%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{xcolor}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {BTS groupement A},
pdftitle = {Nouvelle-Calédonie novembre 2014},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Merci à Jacques Nguyen   de nous avoir communiqué ce sujet 
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{etex}
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-circ,pst-tree,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {BTS groupement A},
pdftitle = {NouvelleCalédonie 8 novembre  2016},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie Groupe A}}
\rfoot{\small{8 novembre 2016}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}

\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur 8 novembre 2016~\decofourright\\ groupement A Nouvelle-Calédonie}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip


Une machine industrielle produit des pièces qui peuvent présenter deux défauts : un défaut
A avec une probabilité de $0,02$ et un défaut B avec une probabilité de $0,06$.

La probabilité qu'une pièce présente les 2 défauts est de $0,011$.

\smallskip

On note $A$ l'évènement: \og la pièce présente le défaut $A$ \fg{} et $B$ l'évènement: \og la pièce présente le défaut B.

\medskip

\textbf{Partie A. - QCM}

\medskip

\emph{Ces questions sont posées sous la forme d'un QCM. Aucune justification n'est demandée.
Pour chacune des questions, une seule des réponses est exacte. On écrira sur la copie le
numéro de la question et la réponse choisie. Chaque bonne réponse rapporte $0,5$ point.
L'absence de réponse ou une mauvaise réponse n'enlève pas de point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les évènements $A$ et $B$
	\begin{enumerate}
		\item sont incompatibles.
		\item ne sont pas indépendants.
		\item forment une partition.
		\item sont des évènements contraires.
	\end{enumerate}
\item La probabilité qu'une pièce présente au moins un défaut est :
	
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.}~~0,08 &\textbf{c.}~~ 0,069\\
\textbf{b.}~~0,011 &\textbf{d.}~~\np{0,0012}
\end{tabularx}

\item La probabilité qu'une pièce ne présente aucun des deux défauts est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.}~~0,931&\textbf{c.}~~ 0,92\\
\textbf{b.}~~\np{0,9988}&\textbf{d.}~~0,989
\end{tabularx}

\item Sachant qu'une pièce présente le défaut A, la probabilité qu'elle présente le défaut B
est:

\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.}~~0,06	&\textbf{c.}~~\np{0,1833}\\
\textbf{b.}~~0,011&\textbf{d.}~~0,55
\end{tabularx}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Pour la suite on suppose que la probabilité qu'une pièce soit défectueuse est $0,07$.

On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à tout lot de $200$ pièces prélevées au hasard dans la production, associe le nombre de pièces défectueuses. La production étant importante ces prélèvements peuvent être assimilés à des tirages avec remise.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $X$ ? Justifier la réponse et préciser les paramètres de cette loi.
		\item Donner l'espérance de la variable aléatoire $X$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\item \emph{Les résultats seront arrondis au millième.}
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité qu'un lot contienne exactement $5$~pièces défectueuses.
		\item Déterminer la probabilité qu'un lot contienne plus de $5$~pièces défectueuses.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

Les systèmes automatisés actuels nécessitent très souvent l'utilisation de moteurs fonctionnant avec des vitesses variables. Les variateurs de vitesse permettent cela en suivant diverses stratégies de commande.

Les tensions délivrées par ces variateurs, riches en harmoniques, sont responsables de pertes
énergétiques indésirables par rapport au fonctionnement sous tension sinusoïdale (couple vibratoire, pertes par hystérésis et courant de Foucault).

TI existe des solutions permettant de minimiser les harmoniques de faibles fréquences, en dehors du fondamental. On se propose de comparer deux de ces solutions :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]\textbf{la commande pleine onde} ;
\item[$\bullet~~$]\textbf{la commande par MLI} (modulation de largeur d'impulsion) ou \textbf{PWM} (pulse width modulation) en anglais.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

Le but de cet exercice est de déterminer laquelle des deux commandes minimise le mieux les
premières harmoniques indésirables.

\bigskip

\textbf{Partie A : Commande pleine onde}

\medskip

La tension délivrée par le variateur, exprimée en volt, dépend du temps exprimé en seconde.

