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\fancyhead[L]{Corrigé du BTS, groupement A, Nouvelle-Calédonie, novembre 2008}
\fancyhead[R]{Page {\thepage} sur~\pageref{fin}}
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\fancyfoot[L]{\footnotesize Jérôme \textsc{Challier}}
\fancyfoot[R]{\footnotesize Lycée Charles \textsc{Poncet} -- CLUSES}
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%%%%%%%%%%%%%%%%% Instructions spéciales pour les fichiers pdf %%%%%%%%%%%%%%%%
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  pdfauthor   = {Jérôme CHALLIER},%
  pdftitle    = {Corrigé du BTS, groupement A, Nouvelle-Calédonie, %
                 novembre 2008},%
  pdfsubject  = {Séries de Fourier, transformation de Laplace},%
  pdfkeywords = {},%
  pdfcreator  = {LaTeX (GNU/Linux Debian Sarge 3.1r1) avec les extensions %
                 HyperTeX et PS-Tricks},%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Suite du préambule %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\title{Corrigé du BTS, groupement A, Nouvelle-Calédonie, novembre 2008}
\author{Jérôme \textsc{Challier}}
\date{3 avril 2009}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Texte du document %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small{CAPLP externe 2013}}
\thispagestyle{plain}
\begin{center}
\Large{\textbf{\fbox{Corrigé du BTS, groupement A, Nouvelle-Calédonie, %
novembre 2008}}}
\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} -- séries de \textsc{Fourier}}

\medskip

\fbox{$f(t) = \left\{ \begin{array}{c@{~~}l@{~~}l} 
 1  & \text{si} & 0 \leqslant t \leqslant \alpha \\
 0  & \text{si} & \alpha < t < \pi - \alpha      \\
- 1 & \text{si} & \pi - \alpha \leqslant t \leqslant \pi
\end{array}
\right.$ avec $0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$ et $f$ paire et périodique de 
période $2 \pi$ .}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
\emph{Représentation de $f$ sur $[- 2\pi~;~2\pi]$ lorsque %
$\alpha = \dfrac{\pi}{3}$}

Pour $\alpha = \dfrac{\pi}{3}$ on a 
$f(t) = \left\{ \begin{array}{c@{~~}l@{~~}l} 
 1  & \text{si} & 0 \leqslant t \leqslant \frac{\pi}{3} \\[2mm]
 0  & \text{si} & \frac{\pi}{3} < t < \frac{2 \pi}{3}  \\[2mm]
- 1 & \text{si} & \frac{2 \pi}{3} - \alpha \leqslant t \leqslant \pi
\end{array}
\right.$.

\item
\begin{enumerate}[a.]
\item
\emph{Calcul de $a_0$}

D'après le formulaire $\displaystyle a_0 = 
\dfrac{1}{2 \pi} \int_{- \pi}^{\pi} f(t) \mathrm{d}t$ et comme 
$f$ est paire, 
$\displaystyle a_0 = \dfrac{1}{\pi} \int_0^{\pi} f(t) \mathrm{d}t$, 
d'où~: 
\begin{displaymath}
a_0 = \dfrac{1}{\pi} \left[ \int_0^{\alpha} 1 \mathrm{d}t 
    + \int_{\alpha}^{\pi - \alpha} 0 \, \mathrm{d}t 
    + \int_{\pi - \alpha}^{\pi} (- 1) \mathrm{d}t \right] 
    = \dfrac{1}{\pi} \left[\alpha - 0 - ( \pi - (\pi - \alpha)) \right]
    = \dfrac{1}{\pi} (\alpha - \pi + \pi - \alpha)
    = 0.
\end{displaymath}

\vspace{1mm}

\item
\emph{Valeur de $b_n$ pour tout entier $n \geqslant 1$}

\vspace{1mm}

D'après le formulaire $\displaystyle b_n = 
\dfrac{1}{\pi} \int_{- \pi}^{\pi} f(t) \sin (nt) \mathrm{d}t$. 

