{0}^{+ \infty} 	\dfrac{- \text{e}^{-8t} + 8\text{e}^{- t}}{7}\:\text{d}t$. 

\emph{Cette intégrale représente la durée moyenne de bon fonctionnement du système.} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 10 points}

\medskip
 
On désigne par $\tau$ un réel appartenant à l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$ et par $E$ une constante strictement positive. 

On considère un signal périodique modélisé par la fonction $f$ de période $T = 2\pi$, impaire, définie par : 

\[\left\{\begin{array}{l c l c l}
f(t) &=&0& 	\text{si}& t \in  [0~;~\tau]\\ 
f(t) &=& - E& \text{si}& t \in ]\tau~;~ \pi - \tau[\\
f(t) &=& 0& \text{si}&t \in  [\pi - \tau~;~\pi]
\end{array}\right.\]
 
\begin{enumerate}
\item Construire, dans un rep\`ere orthogonal, la représentation graphique de $f$ sur $[- 2\pi~;~2\pi]$.
\item Calculer les coefficients de Fourier $a_{n}$ et $b_{n}$ de la fonction $f$. 
 
Montrer que, pour tout $p$ de $\N$, on a : 	$\left\{\begin{array}{l c l }
 b_{2p} &=& 0\\
 b_{2p+1}&=&- \dfrac{4E}{\pi(2p + 1)} \cos [(2p + 1)\tau]
 \end{array}\right.$
\item Déterminer $\tau$ pour que la fonction $u_{3}$ définie sur $\R$ par $u_{3}(t) = a_{3} \cos (3t) + b_{3} \sin (3t)$ soit nulle sur $\R$. 
\item  On admet que la fonction satisfait aux conditions de Dirichlet.

On note $S(t)$ la somme de la série de Fourier associée à $f$. 

Déterminer $S(0),\: S(\tau)$ et $S\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$. 
\item  Dans cette question, on choisit $\tau  = \dfrac{\pi}{6}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le carré de la valeur efficace sur une période de la fonction $f$, c'est-à-dire le nombre $f_{e}^2$ tel  que $f_{e}^2 = \dfrac{1}{T}\displaystyle\int_{\alpha}^{\alpha + T} f^2(t)\:\text{d}t$. 
		\item Calculer $k = a_{0}^2 + \dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^5   \left(a_{n}^2 + b_{n}^2\right)$. 
		
Donner l'arrondi à $10^{-3}$ près du rapport $\dfrac{k}{f_{e}^2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}



\end{document}