Elle peut être modélisée par une fonction $f$ définie sur $\R$, paire et périodique de période $T$, dont la représentation sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{T}{2}\right]$ est :

\begin{center}
\psset{xunit=1.25cm,yunit=0.65cm}
\begin{pspicture}(-2,-5)(5,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=8]
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-2,-5)(5,4)
\psdots(0,3)(1,3)(2,0)(3,-3)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](0,3)(1,3)\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](1,0)(2,0)\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](2,-3)(3,-3)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](1,3)(1,0)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](2,0)(2,-3)
\uput[dr](0,0){$0$}\uput[dr](1,0){$\frac{T}{6}$}\uput[dr](2,0){$\frac{T}{3}$}\uput[dr](3,0){$\frac{T}{2}$} \uput[ul](0,3){$E_0$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Compléter, sur le \textbf{document réponse 1}  la représentation graphique de la fonction $f$ sur l'intervalle $[- T~;~2T]$.
		
Dans la pratique une période réaliste serait $T = 20$~ms, mais pour simplifier les calculs on
fait un changement d'échelle et \textbf{pour toute la suite de l'exercice on prendra} \boldmath $T = 2\pi$.\unboldmath
		\item Donner une expression de $f(t)$ pour $t$ appartenant à chacun des intervalles 
	$\left[0~;~\dfrac{\pi}{3}\right]$, $\left[\dfrac{\pi}{3}~;~\dfrac{2\pi}{3}\right]$ et 
	$\left[\dfrac{2\pi}{3}~;~\pi\right]$.
	\end{enumerate}
\item On admet que la fonction $f$ est développable en série de Fourier et que, pour tout réel $t$ :
	
\[f(t) = a_0 + \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \left(a_n \cos(n \omega t) + b_n \sin(n \omega t)\right),\:\: \text{avec } \:\omega = \dfrac{2\pi}{T}.\]

On rappelle que: $a_0 = \dfrac{1}{T}\displaystyle\int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}  f(t)\:\text{d}t$ et que,pour tout entier $n$ non nul :
	
\[ a_n= \dfrac{2}{T}\displaystyle\int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos(n \omega t)\:\text{d}t\quad \text{et} \quad  b_n = \dfrac{2}{T}\displaystyle\int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin(n \omega t)\:\text{d}t.\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $a_0$.
		\item Que peut-on dire des coefficients $b_n$ pour tout entier naturel non nul $n$ ? Justifier.
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$  :\: $a_n = \dfrac{2E_0}{n \pi} \left(\sin \left( n \dfrac{\pi}{3}\right) + \sin \left( n \dfrac{2\pi}{3}\right)\right)$.
 	\end{enumerate}
\item Compléter le tableau de valeurs figurant dans le \textbf{document réponse 1}.
	
Pour le calcul des valeurs approchées on prendra : $E_0 = 513,22$~V.
\item Compléter la représentation spectrale donnée dans le \textbf{document réponse 1}.
\end{enumerate}		

\bigskip
		
\textbf{Partie B. - Commande par MLI}
		
\medskip
		
La tension délivrée par le variateur peut être, pour la commande par MLI, modélisée par une
fonction $g$, définie sur $\R$, impaire et périodique de période $T = 2\pi$ dont la représentation sur l'intervalle $[0~;~\pi]$ est :

\begin{center}
\psset{xunit=2.8cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture*}(-0.2,-1.5)(4.1,7)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=8](0,0)(5,7)
\multido{\n=-1+1}{8}{\rput(0,\n){\multido{\na=0.00+0.05}{80}{\psdots[dotsize=0.5mm](\na,0)}}}
\multido{\n=0.0000+0.7854}{5}{\rput(\n,-1){\multido{\na=0.00+0.20}{320}{\psdots[dotsize=0.5mm](0,\na)}}}
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-0.2,-1.5)(4.1,7)
\uput[dr](0,0){$0$} \uput[l](0,5){$E_1$}
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed](0.396,0)(0.396,5)(0.66,5)(0.66,0)(0.98,0)(0.98,5)(1.825,5)(1.825,0)(2.482,0)(2.482,5)(2.746,5)(2.746,0)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue](0,0)(0.396,0)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue](0.396,5)(0.66,5)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue](0.66,0)(0.98,0)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue](0.98,5)(1.825,5)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue](1.825,0)(2.482,0)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue](2.482,5)(2.746,5)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue](2.746,0)(3.142,0)
\uput[d](0.396,0){$\alpha$}\uput[d](0.66,0){$\beta$} \uput[d](0.98,0){$\gamma$}\uput[d](1.571,0){$\frac{\pi}{2}$}
\uput[d](1.825,0){\footnotesize$\pi- \gamma$} \uput[d](2.482,0){\footnotesize$\pi - \beta$} \uput[d](2.746,0){\footnotesize$\pi - \alpha$} \uput[d](3.142,0){$\pi$}
\end{pspicture*}		
\end{center}
		
où $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ sont trois réels tels que $0 < \alpha  < \beta < \gamma <  \dfrac{\pi}{2}$.