Comme $f$ est paire, $t \longmapsto f(t) \sin (nt)$ est impaire donc 
$\displaystyle \int_{- \pi}^{\pi} f(t) \sin (nt) \mathrm{d}t = 0$, d'où, pour 
tout entier $n \geqslant 1$, $b_n = 0$. 

\vspace{1mm}

\item
\emph{Calcul de $a_n$ pour tout entier $n \geqslant 1$}

D'après le formulaire $\displaystyle a_n = 
\dfrac{1}{\pi} \int_{- \pi}^{\pi} f(t) \cos (nt) \mathrm{d}t$ 
et comme $f$ est paire, $t \longmapsto f(t) \cos (nt)$ est également paire donc
 $\displaystyle a_n 
= \dfrac{2}{\pi} \int_0^{\pi} f(t) \cos (nt) \mathrm{d}t$. On a~:

\vspace{1mm}

\begin{align*}
\frac{\pi a_n}{2} 
           &= \int_0^{\alpha} 1 \cos(nt) \mathrm{d}t 
            + \int_{\alpha}^{\pi - \alpha} 0 \cos(nt) \mathrm{d}t
            + \int_{\pi - \alpha}^{\pi} (- 1) \cos(nt) \mathrm{d}t \\
           &= \bigg[\frac{1}{n} \sin(nt)\bigg]_0^{\alpha} 
            + 0
            - \bigg[\frac{1}{n} \sin(nt)\bigg]_{\pi - \alpha}^{\pi} \\        
           &= \frac{1}{n} (\sin(n \alpha) - \sin 0) 
            - \frac{1}{n} \left(\sin(n \pi) - \sin (n\pi - n\alpha) \right) \\
           &= \frac{1}{n} \left(\sin(n \alpha) + \sin (n\pi - n\alpha) \right).
\end{align*}
Or $\sin (n\pi - n\alpha) 
                  = \sin(n \pi) \cos(n \alpha) - \cos(n \pi) \sin (n \alpha) 
                  = - (- 1)^n \sin(n \alpha)$ donc, pout tout entier 
$n \geqslant 1$, $\dfrac{\pi a_n}{2} = 
\dfrac{1}{n} \left[\sin(n \alpha) - (- 1)^n \sin(n \alpha)\right)$, 
soit $a_n = \dfrac{2}{n \pi} \left[1 - (- 1)^n\right]\sin(n \alpha)$. 
\end{enumerate}

\vspace{1mm}

\item
\emph{Valeur ${\alpha}_0$ de $\alpha$ pour laquelle $a_3 = 0$}

$a_3 = \dfrac{2}{3 \pi} \left[1 - (- 1)^3\right]\sin(3 \alpha) 
     = \dfrac{4}{3 \pi} \sin(3 \alpha)$.

$a_3 = 0$ si et seulement si $3 \alpha = k \pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$ d'où 
$\alpha = \dfrac{k \pi}{3}$, comme $0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$ on a $k = 1$ 
donc ${\alpha}_0 = \dfrac{\pi}{3}$.

\item
\begin{enumerate}[a.]
\item
\emph{Calcul de $F^2$}
\begin{align*}
F^2 &= \frac{1}{2 \pi} \int_{- \pi}^{\pi} f^2(t) \mathrm{d}t \\
    &= \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} f^2(t) \mathrm{d}t \text{~~car $f^2$ est 
                                         paire puisque $f$ l'est également,} \\
    &= \frac{1}{\pi} \left[ \int_0^{\frac{\pi}{3}} 1^2 \mathrm{d}t 
     + \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2 \pi}{3}} 0^2 \mathrm{d}t
     + \int_{\frac{2 \pi}{3}}^{\pi} (- 1)^2 \mathrm{d}t \right] \\
    &= \frac{1}{\pi} \left[ \int_0^{\frac{\pi}{3}} \mathrm{d}t 
     + \int_{\frac{2 \pi}{3}}^{\pi} \mathrm{d}t \right] \\
    &= \frac{1}{\pi} \left[\left(\frac{\pi}{3} - 0 \right)
     + \left(\pi - \frac{2 \pi}{3} \right) \right] \\
    &= \frac{1}{\pi} \left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} \right) 
                                            \text{~~donc~~} F^2 = \dfrac{2}{3}. 
\end{align*}
\item
\emph{Calcul de $g(t)$}

