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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur S}
\lfoot{\small{Groupement A}}
\rfoot{\small{novembre 2000}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~BTS Groupement A  Nouvelle Calédonie ~\decofourright\\novembre 2000}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

On considère le circuit suivant

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,4)
%\psgrid
\pnode(0.5,0.5){A}\pnode(7.5,0.5){B}\pnode(0.5,3.5){D}\pnode(2.5,0.5){E}\pnode(2.5,2){F}
\pnode(2.5,3.5){G}\pnode(5.5,0.5){H}\pnode(5.5,3.5){I}\pnode(0.5,4){J}
\psline(7.5,3.5)(0.5,3.5)
\psline(7.5,0.5)(0.5,0.5)
\psline{->}(7.5,0.75)(7.5,3.25)\uput[r](7.5,2){$u(t)$}
\uput[u](5.5,3.5){A}\uput[d](5.5,0.5){B}\uput[l](0.3,2){$I$}
\psset{unit=0.5cm}
\resistor(E)(F){$R$}\coil(F)(G){$L$}\capacitor(H)(I){$C$}
\circledipole(A)(J){}\circledipole[fillstyle=solid](A)(D){}

\psset{unit=1cm}
\psline{->}(0.5,2)(0.5,2.4)
\psframe[fillstyle=solid,linecolor=white](0.3,3.52)(0.7,4.05)
\end{pspicture}
\end{center}

$R, L$ et $C$ sont des constantes réelles, strictement positives, caractéristiques du circuit.

Le générateur de courant idéal délivre un échelon de courant défini par :
\[\left\{\begin{array}{l c l r r}
I(t)& =& 0& \text{si}&t < 0\\
I(t)& =&I_0&\text{si}&t \geqslant 0
\end{array}\right.\]  

où $I_0$ est une constante réelle positive.

La tension $u$ aux bornes du condensateur est une fonction du temps $t$, deux fois dérivable.

L'intensité $i$ dans la branche AB du circuit est donnée par :

\[i(t) = I_0  - C \dfrac{\text{d}u}{\text{d}t}(t)\qquad  (1)\]

L'équation différentielle donnant la tension $u$ aux bornes du condensateur est :

\[\dfrac{\text{d}^2u}{\text{d}t^2} + \dfrac{R}{L}\dfrac{\text{d}u}{\text{d}t}(t) + \dfrac{1}{LC} u(t) = \dfrac{RI_0}{LC}\qquad (2)\]


\begin{enumerate}
\item Montrer que, dans le cas où $C < \dfrac{4L}{R^2}$ la solution générale de (2) est :
(2)
Rt \[u(t) = \text{e}^{-\frac{Rt}{2L}}\left[\alpha\cos (\omega t) + \beta\sin (\omega t)\right] + RI_0\]

où $\alpha$ et $\beta$ sont deux constantes réelles et où $\omega = \dfrac{\sqrt{C\left(4L - R^2C \right)}}{2LC}$.
\item Donner la solution particulière de (2) vérifiant les conditions initiales :

\[u(0) = 0\quad  \text{et}\quad  i(0) = 0.\]
 \end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}

\medskip
 
\emph{L'objectif de cet exercice est de déterminer le développement en série de Fourier d'une fonction puis d 'utiliser ce développement pour obtenir la somme d 'une série numérique.}

\medskip

On considère la fonction numérique $f$, périodique de période $2\pi$, impaire, telle que:

\[f(t) = t(\pi - t) \quad \text{pour }\: t \in [0~;~\pi].\]

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~\pi]$ et dresser le tableau de variations correspondant.
\item Tracer, dans un repère orthonormal \Oij, la représentation graphique de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2\pi~;~+ 2\pi]$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coefficients de Fourier $a_0,\: a_n$ et $b_n$ associés à $f$ (on distinguera les deux cas $n$ pair et $n$ impair).
		\item On admet que la fonction $f$ vérifie les condition de Dirichlet. Justifier que, pour tout réel $t$, on a :
		
\[f(t) = \dfrac{8}{\pi}\displaystyle\sum_{p=0}^{+ \infty} \dfrac{ \sin [(2p + 1) t]}{(2p + 1)^3}\]

	\end{enumerate}
\item On admet que la série numérique de terme général $\dfrac{(- 1)^p}{(2p + 1)^3}$ est convergente.

Calculer $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$. En déduire $\displaystyle\sum_{p=0}^{+ \infty}  \dfrac{(- 1)^p}{(2p + 1)^3}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points}

\medskip

On produit en grande quantité des tiges. À chaque tige de la production on associe sa longueur $x$ exprimée en millimètres. On définit ainsi une variable aléatoire $X$. On admet que $X$ suit la loi normale de moyenne $171$ et d'écart type $6,2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On prélève, au hasard, une pièce de la production.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que la pièce ait une taille inférieur à $160$ mm.
		\item Calculer la probabilité que la pièce ait une taille supérieure à $195$ mm.
	\end{enumerate}
\item Déterminer, avec la précision permise par les tables, le réel $r$ tel que :
	
\[P(|X -171| \leqslant  r) = 0,984.\]
	
Donner la valeur approchée de $r$ à une unité près par excès.
\item Une pièce est jugée défectueuse si sa longueur n'est pas élément de l'intervalle [156~;~186].
	\begin{enumerate}
		\item Calculer, à $10^{-3}$ près, la probabilité qu'une pièce prise au hasard dans la production soit défectueuse.
		\item On prélève, au hasard et avec remise, un échantillon de $20$~tiges dans la production. On désigne par $Y$ la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre de tiges défectueuses d'un tel échantillon.
		
Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $Y$ ?
		
Calculer à $10^{-3}$ près, la probabilité que sur $20$~tiges prélevées, au plus 2 soient défectueuses.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}