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%Tapuscrit : Denis Vergès
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%echelon unité
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupe A1}}
\rfoot{\small{13 mai 2014}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur\\ session 2014 - groupement A1}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Spécialités :}
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
%\item Contrôle industriel et régulation automatique
%\item Informatique et réseaux pour l'industrie et les services techniques
%\item Systèmes électroniques
\item Électrotechnique
\item Génie optique
%\item Techniques physiques pour l'industrie et le laboratoire
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère la fonction $f$, périodique de période $T$, dont une représentation graphique est donnée par la figure ci-dessous.
 
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=3cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-4,-0.5)(6.2,1.5) 
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.2]{->}(0,0)(-4,-0.5)(6,1.5)
\psline(-4,1)(-3,0)(-2,1)(-1,0)(0,1)(1,0)(2,1)(3,0)(4,1)(5,0)(6,1)(7,0)
\end{pspicture*} 
\end{center}

Le développement en série de Fourier de la fonction $f$ est noté: 
\[a_{0} + \displaystyle\sum_{n\geqslant 1} \left(a_{n} \cos (n \pi t) + b_{n} \sin (n\pi t)\right).\]
  
\begin{enumerate}
\item Cette question est un QCM.
 
Pour chaque affirmation, une seule des propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie.
	\begin{enumerate}
		\item La période $T$ de la fonction $f$ est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}} 
0,5& 1&2&3\\ \end{tabularx}
\medskip 	
		\item Le coefficient $b_{1}$ vaut :
 		
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$\bullet~~$$- \dfrac{4}{\pi^2}$&$\bullet~~$0&$\bullet~~$$\dfrac{1}{4}$&\multicolumn{1}{X}{~}\\ \end{tabularx}
\medskip 	
		\item Le nombre réel $a_{0}$ vaut :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}}		
0&0,25&0,5&12\\ \end{tabularx} 
\medskip
		\item  On donne l'égalité suivante
		
		\[\displaystyle\int_{0}^1 (1 - t) \cos (\pi t)\:\text{d}t = \dfrac{2}{\pi^2}.\]
		
La valeur exacte du coefficient $a_{1}$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}}		
0&$\dfrac{4}{\pi^2}$&$\dfrac{2}{\pi^2}$&$\dfrac{1}{\pi^2}$\\
 \end{tabularx} 
\medskip
	\end{enumerate} 

\textbf{Application de la formule de Bessel-Parseval}
	
\medskip
 
\item On rappelle que la puissance moyenne $P_{f}$, par période du signal, modélisé par une fonction $f$ de période $T$ est donnée par 

\[P_{f} = \dfrac{1}{T}\displaystyle\int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} [f(t)]^2\:\text{d}t.\]
 
Démontrer que $P_{f}= \dfrac{1}{3}$. 
\item On note $g_{n}$ la fonction définie, pour tout nombre entier $n$ strictement positif par 
 
\[g_{n}(t) = a_{0} + \displaystyle\sum_{k=1}^{k=n} \left(a_{k} \cos (k \pi t) + b_{k} \sin (k \pi t)\right)\] 
 
et 
 \[S_{n} = a_{0}^2 + \dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{k}^2.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Le tableau 1 du document réponse 1 fournit des valeurs approchées à $10^{-4}$ près de $S_{n}$. Compléter ce tableau. 
		\item En déduire la plus petite valeur de l'entier $n$ telle que la puissance moyenne par période de la fonction $g_{n}$ est supérieure ou égale à $0,999 P_{f}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	

\bigskip
	 
\textbf{Partie B}
	 
	 \medskip
	  
Soit $\tau$ un nombre réel strictement positif.
	   
On s'intéresse maintenant à la fonction $e$ représentant un signal de même forme que celui de la partie A, mais dont la période, exprimée en seconde, est $2\tau$ et dont le graphe est représenté ci-après. 

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=3cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-4,-0.5)(6.2,1.5) 
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=0.2]{->}(0,0)(-4,-0.5)(6,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=0.2](0,0)(-4,-0.5)(6,1.5)
\psline(-4,1)(-3,0)(-2,1)(-1,0)(0,1)(1,0)(2,1)(3,0)(4,1)(5,0)(6,1)(7,0)
\uput[d](1,0){$\tau$}\uput[d](2,0){$2\tau$}\uput[d](3,0){$3\tau$}
\end{pspicture*} 
\end{center}
 
Ce signal est placé en entrée d'un filtre passe-bas (il s'agit d'un filtre de Butterworth d'ordre 6 et de fréquence de coupure 40 Hz).
  