$g(t) = a_0 + a_1 \cos(t) + b_1 \sin(t) + a_2 \cos(2t) + b_2 \sin(2t)$ avec 
$t \in \mathbb{R}$.

\vspace{1mm}

Or $a_0 = b_1 = b_2 = 0$, 
$a_1 = \dfrac{2}{1 \times \pi} \left[1 - (- 1)^1\right] 
                                     \sin \left(1 \times \dfrac{\pi}{3}\right) 
     = \dfrac{4}{\pi} \sin \left(\dfrac{\pi}{3}\right) 
     = \dfrac{2 \sqrt{3}}{\pi}$ et 

$a_2 = \dfrac{2}{2 \times \pi} \left[1 - (- 1)^2\right] 
                                \sin \left(2 \times \dfrac{\pi}{3}\right) = 0$ 
donc, pour tout $t \in \mathbb{R}$, $g(t) = \dfrac{2 \sqrt{3}}{\pi} \cos (t)$.

\item
\emph{Calcul de $G^2$}

$g$ est périodique de période $2 \pi$, d'où~:
\begin{align*}
G^2 &= \frac{1}{2 \pi} \int_{- \pi}^{\pi} g^2(t) \mathrm{d}t \\
    &= \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} g^2(t) \mathrm{d}t \text{~~car $g^2$ est 
                                         paire puisque $g$ l'est également,} \\
    &= \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} 
                   \left(\frac{2 \sqrt{3}}{\pi} \cos(t)\right)^2 \mathrm{d}t \\
    &= \frac{12}{{\pi}^3} \int_0^{\pi} {\cos}^2(t) \mathrm{d}t \\
    &= \frac{12}{{\pi}^3} \int_0^{\pi} \frac{1 + \cos(2t)}{2} \mathrm{d}t \\
    &= \frac{6}{{\pi}^3} \int_0^{\pi} \left[1 + \cos(2t)\right] \mathrm{d}t \\
    &= \frac{6}{{\pi}^3} \bigg[t + \frac{\sin(2t)}{2}\bigg]_0^{\pi} \\
    &= \frac{6}{{\pi}^3} \times \pi \text{~~donc~~} G^2 = \dfrac{6}{{\pi}^2}. 
\end{align*}

\item
\emph{Calcul de $\dfrac{G^2}{F^2}$}

$\dfrac{G^2}{F^2} = \dfrac{\dfrac{6}{{\pi}^2}}{\dfrac{2}{3}} 
                  = \dfrac{9}{{\pi}^2} = \nombre{0,912}$ à $10^{- 3}$ près.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} -- équations différentielles et %
transformation de \textsc{Laplace}}

\vspace{2mm}

\textbf{Partie A -- résolution de \boldmath{$(E_1)$}~: %
\boldmath{$y''(t) + 4 y(t) = 8$}}

\vspace{1mm}

\begin{enumerate} 
\item
\begin{enumerate}[a.]
\item
\emph{Solution particulière constante de $(E_1)$}

La fonction $x \longmapsto \varphi(t) = k$ (avec $k$ une constante réelle) est 
solution de $(E_1)$ si et seulement si, pour tout $t \in \mathbb{R}$, 
${\varphi}''(t) + 4 \varphi(t) =8$ soit $4 k = 8$ donc $k = 2$. 

Une solution particulière constante de $(E_1)$ est la fonction 
$t \longmapsto \varphi(t) = 2$.