On admet  
		
\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item que la fonction $g$ est développable en série de Fourier sous la forme:

\[g(t) = a'_0 + \sum_{n=1}^{+ \infty} \left(a'_n \cos(n\omega t) + b'_n \sin(n \omega t)\right) ;\]

\item que pour tout entier naturel $n$ : $a'_n~ = 0$,
\item que pour tout entier naturel non nul $n$ : $b'_n = \dfrac{2}{T} \displaystyle\int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} g(t)\sin (n \omega t)\: \text{d}t$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

Avec un logiciel de calcul formel, on obtient les résultats suivants :

\begin{center}
{\footnotesize
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|X|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
? &Sau& Config : exact real RAD 12 xcas\\ \hline
1&$\text{int}(\sin(n*t), t, \alpha, \beta)$ ;&\\ \hline
&&$\dfrac{-\cos( n\times \beta)}{n} - \dfrac{- \cos( n \times  \alpha)}{n}$\\ \hline\hline
2&$\text{int}(\sin(n*t), t, \gamma, \pi - \gamma)$ ;&\\ \hline
&&$\dfrac{-\cos( n\times \pi - n \times \gamma)}{n} - \dfrac{- \cos( n \times  \gamma)}{n}$\\ \hline\hline
3&$\text{int}(\sin(n*t), t, \pi - \beta, \pi - \alpha)$ ;&\\ \hline
&&$\dfrac{-\cos( n\times \pi - n \times \alpha)}{n} - \dfrac{- \cos( n \times \pi - n \times \beta)}{n}$\\ \hline\hline
$4$&trigexpand $(\cos(n \times x) - \cos( n*\pi - n*x))$;& \\ \hline
&&$- \cos( n\times \pi)\times \cos( n\times x) + \sin( n\times \pi)\times (-\sin( n\times  x))+ \cos( n\times  x)$\\ \hline
\end{tabularx}}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la copie d'écran ci-dessus:
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout réel $x$ : $\cos (nx) - \cos(n\pi- nx) = \left(1 - (-1)^n\right)\cos (nx)$.
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ :
		
\[b'_n = \dfrac{2E_1}{n\pi} \left(1- (-1)^n \right)[\cos(n\alpha) - \cos(n\beta) + \cos(n\gamma)].\]
		
	\end{enumerate}
\item On pose $E_1 = 544,00~\text{V}, \: \alpha = 0,396,\:\beta =0,66$ et $\gamma = 0,817$.
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau de valeurs figurant dans le \textbf{document réponse 2}.
		\item On donne, sur le \textbf{document réponse 2}, la représentation spectrale (limitée aux premières harmoniques) de $g$.
		
Quelle commande (pleine onde ou MLI) semble permettre de limiter les harmoniques
indésirables et les pertes qui sont liées ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

Lors d'un choix de moteur en vue de réaliser un automatisme, il est important de connaître le
moment d'inertie du moteur et de la charge mécanique afin de prévoir les couples d'accélération que devra fournir le moteur.

L'expérience suivante (lâché du moteur en charge) permet de déterminer la valeur du moment
d'inertie d'une machine à courant continu :