Le signal de sortie obtenu est modélisé par une fonction $h$. 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On se place dans le cas où la fonction $e$ est telle que $\tau = 0,1$.
 
La figure 1 du document réponse 1 donne une représentation graphique de la fonction $h$ sur l'intervalle $[-0,4~;~0,4]$, obtenue à l'aide d'un logiciel de simulation. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement la valeur maximale $h_{\text{max}}$ de la fonction $h$. 
		\item Sur la figure 1 du document réponse 1, tracer la représentation graphique de la fonction $e$. 
		\item Le \emph{facteur de crête} du signal $h$, exprimé en décibels, est défini par 
		\[F_{c} = \dfrac{10}{\ln (10)}\ln \left(\dfrac{h_{\text{max}}^2}{P_{h}} \right).\]
		
On a obtenu à l'aide d'un logiciel de calcul numérique la valeur approchée suivante de la puissance moyenne par période $P_{h}$ du signal $h$ : 
		\[P_{h} \approx  \np{0,33330}.\]
		 
En déduire une valeur approchée du facteur de crête $F_{c}$.
	\end{enumerate} 
\item On note $G(\omega)$ le gain, exprimé en décibels, du filtre passe-bas en fonction de la pulsation $\omega$.
	 
Le graphique ci-après donne une représentation graphique de la fonction $G$ pour les \og  petites \fg{} valeurs de la pulsation $\omega$. 
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=0.048cm,yunit=40cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-20,-0.25)(240,0.025)	 
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=0.05,xlabelPos=top]{->}(0,0)(-19,-0.25)(240,0.025)
\multido{\n=0+10}{24}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,-0.25)}
\multido{\n=0.00+-0.01}{26}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](0,\n)(230,\n)}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{199}{x 80 3.14159 mul div 12 exp 1 add ln 4.34294 mul neg }
\uput[ul](0,0){O}	
\end{pspicture}	 
\end{center}
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement l'intervalle des valeurs de $\omega$ pour lesquelles on a 

		\[G(\omega) \geqslant - 0,1 \text{db}\]
		 
		\item On donne l'expression de $G(\omega)$ : 

\[G(\omega) = \dfrac{- 10}{\ln (10)}\ln \left[1 + \left(\dfrac{\omega}{80 \pi} \right)^{12}\right].\]
		  
On note $\omega_{0}$ la solution de l'équation $G(\omega) = - 0,1$.
		   
Déterminer, à $10^{-1}$ près, en précisant la démarche suivie, une valeur approchée de $\omega_{0}$ 
	\end{enumerate}

\textbf{Remarque :}  La notion de facteur de crête d'un signal est utile, par exemple, en télécommunications. On trouve aisément dans la littérature le facteur de crête du signal triangulaire $e$, à savoir $4,71$ db. 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

On note $\U$ la fonction échelon unité définie, sur l'ensemble des nombres réels,
par 
\[
\begin{cases}
\U(t)=0\quad &\text{si } t<0\\
\U(t)=1\quad &\text{si }t\geq 0
\end{cases}
\]

Une fonction définie sur l'ensemble des nombres réels est dite causale lorsque 
cette fonction est nulle sur l'intervalle $]-\infty~;~0[$.

On considère un système entée-sortie analogique du premier ordre dont la fonction 
de transfert $H$ est définie par 
\[
H(p)=\frac{2}{1+0,5 p}
\]

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction causale $s$ dont la transformée de Laplace est 
\[
S(p)=\frac{2}{p(1+0,5p)}
\]
La fonction $s$ modélise la réponse du système analogique à l'échelon unité $\U$.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que
\[
S(p)=\frac{2}{p}-\frac{2}{p+2}
\]
\item En déduire $s(t)$ pour tout nombre réel $t$ positif ou nul.

\item Compléter la ligne donnant les valeurs de $s(t)$ dans le tableau 2 du document
réponse 2 en donnant les valeurs approchées à $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}

\item On considère maintenant un système entrée-sortie numérique dont la fonction 
de transfert $F$ est définie par
\[
F(z)=H\left(100\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}\right)
\]
Ce système numérique permet d'approcher le système analogique.