\item
\emph{Solution générale de $(E_1)$}

La solution générale de l'équation sans second membre $y''(t) + 4 y(t) = 0$ est
 la fonction $t \longmapsto A \cos(2t) + B \sin(2t)$, avec $A$ et $B$ deux 
constantes réelles car l'équation caractéristique est $r^2 + 4 = 0$ qui a pour 
solutions $2 i$ et $- 2i$. 

La solution générale de $(E_1)$ est la somme de la solution générale de 
l'équation sans second membre et d'une solution particulière de $(E_1)$, donc la
 solution générale de $(E_1)$ est la fonction $y$ définie sur $\mathbb{R}$ par 
$y(t) = 2 + A \cos(2t) + B \sin(2t)$, $A$ et $B$ étant deux constantes réelles.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}[a.]
\item
\emph{Solution $f$ de $(E_1)$ qui vérifie $f(0) = 0$ et $f'(0) = 0$}

$f$ est solution de $(E_1)$ donc, pour tout $t \in \mathbb{R}$, 
$f(t) = 2 + A \cos(2t) + B \sin(2t)$.

$f(0) = 0$ si et seulement si $2 + A = 0$ soit $A = - 2$.

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout $t \in \mathbb{R}$, 
$f'(t) = - 2A \sin(2t) + 2B \cos(2t)$.

$f'(0) = 0$ si et seulement si $2B = 0$ soit $B = 0$.

Donc, pour tout $t \in \mathbb{R}$, 
$f(t) = 2 - 2 \cos(2t) = 2 \left[1 - \cos(2t)\right]$.  

\item
\emph{Période, minimum et maximum de $f$}

La pulsation de $f$ est $\omega = 2$ donc sa période est 
$T = \dfrac{2 \pi}{\omega} = \dfrac{2 \pi}{2} = \pi$.

\vspace{1mm}

Pour tout $t \in \mathbb{R}$, $- 1 \leqslant \cos(2t) \leqslant 1$ d'où, 
$- 1 \leqslant - \cos(2t) \leqslant 1$, soit 
$0 \leqslant 1 - \cos(2t) \leqslant 2$, donc 
$0 \leqslant f(t) \leqslant 4$. La fonction $f$ a donc pour minimum $0$ et pour
 maximum $4$.

Le minimum est atteint en $0 \pmod{\pi}$ et le maximum est atteint en 
$\dfrac{\pi}{2} \pmod{\pi}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{2mm}

\textbf{Partie B -- résolution de \boldmath{$(E_2)$}~: %
\boldmath{$g''(t) + 4 g(t) = 8 \left[\mathscr{U} (t) - 
            \mathscr{U} \left(t -\dfrac{\pi}{2}\right) + \mathscr{U} (t - \pi) 
                    - \mathscr{U} \left(t - \dfrac{3 \pi}{2}\right) \right]$}}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[a.]
\item
\emph{Représentation sur $[0 ~ ; ~ 2 \pi]$ de 
$t \longmapsto e(t) = 8 \left[\mathscr{U} (t) - 
            \mathscr{U} \left(t -\dfrac{\pi}{2}\right) + \mathscr{U} (t - \pi) 
                    - \mathscr{U} \left(t - \dfrac{3 \pi}{2}\right) \right]$}

On obtient facilement $e(t) = \left\{ \begin{array}{c@{~~}l@{~~}l}
0 & \text{si} & t < 0 \text{~~ou~~} \dfrac{\pi}{2} \leqslant t < \pi 
                    \text{~~ou~~} t > \dfrac{3 \pi}{2} \\
8 & \text{si} & 0 \leqslant t < \dfrac{\pi}{2} 
                    \text{~~ou~~} \pi \leqslant t < \dfrac{3 \pi}{2} 
\end{array}
\right.$.

