\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage[a4paper,nomarginpar,tmargin=2.4cm,bmargin=2.4cm,lmargin=2cm,% rmargin=2cm,head=5mm]{geometry} \usepackage{amsmath,amssymb} %\usepackage{palatino,euler} \usepackage{mathrsfs} % extension utilisée pour les polices cursives \usepackage{enumerate} \usepackage{fancyhdr} % en-tête et pied de page \fancyhead{} \fancyhead[L]{Corrigé du BTS, groupement A, Nouvelle-Calédonie, novembre 2008} \fancyhead[R]{Page {\thepage} sur~\pageref{fin}} \fancyfoot{} \fancyfoot[L]{\footnotesize Jérôme \textsc{Challier}} \fancyfoot[R]{\footnotesize Lycée Charles \textsc{Poncet} -- CLUSES} \renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt} % filet séparant l'en-tête \renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} % filet séparant le bas de page \pagestyle{fancy} \fancypagestyle{plain}{% % en-tête (vide) et pied de la première page \fancyhf{}% \fancyfoot[L]{\footnotesize Jérôme \textsc{Challier}} \fancyfoot[R]{\footnotesize Lycée Charles \textsc{Poncet} -- CLUSES} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}} %%%%%%%%%%%%%%%%% Instructions spéciales pour les fichiers pdf %%%%%%%%%%%%%%%% \usepackage[ps2pdf,pdfstartview=FitH,bookmarks=false,linkcolor=black,% pdfborder={0 0 0}]{hyperref} \hypersetup{% % Utilisation de HyperTeX pdfauthor = {Jérôme CHALLIER},% pdftitle = {Corrigé du BTS, groupement A, Nouvelle-Calédonie, % novembre 2008},% pdfsubject = {Séries de Fourier, transformation de Laplace},% pdfkeywords = {},% pdfcreator = {LaTeX (GNU/Linux Debian Sarge 3.1r1) avec les extensions % HyperTeX et PS-Tricks},% pdfproducer = {dvips(k) 5.92b - GPL Ghostscript 8.01 (2004-01-30)}}% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Suite du préambule %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \usepackage{pstricks,pstricks-add,pst-math} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \title{Corrigé du BTS, groupement A, Nouvelle-Calédonie, novembre 2008} \author{Jérôme \textsc{Challier}} \date{3 avril 2009} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Texte du document %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} \lhead{\small{CAPLP externe 2013}} \thispagestyle{plain} \begin{center} \Large{\textbf{\fbox{Corrigé du BTS, groupement A, Nouvelle-Calédonie, % novembre 2008}}} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} -- séries de \textsc{Fourier}} \medskip \fbox{$f(t) = \left\{ \begin{array}{c@{~~}l@{~~}l} 1 & \text{si} & 0 \leqslant t \leqslant \alpha \\ 0 & \text{si} & \alpha < t < \pi - \alpha \\ - 1 & \text{si} & \pi - \alpha \leqslant t \leqslant \pi \end{array} \right.$ avec $0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$ et $f$ paire et périodique de période $2 \pi$ .