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 4}
\begin{pspicture}(0,1)(12,8)
%\psgrid
\pnode(0.5,7){A}\pnode(0.5,4){B}\pnode(4.5,7){C}\pnode(4.5,4){D}
\pnode(1,7){E}\pnode(2,7){F}\pnode(2.5,5){G}\pnode(2.5,6){H}
\diode(G)(H){}
\switch(E)(F){$K$}
%\pscircle(0.5,5.5){5mm}
\pscircle(4.5,5.5){6mm}
\pnode(0.5,5){I}\pnode(0.5,6){J}
\Ucc[labelInside=2](I)(J){}
\psline(0.5,6)(0.5,7)(1,7)\psline(0.5,5)(0.5,3.2)(4.5,3.2)(4.5,4.8)
\psline(2.7,7)(4.5,7)(4.5,6.2)\psline(2,7)(3,7)
\psframe(2,1)(8,3)
\psline(2.5,3.2)(2.5,5)\psline(2.5,6)(2.5,7)
\psline(6.5,6.2)(6.5,7)(11.5,7)(11.5,5.4)
\psline(6.5,4.8)(6.5,3.2)(11.5,3.2)(11.5,4.5)
\pnode(6.5,4.7){K}\pnode(6.5,5.7){L}
\pnode(11.5,4.5){M}\pnode(11.5,5.4){N}
\pscircle(6.5,5.5){6mm}
\psarc{->}(5.5,5.5){0.25cm}{60}{300}
\resistor(M)(N){$R$}
\rput(5,2.5){2 machines identiques :}
\rput(5,2){celle de gauche fonctionne en moteur}
\rput(5,1.5){et celle de droite en charge mécanique}
\psline{->}(5.5,3)(4.8,4.4)\psline{->}(5.5,3)(6.2,4.4)
\psline(6.5,5.5)(4.5,5.5)
\rput(5.5,6){$\omega$}
\psline(4.3,6.04)(4.3,6.2)(4.7,6.2)(4.7,6.04)
\psline(6.3,6.04)(6.3,6.2)(6.7,6.2)(6.7,6.04)
\psline(4.3,4.96)(4.3,4.8)(6.7,4.8)(6.7,4.96)
\psline(6.3,4.96)(6.3,4.8)(6.7,4.8)(6.7,4.96)
\end{pspicture}
\end{center}

Tout d'abord on porte l'axe de rotation à la vitesse nominale (ici $\omega_0 = 169$ rad.s$^{-1}$, ce qui est proche de 1500 tr.min$^{-1}$) en fermant l'interrupteur K.

Une fois la vitesse nominale atteinte on coupe l'alimentation du moteur en ouvrant l'interrupteur K et la vitesse de rotation $\omega(t)$ décroit de manière exponentielle jusqu'à un instant $t_0$.

\begin{center}
\psset{xunit=17.55cm,yunit=0.05cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.1,-5)(0.5,180)
\multido{\n=0.0+0.1}{6}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,165)}
\multido{\n=0+20}{9}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt](0,\n)(0.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.1,Dy=20]{->}(0,0)(0,-5)(0.5,170)
\rput{90}(-0.08,135){$\omega$ en rad.s$^{-1}$}
\uput[u](0.47,0){$t$ (s)}
\psplot[plotpoints=2500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{0.228}{182 2.71828 x 0.0856 div exp div  13 sub}
\rput(0.15,175){essai de lâché}
\end{pspicture}
\end{center}

On peut montrer que, pour $t$ variant de $0$ à $t_0,\: \omega(t)$ vérifie :

\[J \dfrac{\text{d}\omega (t)}{\text{d}t} = - C_0 - \dfrac{k^2}{R}\omega(t)\quad  (1)\]

où 
\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item $J$ est le moment d'inertie de l'ensemble tournant, exprimé en kg.m$^2$,
\item $C_0 = 0,11$~N.m est la valeur des frottements secs,
\item $k = 0,174$~N.m.A$^{-1}$ est une constante caractéristique de la machine
\item et $R =3,6~\Omega$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'égalité (1) peut s'écrire : $\dfrac{\text{d}\omega (t)}{\text{d}t} + \dfrac{\omega(t)}{\tau} = \dfrac{- C_0}{J}$,

où $\tau$ est une constante que l'on exprimera en fonction de $R, \:J$ et $k$.
\item On note $(E)$ l'équation différentielle : $y '+ \dfrac{1}{\tau} y = \dfrac{- C_0}{
J}$.
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation différentielle sans second membre associée à (E) :

		\[y' + \dfrac{1}{\tau}y = 0 \quad \left(E_0\right).\]

		\item Déterminer une solution particulière $y_p$ de l'équation différentielle $(E)$. On pourra chercher cette solution parmi les fonctions constantes.
		\item En déduire \textbf{les} solutions de l'équation différentielle $(E)$.
	\end{enumerate}
\item En utilisant la condition initiale $\omega(0) = \omega_0$, montrer que, pour tout $t$ appartenant à l'intervalle $\left[0~;~t_0\right]$, on a : $\omega(t) = \left(\omega_0 + \dfrac{C_0 \tau}{J}\right)\text{e}^{\frac{- t}{\tau}} -  \dfrac{C_0 \tau}{J}$.
\item Une modélisation de la courbe expérimentale donne :

\vspace{-0.3cm}
\[\omega(t) = A\text{e}^{\frac{- t}{\tau}} - B\quad  \text{avec }\:A \approx  182~\text{rad.s}^{-1}, \: \tau \approx  \np{0,0856}~\text{s}\:\: \text{et}\:\: B = 13~\text{rad.s}^{ -1}.\]
	
Calculer une valeur approchée du moment d'inertie $J$. Arrondir la réponse à $10^{-5}$ près.
\item On note $\omega'$ la fonction dérivée de la fonction $\omega$.
	