\item
\emph{Calcul de $\mathscr{E}(p)$}

Pour tout $p > 0$, ${\mathscr{L}}\left(\mathscr{U}(t)\right) = \dfrac{1}{p}$, 
${\mathscr{L}}\left(\mathscr{U}\left(t - \frac{\pi}{2}\right)\right) = 
                                              \dfrac{1}{p} e^{- \frac{\pi p}{2}}$,
${\mathscr{L}}\left(\mathscr{U}\left(t - \pi\right)\right) = 
                                                    \dfrac{1}{p} e^{- \pi p}$ et 
${\mathscr{L}}\left(\mathscr{U}\left(t - \frac{\pi}{2}\right)\right) = 
                                            \dfrac{1}{p} e^{- \frac{3 \pi p}{2}}$.

D'après la linéarité de la transformation de \textsc{Laplace}, 
$\mathscr{E}(p) = \dfrac{8}{p} \left[ 1 - e^{- \frac{\pi p}{2}} + e^{- \pi p} 
                                              - e^{- \frac{3 \pi p}{2}} \right]$. 
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}[a.]
\item
\emph{Calcul de $G(p)$}

${\mathscr{L}}\left(g''(t)\right) = p^2 G(p) - p g(0) - g'(0) = p^2 G(p)$ car 
$g(0) = g'(0) = 0$.
 
\vspace{1mm}

${\mathscr{L}}\left(g''(t) + 4 g(t)\right) = p^2 G(p) + 4 G(p) 
                                           = \left(p^2 + 4\right) G(p)$, 
d'après la linéarité.

Or, $g''(t) + 4 g(t) = e(t)$ donc $\left(p^2 + 4 \right)G(p) = \mathscr{E}(p)$ 
soit $G(p) = \dfrac{1}{p^2 + 4} \mathscr{E}(p)$.

Finalement, pour tout $p > 0$, 
$G(p) = \dfrac{8}{p \left(p^2 + 4\right)} 
    \left[ 1 - e^{- \frac{\pi p}{2}} + e^{- \pi p} - e^{- \frac{3 \pi p}{2}} \right]$.

\item
\emph{Transformée de \textsc{Laplace} $H$ de $h$}

Pour tout $t \in \mathbb{R}$, 
$h(t) = 2 \left[1 - \cos(2t)\right] \mathscr{U}(t) 
      = 2 \mathscr{U}(t) - 2 \cos(2t) \mathscr{U}(t)$. En utilisant la 
linéarité~:
\begin{displaymath}
H(p) = \frac{2}{p} - 2 \times \frac{p}{p^2 + 2^2} 
     = \frac{2 \left(p^2 + 4\right) - 2 p^2}{p \left( p^2 + 4 \right)},
\text{~donc, pour tout $p > 0$,~} H(p) = \frac{8}{p \left( p^2 + 4 \right)}.
\end{displaymath}

\item
\emph{Expression de $g$}

Pour tout $p > 0$~:
\begin{displaymath}
G(p) = H(p) \times 
     \left[ 1 - e^{- \frac{\pi p}{2}} + e^{- \pi p} - e^{- \frac{3 \pi p}{2}} \right] 
     = H(p) -  H(p) e^{- \frac{\pi p}{2}} + H(p) e^{- \pi p} 
                                                 - H(p) e^{- \frac{3 \pi p}{2}},
\end{displaymath} 
donc, pour tout $t \in \mathbb{R}$, 
$g(t) = h(t) - h \left(t - \dfrac{\pi}{2}\right) + h(t - \pi) 
      - h \left(t - \dfrac{3 \pi}{2}\right)$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}[a.]
\item
\emph{Expressions de $g(t)$ sur $\left[0 ~ ; ~ \dfrac{\pi}{2}\right[$ et sur %
$\left[\pi ~ ; ~ \dfrac{3 \pi}{2}\right[$}

\vspace{1mm}

Pour tout $t \in \left[0 ~ ; ~ \dfrac{\pi}{2}\right[$, 
$h(t) = 2 \left[1 - \cos (2t)\right]$ et 
$h \left(t - \dfrac{\pi}{2} \right) = h(t - \pi) 
                                    = h \left(t - \dfrac{3 \pi}{2}\right) = 0$.
 