} \medskip \begin{enumerate} \item \emph{Représentation de $f$ sur $[- 2\pi~;~2\pi]$ lorsque % $\alpha = \dfrac{\pi}{3}$} Pour $\alpha = \dfrac{\pi}{3}$ on a $f(t) = \left\{ \begin{array}{c@{~~}l@{~~}l} 1 & \text{si} & 0 \leqslant t \leqslant \frac{\pi}{3} \\[2mm] 0 & \text{si} & \frac{\pi}{3} < t < \frac{2 \pi}{3} \\[2mm] - 1 & \text{si} & \frac{2 \pi}{3} - \alpha \leqslant t \leqslant \pi \end{array} \right.$. \item \begin{enumerate}[a.] \item \emph{Calcul de $a_0$} D'après le formulaire $\displaystyle a_0 = \dfrac{1}{2 \pi} \int_{- \pi}^{\pi} f(t) \mathrm{d}t$ et comme $f$ est paire, $\displaystyle a_0 = \dfrac{1}{\pi} \int_0^{\pi} f(t) \mathrm{d}t$, d'où~: \begin{displaymath} a_0 = \dfrac{1}{\pi} \left[ \int_0^{\alpha} 1 \mathrm{d}t + \int_{\alpha}^{\pi - \alpha} 0 \, \mathrm{d}t + \int_{\pi - \alpha}^{\pi} (- 1) \mathrm{d}t \right] = \dfrac{1}{\pi} \left[\alpha - 0 - ( \pi - (\pi - \alpha)) \right] = \dfrac{1}{\pi} (\alpha - \pi + \pi - \alpha) = 0. \end{displaymath} \vspace{1mm} \item \emph{Valeur de $b_n$ pour tout entier $n \geqslant 1$} \vspace{1mm} D'après le formulaire $\displaystyle b_n = \dfrac{1}{\pi} \int_{- \pi}^{\pi} f(t) \sin (nt) \mathrm{d}t$. Comme $f$ est paire, $t \longmapsto f(t) \sin (nt)$ est impaire donc $\displaystyle \int_{- \pi}^{\pi} f(t) \sin (nt) \mathrm{d}t = 0$, d'où, pour tout entier $n \geqslant 1$, $b_n = 0$. \vspace{1mm} \item \emph{Calcul de $a_n$ pour tout entier $n \geqslant 1$} D'après le formulaire $\displaystyle a_n = \dfrac{1}{\pi} \int_{- \pi}^{\pi} f(t) \cos (nt) \mathrm{d}t$ et comme $f$ est paire, $t \longmapsto f(t) \cos (nt)$ est également paire donc $\displaystyle a_n = \dfrac{2}{\pi} \int_0^{\pi} f(t) \cos (nt) \mathrm{d}t$. On a~: \vspace{1mm} \begin{align*} \frac{\pi a_n}{2} &= \int_0^{\alpha} 1 \cos(nt) \mathrm{d}t + \int_{\alpha}^{\pi - \alpha} 0 \cos(nt) \mathrm{d}t + \int_{\pi - \alpha}^{\pi} (- 1) \cos(nt) \mathrm{d}t \\ &= \bigg[\frac{1}{n} \sin(nt)\bigg]_0^{\alpha} + 0 - \bigg[\frac{1}{n} \sin(nt)\bigg]_{\pi - \alpha}^{\pi} \\ &= \frac{1}{n} (\sin(n \alpha) - \sin 0) - \frac{1}{n} \left(\sin(n \pi) - \sin (n\pi - n\alpha) \right) \\ &= \frac{1}{n} \left(\sin(n \alpha) + \sin (n\pi - n\alpha) \right). \end{align*} Or $\sin (n\pi - n\alpha) = \sin(n \pi) \cos(n \alpha) - \cos(n \pi) \sin (n \alpha) = - (- 1)^n \sin(n \alpha)$ donc, pout tout entier $n \geqslant 1$, $\dfrac{\pi a_n}{2} = \dfrac{1}{n} \left[\sin(n \alpha) - (- 1)^n \sin(n \alpha)\right)$, soit $a_n = \dfrac{2}{n \pi} \left[1 - (- 1)^n\right]\sin(n \alpha)$. \end{enumerate} \vspace{1mm} \item \emph{Valeur ${\alpha}_0$ de $\alpha$ pour laquelle $a_3 = 0$} $a_3 = \dfrac{2}{3 \pi} \left[1 - (- 1)^3\right]\sin(3 \alpha) = \dfrac{4}{3 \pi} \sin(3 \alpha)$. $a_3 = 0$ si et seulement si $3 \alpha = k \pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$ d'où $\alpha = \dfrac{k \pi}{3}$, comme $0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$ on a $k = 1$ donc ${\alpha}_0 = \dfrac{\pi}{3}$. \item \begin{enumerate}[a.] \item \emph{Calcul de $F^2$} \begin{align*} F^2 &= \frac{1}{2 \pi} \int_{- \pi}^{\pi} f^2(t) \mathrm{d}t \\ &= \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} f^2(t) \mathrm{d}t \text{~~car $f^2$ est paire puisque $f$ l'est également,} \\ &= \frac{1}{\pi} \left[ \int_0^{\frac{\pi}{3}} 1^2 \mathrm{d}t + \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2 \pi}{3}} 0^2 \mathrm{d}t + \int_{\frac{2 \pi}{3}}^{\pi} (- 1)^2 \mathrm{d}t \right] \\ &= \frac{1}{\pi} \left[ \int_0^{\frac{\pi}{3}} \mathrm{d}t + \int_{\frac{2 \pi}{3}}^{\pi} \mathrm{d}t \right] \\ &= \frac{1}{\pi} \left[\left(\frac{\pi}{3} - 0 \right) + \left(\pi - \frac{2 \pi}{3} \right) \right] \\ &= \frac{1}{\pi} \left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} \right) \text{~~donc~~} F^2 = \dfrac{2}{3}. \end{align*} \item \emph{Calcul de $g(t)$} $g(t) = a_0 + a_1 \cos(t) + b_1 \sin(t) + a_2 \cos(2t) + b_2 \sin(2t)$ avec $t \in \mathbb{R}$. \vspace{1mm} Or $a_0 = b_1 = b_2 = 0$, $a_1 = \dfrac{2}{1 \times \pi} \left[1 - (- 1)^1\right] \sin \left(1 \times \dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{4}{\pi} \sin \left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{2 \sqrt{3}}{\pi}$ et $a_2 = \dfrac{2}{2 \times \pi} \left[1 - (- 1)^2\right] \sin \left(2 \times \dfrac{\pi}{3}\right) = 0$ donc, pour tout $t \in \mathbb{R}$, $g(t) = \dfrac{2 \sqrt{3}}{\pi} \cos (t)$. \item \emph{Calcul de $G^2$} $g$ est périodique de période $2 \pi$, d'où~: \begin{align*} G^2 &= \frac{1}{2 \pi} \int_{- \pi}^{\pi} g^2(t) \mathrm{d}t \\ &= \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} g^2(t) \mathrm{d}t \text{~~car $g^2$ est paire puisque $g$ l'est également,} \\ &= \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} \left(\frac{2 \sqrt{3}}{\pi} \cos(t)\right)^2 \mathrm{d}t \\ &= \frac{12}{{\pi}^3} \int_0^{\pi} {\cos}^2(t) \mathrm{d}t \\ &= \frac{12}{{\pi}^3} \int_0^{\pi} \frac{1 + \cos(2t)}{2} \mathrm{d}t \\ &= \frac{6}{{\pi}^3} \int_0^{\pi} \left[1 + \cos(2t)\right] \mathrm{d}t \\ &= \frac{6}{{\pi}^3} \bigg[t + \frac{\sin(2t)}{2}\bigg]_0^{\pi} \\ &= \frac{6}{{\pi}^3} \times \pi \text{~~donc~~} G^2 = \dfrac{6}{{\pi}^2}. \end{align*} \item \emph{Calcul de $\dfrac{G^2}{F^2}$} $\dfrac{G^2}{F^2} = \dfrac{\dfrac{6}{{\pi}^2}}{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{9}{{\pi}^2} = \nombre{0,912}$ à $10^{- 3}$ près. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2} -- équations différentielles et % transformation de \textsc{Laplace}} \vspace{2mm} \textbf{Partie A -- résolution de \boldmath{$(E_1)$}~: % \boldmath{$y''(t) + 4 y(t) = 8$}} \vspace{1mm} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate}[a.] \item \emph{Solution particulière constante de $(E_1)$} La fonction $x \longmapsto \varphi(t) = k$ (avec $k$ une constante réelle) est solution de $(E_1)$ si et seulement si, pour