À l'instant $t$ la décélération du moteur, exprimée en rad.s$^{-2}$, est égale à 
	$- \omega' (t)$.
	
On observe que cette décélération est maximale au moment où l'on ouvre l'interrupteur.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\omega' (t)$ pour tout $t$ appartenant à l'intervalle $\left[0~;~ t_0\right]$.
		\item Déterminer la décélération maximale du moteur.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{Document réponse 1 à rendre avec la copie}
\end{center}
\medskip

\textbf{Exercice 2}

\textbf{Partie A- Question 1. a. : Représentation graphique de la fonction } \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-7,-5)(13,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=8]
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-7,-5)(13,4)
\psdots(0,3)(1,3)(2,0)(3,-3)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](0,3)(1,3)\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](1,0)(2,0)\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](2,-3)(3,-3)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](1,3)(1,0)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](2,0)(2,-3)
\uput[dr](0,0){$0$}\uput[dr](1,0){$\frac{T}{6}$}\uput[dr](2,0){$\frac{T}{3}$}\uput[dr](3,0){$\frac{T}{2}$} \uput[ul](0,3){$E_0$}\uput[dr](6,0){$T$}\uput[dr](12,0){$2T$}\uput[dr](-6,0){$- T$}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie A- Question 3 : Tableau de valeurs à compléter}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$								& 1 &2 	&3 	&4 	&5 	&6 	&7\\ \hline
Valeur exacte de $a_n$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}			&$\dfrac{2E_0\sqrt{3}}{\pi}$&0	&	&	&	&	&\\ \hline
Valeur approchée à $10^{-2}$ de $a_n$		&	&0	&	&	&	&	&\\ \hline
Valeur approchée à $10^{-2}$ de $A_n = \sqrt{\left(a_n^2 + b_n^2 \right)}$&&0&&& 113,18&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie A- Question 4 : Représentation spectrale des premières harmoniques de }\: \boldmath $f$ \unboldmath

\psset{xunit=1cm,yunit=0.014cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-50)(8,650)
\multido{\nb=0+50}{13}{
\multido{\n=0.00+0.14,\na=0.07+0.14}{58}{\psline[linewidth=0.25pt](\n,\nb)(\na,\nb)}}
\multido{\nb=0+1}{9}{
\multido{\n=0+10,\na=5+10}{60}{\psline[linewidth=0.25pt](\nb,\n)(\nb,\na)}}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=100]{->}(0,0)(0,0)(8,650)
\psline[linewidth=1.5pt](5,0)(5,113.18)
\uput[d](7.6,0){$n$} \uput[l](0,640){$A_n$}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage
\begin{center}
\textbf{Document réponse 2 à rendre avec la copie}
\end{center}

\textbf{Partie B- Question 2. a. : Tableau de valeurs à compléter}

\bigskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$									&1 	&2 	&3 	&4 	&5 	&6 	&7\\ \hline
Valeur approchée 
à $10^{-2}$ de $b'_n$				&	&0	&	&0	&	&	&\\ \hline
Valeur approchée 
à $10^{-2}$ de $A'_n = 
\sqrt{\left({a'_n}^2 + {b'_n}^2 \right)}$&	&0	&	&0	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie B- Question 2. b. : Représentation spectrale des premières harmoniques de}~ \boldmath $g$ \unboldmath

\psset{xunit=1cm,yunit=0.014cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-50)(8,650)
\multido{\nb=0+50}{13}{
\multido{\n=0.00+0.14,\na=0.07+0.14}{58}{\psline[linewidth=0.25pt](\n,\nb)(\na,\nb)}}
\multido{\nb=0+1}{9}{
\multido{\n=0+10,\na=5+10}{60}{\psline[linewidth=0.25pt](\nb,\n)(\nb,\na)}}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=100]{->}(0,0)(0,0)(8,650)
\psline[linewidth=1.5pt](1,0)(1,544)
\uput[d](7.6,0){$n$} \uput[l](0,640){$A'_n$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}