\vspace{1mm}

Donc, pour tout $t \in \left[0 ~ ; ~ \dfrac{\pi}{2}\right[$, 
$g(t) = 2 \left[1 - \cos (2t)\right]$.  

\vspace{2mm}

Pour tout $t \in \left[\pi ~ ; ~ \dfrac{3 \pi}{2}\right[$, 
$h(t) = 2 \left[1 - \cos (2t)\right]$, 
$h \left(t - \dfrac{\pi}{2} \right) = 2 \left[1 - \cos (2t - \pi)\right] 
                                    = 2 \left[1 + \cos (2t)\right]$,
$h(t - \pi) = 2 \left[1 - \cos (2t - 2 \pi)\right] 
            = 2 \left[1 - \cos (2t)\right]$ et 
$h \left(t - \dfrac{3 \pi}{2}\right) = 0$.
 
\vspace{1mm}

Donc, pour tout $t \in \left[\pi ~ ; ~ \dfrac{3 \pi}{2}\right[$~:
\begin{displaymath} 
g(t) = 2 \left[1 - \cos (2t)\right] - 2 \left[1 + \cos (2t)\right] 
     + 2 \left[1 - \cos (2t)\right]
     = 2 - 2 \cos (2t) - 2 - 2 \cos (2t) + 2 - 2 \cos (2t).
\end{displaymath}

Finalement, pour tout $t \in \left[\pi ~ ; ~ \dfrac{3 \pi}{2}\right[$, 
$g(t) = 2 - 6 \cos (2t)$.

On peut donc écrire~:
\begin{displaymath}
g(t) = \left\{ \begin{array}{c@{~~}l@{~~}l}
     0         & \text{si} & t < 0 \\
2 - 2 \cos(2t) & \text{si} & 0 \leqslant t < \dfrac{\pi}{2} \\
 - 4 \cos(2t)  & \text{si} & \dfrac{\pi}{2} \leqslant t < \pi \\
2 - 8 \cos(2t) & \text{si} & \pi \leqslant t < \dfrac{3 \pi}{2} \\
 - 8 \cos(2t)  & \text{si} & t \geqslant \dfrac{3 \pi}{2}
\end{array} 
\right..
\end{displaymath}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\fbox{\Large \textbf{Représentations graphiques}}
\end{center}

\vspace{4mm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\vspace{3mm}

\fbox{Représentation de $f$ sur $\left[-2 \pi ~ ; ~ 2 \pi \right]$} 

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-7.5,-2.4)(7.5,2.4)
\psset{xunit=1.0471975511965976cm,yunit=1cm}
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-6.68,-1.5)%
(6.68,1.5)
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt,%
linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt,arrowinset=0.25}
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,labels=y,Dx=1.05,Dy=1,ticksize=-2pt,subticks=2]%
{->}(0,0)(-7.6,-2.4)(7.6,2.4)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{*-*}(-6.28,1)(-5.24,1)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{>-<}(-5.24,0)(-4.19,0)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{*-*}(-2.09,-1)(-4.19,-1)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{>-<}(-2.09,0)(-1.05,0)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{*-*}(-1.05,1)(1.05,1)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{>-<}(1.05,0)(2.09,0)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{*-*}(2.09,-1)(4.19,-1)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{>-<}(4.19,0)(5.24,0)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{*-*}(5.24,1)(6.28,1)
\uput[d](-6.28,0){$- 2 \pi$}
\uput[d](-3.14,0){$- \pi$}
\uput[d](-0.2,0){$0$}
\uput[d](3.14,0){$\pi$}
\uput[d](6.28,0){$2 \pi$}
\uput[d](7.5,0){$t$}
\uput[r](0,2.3){$f(t)$}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{4mm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\vspace{3mm}