tout $t \in \mathbb{R}$, ${\varphi}''(t) + 4 \varphi(t) =8$ soit $4 k = 8$ donc $k = 2$. Une solution particulière constante de $(E_1)$ est la fonction $t \longmapsto \varphi(t) = 2$. \item \emph{Solution générale de $(E_1)$} La solution générale de l'équation sans second membre $y''(t) + 4 y(t) = 0$ est la fonction $t \longmapsto A \cos(2t) + B \sin(2t)$, avec $A$ et $B$ deux constantes réelles car l'équation caractéristique est $r^2 + 4 = 0$ qui a pour solutions $2 i$ et $- 2i$. La solution générale de $(E_1)$ est la somme de la solution générale de l'équation sans second membre et d'une solution particulière de $(E_1)$, donc la solution générale de $(E_1)$ est la fonction $y$ définie sur $\mathbb{R}$ par $y(t) = 2 + A \cos(2t) + B \sin(2t)$, $A$ et $B$ étant deux constantes réelles. \end{enumerate} \item \begin{enumerate}[a.] \item \emph{Solution $f$ de $(E_1)$ qui vérifie $f(0) = 0$ et $f'(0) = 0$} $f$ est solution de $(E_1)$ donc, pour tout $t \in \mathbb{R}$, $f(t) = 2 + A \cos(2t) + B \sin(2t)$. $f(0) = 0$ si et seulement si $2 + A = 0$ soit $A = - 2$. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout $t \in \mathbb{R}$, $f'(t) = - 2A \sin(2t) + 2B \cos(2t)$. $f'(0) = 0$ si et seulement si $2B = 0$ soit $B = 0$. Donc, pour tout $t \in \mathbb{R}$, $f(t) = 2 - 2 \cos(2t) = 2 \left[1 - \cos(2t)\right]$. \item \emph{Période, minimum et maximum de $f$} La pulsation de $f$ est $\omega = 2$ donc sa période est $T = \dfrac{2 \pi}{\omega} = \dfrac{2 \pi}{2} = \pi$. \vspace{1mm} Pour tout $t \in \mathbb{R}$, $- 1 \leqslant \cos(2t) \leqslant 1$ d'où, $- 1 \leqslant - \cos(2t) \leqslant 1$, soit $0 \leqslant 1 - \cos(2t) \leqslant 2$, donc $0 \leqslant f(t) \leqslant 4$. La fonction $f$ a donc pour minimum $0$ et pour maximum $4$. Le minimum est atteint en $0 \pmod{\pi}$ et le maximum est atteint en $\dfrac{\pi}{2} \pmod{\pi}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{2mm} \textbf{Partie B -- résolution de \boldmath{$(E_2)$}~: % \boldmath{$g''(t) + 4 g(t) = 8 \left[\mathscr{U} (t) - \mathscr{U} \left(t -\dfrac{\pi}{2}\right) + \mathscr{U} (t - \pi) - \mathscr{U} \left(t - \dfrac{3 \pi}{2}\right) \right]$}} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate}[a.] \item \emph{Représentation sur $[0 ~ ; ~ 2 \pi]$ de $t \longmapsto e(t) = 8 \left[\mathscr{U} (t) - \mathscr{U} \left(t -\dfrac{\pi}{2}\right) + \mathscr{U} (t - \pi) - \mathscr{U} \left(t - \dfrac{3 \pi}{2}\right) \right]$} On obtient facilement $e(t) = \left\{ \begin{array}{c@{~~}l@{~~}l} 0 & \text{si} & t < 0 \text{~~ou~~} \dfrac{\pi}{2} \leqslant t < \pi \text{~~ou~~} t > \dfrac{3 \pi}{2} \\ 8 & \text{si} & 0 \leqslant t < \dfrac{\pi}{2} \text{~~ou~~} \pi \leqslant t < \dfrac{3 \pi}{2} \end{array} \right.$. \item \emph{Calcul de $\mathscr{E}(p)$} Pour tout $p > 0$, ${\mathscr{L}}\left(\mathscr{U}(t)\right) = \dfrac{1}{p}$, ${\mathscr{L}}\left(\mathscr{U}\left(t - \frac{\pi}{2}\right)\right) = \dfrac{1}{p} e^{- \frac{\pi p}{2}}$, ${\mathscr{L}}\left(\mathscr{U}\left(t - \pi\right)\right) = \dfrac{1}{p} e^{- \pi p}$ et ${\mathscr{L}}\left(\mathscr{U}\left(t - \frac{\pi}{2}\right)\right) = \dfrac{1}{p} e^{- \frac{3 \pi p}{2}}$. D'après la linéarité de la transformation de \textsc{Laplace}, $\mathscr{E}(p) = \dfrac{8}{p} \left[ 1 - e^{- \frac{\pi p}{2}} + e^{- \pi p} - e^{- \frac{3 \pi p}{2}} \right]$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate}[a.] \item \emph{Calcul de $G(p)$} ${\mathscr{L}}\left(g''(t)\right) = p^2 G(p) - p g(0) - g'(0) = p^2 G(p)$ car $g(0) = g'(0) = 0$. \vspace{1mm} ${\mathscr{L}}\left(g''(t) + 4 g(t)\right) = p^2 G(p) + 4 G(p) = \left(p^2 + 4\right) G(p)$, d'après la linéarité. Or, $g''(t) + 4 g(t) = e(t)$ donc $\left(p^2 + 4 \right)G(p) = \mathscr{E}(p)$ soit $G(p) = \dfrac{1}{p^2 + 4} \mathscr{E}(p)$. Finalement, pour tout $p > 0$, $G(p) = \dfrac{8}{p \left(p^2 + 4\right)} \left[ 1 - e^{- \frac{\pi p}{2}} + e^{- \pi p} - e^{- \frac{3 \pi p}{2}} \right]$. \item \emph{Transformée de \textsc{Laplace} $H$ de $h$} Pour tout $t \in \mathbb{R}$, $h(t) = 2 \left[1 - \cos(2t)\right] \mathscr{U}(t) = 2 \mathscr{U}(t) - 2 \cos(2t) \mathscr{U}(t)$. En utilisant la linéarité~: \begin{displaymath} H(p) = \frac{2}{p} - 2 \times \frac{p}{p^2 + 2^2} = \frac{2 \left(p^2 + 4\right) - 2 p^2}{p \left( p^2 + 4 \right)}, \text{~donc, pour tout $p > 0$,~} H(p) = \frac{8}{p \left( p^2 + 4 \right)}. \end{displaymath} \item \emph{Expression de $g$} Pour tout $p > 0$~: \begin{displaymath} G(p) = H(p) \times \left[ 1 - e^{- \frac{\pi p}{2}} + e^{- \pi p} - e^{- \frac{3 \pi p}{2}} \right] = H(p) - H(p) e^{- \frac{\pi p}{2}} + H(p) e^{- \pi p} - H(p) e^{- \frac{3 \pi p}{2}}, \end{displaymath} donc, pour tout $t \in \mathbb{R}$, $g(t) = h(t) - h \left(t - \dfrac{\pi}{2}\right) + h(t - \pi) - h \left(t - \dfrac{3 \pi}{2}\right)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate}[a.] \item \emph{Expressions de $g(t)$ sur $\left[0 ~ ; ~ \dfrac{\pi}{2}\right[$ et sur % $\left[\pi ~ ; ~ \dfrac{3 \pi}{2}\right[$} \vspace{1mm} Pour tout $t \in \left[0 ~ ; ~ \dfrac{\pi}{2}\right[$, $h(t) = 2 \left[1 - \cos (2t)\right]$ et $h \left(t - \dfrac{\pi}{2} \right) = h(t - \pi) = h \left(t - \dfrac{3 \pi}{2}\right) = 0$. \vspace{1mm} Donc, pour tout $t \in \left[0 ~ ; ~ \dfrac{\pi}{2}\right[$, $g(t) = 2 \left[1 - \cos (2t)\right]$. \vspace{2mm} Pour tout $t \in \left[\pi ~ ; ~ \dfrac{3 \pi}{2}\right[$, $h(t) = 2 \left[1 - \cos (2t)\right]$, $h \left(t - \dfrac{\pi}{2} \right) = 2 \left[1 - \cos (2t - \pi)\right] = 2 \left[1 + \cos (2t)\right]$, $h(t - \pi) = 2 \left[1 - \cos (2t - 2 \pi)\right] = 2 \left[1 - \cos (2t)\right]$ et $h \left(t - \dfrac{3 \pi}{2}\right) = 0$. \vspace{1mm} Donc, pour tout $t \in \left[\pi ~ ; ~ \dfrac{3 \pi}{2}\right[$~: \begin{displaymath} g(t) = 2 \left[1 - \cos (2t)\right] - 2 \left[1 + \cos (2t)\right] + 2 \left[1 - \cos (2t)\right] = 2 - 2 \cos (2t) - 2 - 2 \cos (2t) + 2 - 2 \cos (2t). \end{displaymath} Finalement, pour tout $t \in \left[\pi ~ ; ~ \dfrac{3 \pi}{2}\right[$, $g(t) = 2 - 6 \cos (2t)$. On peut donc écrire~: \begin{displaymath} g(t) = \left\{ \begin{array}{c@{~~}l@{~~}l} 0 & \text{si} & t < 0 \\ 2 - 2 \cos(2t) & \text{si} & 0 \leqslant t < \dfrac{\pi}{2} \\ - 4 \cos(2t) & \text{si} & \dfrac{\pi}{2} \leqslant t < \pi \\ 2 - 8 \cos(2t) & \text{si} & \pi \leqslant t < \dfrac{3 \pi}{2} \\ - 8 \cos(2t) & \text{si} & t \geqslant \dfrac{3 \pi}{2} \end{array} \right.. \end{displaymath} \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \fbox{\Large \textbf{Représentations graphiques}} \end{center} \vspace{4mm} \textbf{\textsc{Exercice 1}} \vspace{3mm} \fbox{Représentation de $f$ sur $\left[-2 \pi ~ ; ~ 2 \pi \right]$} \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=1cm} \begin{pspicture}(-7.5,-2.4)(7.5,2.4) \psset{xunit=1.0471975511965976cm,yunit=1cm} \psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-6.68,-1.5)% (6.68,1.5) \psset{xunit=1cm,yunit=1cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt,% linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt,arrowinset=0.25} \psaxes[xAxis=true,yAxis=true,labels=y,Dx=1.05,Dy=1,ticksize=-2pt,subticks=2]% {->}(0,0)(-7.6,-2.4)(7.6,2.4) \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{*-*}(-6.28,1)(-5.24,1) \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{>-<}(-5.24,0)(-4.19,0) \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{*-*}(-2.09,-1)(-4.19,-1) \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{>-<}(-2.09,0)(-1.05,0) \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{*-*}(-1.05,1)(1.05,1) \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{>-<}(1.05,0)(2.09,0) \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{*-*}(2.09,-1)(4.19,-1) \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{>-<}(4.19,0)(5.24,0) \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{*-*}(5.24,1)(6.28,1) \uput[d](-6.28,0){$- 2 \pi$} \uput[d](-3.14,0){$- \pi$} \uput[d](-0.2,0){$0$} \uput[d](3.14,0){$\pi$} \uput[d](6.28,0){$2 \pi$} \uput[d](7.5,0){$t$} \uput[r](0,2.3){$f(t)$} \end{pspicture} \end{center} \vspace{4mm} \textbf{\textsc{Exercice 2}} \vspace{3mm} \fbox{Partie A -- représentation de $f$ sur % $\left[0 ~ ; ~ 2 \pi \right]$} \vspace{3mm} \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=1cm} \begin{pspicture}(-0.3,-0.7)(7,4.7) \psset{xunit=3.141592653589793cm,yunit=2cm} \psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-0.1,-0.35)% (2.23,2.35) \psset{xunit=1cm,yunit=1cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt,% linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt,arrowinset=0.25} \psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=3.14,Dy=2,ticksize=-2pt,subticks=2,labels=y]% {->}(0,0)(-0.3,-0.7)(7,4.7) \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red,plotpoints=200]{0.0}{6.283185307179586}% {2*(1-cos(2*x))} \uput[d](-0.2,0){$0$} \uput[d](3.14,0){$\pi$} \uput[d](6.28,0){$2 \pi$} \uput[d](6.9,0){$t$} \uput[r](0,4.6){$f(t)$} \end{pspicture} \end{center} \vspace{4mm} \fbox{Partie B -- représentation de $e$ sur $[0 ~ ; ~ 2 \pi]$} \vspace{3mm} \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm} \begin{pspicture}(-0.7,-1.6)(7.7,9.1) \psset{xunit=1.570796327cm,yunit=2cm} \psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-0.1,-0.35)% (4.2,2.2) \psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt,% linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt,arrowinset=0.25} \psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.57,Dy=4,ticksize=-2pt,subticks=2,labels=y]% {->}(0,0)(-0.7,-1.6)(7.7,9.1) \psline[linewidth=1.6pt,linecolor=blue]{*-<}(0,8)(1.57,8) \psline[linewidth=1.6pt,linecolor=blue]{*-<}(1.57,0)(3.14,0) \psline[linewidth=1.6pt,linecolor=blue]{*-<}(3.14,8)(4.71,8) \psline[linewidth=1.6pt,linecolor=blue]{*-<}(4.71,0)(6.28,0) \uput[d](-0.2,0){$0$} \uput[d](1.57,0){$\dfrac{\pi}{2}$} \uput[d](3.14,0){$\pi$} \uput[d](4.71,0){$\dfrac{3 \pi}{2}$} \uput[d](6.28,0){$2 \pi$} \uput[d](7.5,0){$t$} \uput[r](0,8.9){$e(t)$} \end{pspicture} \end{center} \newpage \fbox{Partie B -- représentation de $g$ sur % $\left[0 ~ ; ~ \dfrac{5 \pi}{2}\right]$} \vspace{3mm} \begin{center} \psset{xunit=1.5707963267948966cm,yunit=2cm} \begin{pspicture}(-2.2,-5)(6.5,4.4) \psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1.57,-4.87)% (5.91,4.37) \psset{xunit=1cm,yunit=1cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt,% linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt,arrowinset=0.25} \psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.57,Dy=2,ticksize=-2pt,subticks=2,labels=y]% {->}(0,0)(-3.3,-9.99)(10.2,8.75) \uput[d](-3.14,0){$- \pi$} \uput[d](-1.57,0){$- \dfrac{\pi}{2}$} \uput[d](-0.2,0){$0$} \uput[d](1.57,0){$\dfrac{\pi}{2}$} \uput[d](3.14,0){$\pi$} \uput[d](4.71,0){$\dfrac{3 \pi}{2}$} \uput[d](6.28,0){$2 \pi$} \uput[d](7.85,0){$\dfrac{5 \pi}{2}$} \uput[d](9.42,0){$3 \pi$} \psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000,linewidth=1.5pt]{1.5707963267948966}% {3.141592653589793}{-4*cos(2*x)} \psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000,linewidth=1.5pt]{4.71238898038469}% {7.853981633974483}{-8*cos(2*x)} \psplot[linecolor=red,plotpoints=2000,linewidth=1.5pt]{0.0}{1.5707963267948966}% {2-2*cos(2*x)} \psplot[linecolor=red,plotpoints=2000,linewidth=1.5pt]{3.141592653589793}% {4.71238898038469}{2-6*cos(2*x)} \uput[d](10.1,0){$t$} \uput[r](0,8.6){$g(t)$} \end{pspicture} \end{center} \label{fin} \end{document}