\fbox{Partie A -- représentation de $f$ sur %
$\left[0 ~ ; ~ 2 \pi \right]$} 

\vspace{3mm}

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.3,-0.7)(7,4.7)
\psset{xunit=3.141592653589793cm,yunit=2cm}
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-0.1,-0.35)%
(2.23,2.35)
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt,%
linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt,arrowinset=0.25}
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=3.14,Dy=2,ticksize=-2pt,subticks=2,labels=y]%
{->}(0,0)(-0.3,-0.7)(7,4.7)
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red,plotpoints=200]{0.0}{6.283185307179586}%
{2*(1-cos(2*x))}
\uput[d](-0.2,0){$0$}
\uput[d](3.14,0){$\pi$}
\uput[d](6.28,0){$2 \pi$}
\uput[d](6.9,0){$t$}
\uput[r](0,4.6){$f(t)$}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{4mm}

\fbox{Partie B -- représentation de $e$ sur $[0 ~ ; ~ 2 \pi]$}

\vspace{3mm}

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-0.7,-1.6)(7.7,9.1)
\psset{xunit=1.570796327cm,yunit=2cm}
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-0.1,-0.35)%
(4.2,2.2)
\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt,%
linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt,arrowinset=0.25}
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.57,Dy=4,ticksize=-2pt,subticks=2,labels=y]%
{->}(0,0)(-0.7,-1.6)(7.7,9.1)
\psline[linewidth=1.6pt,linecolor=blue]{*-<}(0,8)(1.57,8)
\psline[linewidth=1.6pt,linecolor=blue]{*-<}(1.57,0)(3.14,0)
\psline[linewidth=1.6pt,linecolor=blue]{*-<}(3.14,8)(4.71,8)
\psline[linewidth=1.6pt,linecolor=blue]{*-<}(4.71,0)(6.28,0)
\uput[d](-0.2,0){$0$}
\uput[d](1.57,0){$\dfrac{\pi}{2}$}
\uput[d](3.14,0){$\pi$}
\uput[d](4.71,0){$\dfrac{3 \pi}{2}$}
\uput[d](6.28,0){$2 \pi$}
\uput[d](7.5,0){$t$}
\uput[r](0,8.9){$e(t)$}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\fbox{Partie B -- représentation de $g$ sur %
$\left[0 ~ ; ~ \dfrac{5 \pi}{2}\right]$} 

\vspace{3mm}

\begin{center}
\psset{xunit=1.5707963267948966cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture}(-2.2,-5)(6.5,4.4)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1.57,-4.87)%
(5.91,4.37)
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt,%
linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt,arrowinset=0.25}
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.57,Dy=2,ticksize=-2pt,subticks=2,labels=y]%
{->}(0,0)(-3.3,-9.99)(10.2,8.75)
\uput[d](-3.14,0){$- \pi$}
\uput[d](-1.57,0){$- \dfrac{\pi}{2}$}
\uput[d](-0.2,0){$0$}
\uput[d](1.57,0){$\dfrac{\pi}{2}$}
\uput[d](3.14,0){$\pi$}
\uput[d](4.71,0){$\dfrac{3 \pi}{2}$}
\uput[d](6.28,0){$2 \pi$}
\uput[d](7.85,0){$\dfrac{5 \pi}{2}$}
\uput[d](9.42,0){$3 \pi$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000,linewidth=1.5pt]{1.5707963267948966}%
{3.141592653589793}{-4*cos(2*x)}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000,linewidth=1.5pt]{4.71238898038469}%
{7.853981633974483}{-8*cos(2*x)}
\psplot[linecolor=red,plotpoints=2000,linewidth=1.5pt]{0.0}{1.5707963267948966}%
{2-2*cos(2*x)}
\psplot[linecolor=red,plotpoints=2000,linewidth=1.5pt]{3.141592653589793}%
{4.71238898038469}{2-6*cos(2*x)}
\uput[d](10.1,0){$t$}
\uput[r](0,8.6){$g(t)$}
\end{pspicture}
\end{center}
\label{fin}
\end{document}