L'entrée et la sortie du système numérique sont modélisés, respectivement, par
deux suites causales $x$ et $y$. Ces deux suites admettent des transformées en 
$\mathcal{Z}$ notées, respectivement, $X(z)$ et $Y(z)$ telles que
\[
Y(z)=F(z)X(z)
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que 
\[
F(z)=\frac{2\left(1+z^ {-1}\right)}{51-49z^ {-1}}
\]
\item En déduire que 
\[
51Y(z)-49z^{-1}Y(z)=2X(z)+2z^{-1}X(z)
\]
\item \label{a14_a1_q2c}En déduire que, pour tout nombre entier $n$ supérieur 
ou égal à $0$, on a :
\[
y(n)=\frac{49}{51}y(n-1)+\frac{2}{51}x(n)+\frac{2}{51}x(n-1)
\]

\end{enumerate}
\item On suppose dans cette question que, pour tout nombre entier $n$, on a
 
$x(n) = d(n)$, où $d$ est la suite impulsion unité définie par

\[
\begin{cases}
d(0)=1\\
d(n)=0\quad \text{si } n \neq 0
\end{cases}
\]
Grâce à la formule obtenue dans la question \ref{a14_a1_q2c}, compléter le 
tableau \ref{a14_a1_ex2_tab1} du document réponse 2. On pourra utiliser des
 valeurs approchées à $10^ {-3}$ près.

\item Dans cette question, on suppose que, pour tout entier $n$, on a $x(n)=e(n)$ 
où $e$ est la suite échelon unité définie par
\[
\begin{cases}
e(n)=0\quad &\text{si } n<0\\
e(n)=1\quad &\text{si }n\geq 0
\end{cases}
\]
On admet que
\[
Y(z)=\frac{2z(z+1)}{(51z-49)(z-1)}
\]
\begin{enumerate}
\item Vérifier que
\[
Y(z)=\frac{2z}{z-1}-\frac{100}{51}\times \frac{z}{z-\frac{49}{51}}
\]
\item En déduire $y(n)$ pour tout nombre entier naturel $n$.

\item Compléter la ligne donnant les valeurs de $y(n)$ dans le tableau 
\ref{a14_a1_ex2_tab2} du document  réponse 2 avec des valeurs approchées à 
$10^ {-3}$ près.
\end{enumerate}

\emph{Le tableau \ref{a14_a1_ex2_tab2} du document réponse 2 permet de comparer 
les réponses à  l'échelon unité du système analogique et du système numérique.}
\end{enumerate}

%On s'intéresse à un dispositif comportant deux composants électriques A et B montés en parallèle. Si un seul de ces deux composants est défaillant, le dispositif continue à fonctionner.
%
%\medskip
% 
%\textbf{Partie A}
% 
%\medskip
%  
%Dans cette partie, on étudie la durée de vie de ce dispositif.
%   
%La durée de vie de chaque composant est une variable aléatoire.
%    
%\begin{enumerate}
%\item 
%
%On désigne par $t$ un nombre réel strictement positif. On admet que la probabilité $p(t)$ que le composant A ait une durée de vie strictement inférieure à $t$ est donnée par 
%    
%    \[p(t) = \displaystyle\int_{0}^t  \np{0,0004} \text{e}^{- \np{0,0004}x}\:\text{d}x.\]
%     
%Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-2}$, que le composant A ait une durée de vie strictement inférieure à \np{1000}~heures. 
%\item Sur le document réponse 2 est donné l'arbre pondéré décrivant la situation du dispositif au bout de \np{1000}~heures.
%      
%$C_{1}$ désigne l'évènement \og le composant A est en état de fonctionnement \fg{} et $C_{2}$ désigne l'évènement \og  le composant B est en état de fonctionnement \fg. 
%	\begin{enumerate}
%		\item Compléter l'arbre du document réponse 2 et indiquer le détail des calculs des probabilités dans la colonne \og  Probabilités \fg. 
%		\item Déterminer la probabilité de l'évènement $C_{2}$. 
%		\item Les évènements $C_{1}$ et $C_{2}$ sont indépendants ? Justifier la réponse. 
%		\item Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-2}$, qu'au bout de \np{1000} heures, le dispositif soit en état de fonctionnement.
%	\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%      
%\bigskip
% 
%\textbf{Partie B}
% 
%\medskip
% 
%Dans cette partie, les résultats approchés seront arrondis à $10^{- 3}$ près.
%  
%Une entreprise produit en grande série le composant A dont il est question dans la partie A. Une étude statistique permet d'admettre que la probabilité qu'un composant ait une durée de vie supérieure à \np{1000}~heures est $0,67$. Les durées de vie des composants sont indépendantes les unes des autres.
%   
%Pour un échantillon de $50$ composants, on note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de composants ayant une durée de vie supérieure à \np{1000}~heures. 
%   \medskip
%
%\begin{enumerate}
%\item On admet que $X$ suit une loi binomiale.
% 
%Préciser les paramètres de cette loi. 
%\item Calculer la probabilité $p(X = 42)$. 
%
%\item Ci-dessous est donné un extrait du tableau, obtenu à l'aide d'un tableur, donnant les valeurs des probabilités $p(X \leqslant  k)$, où $k$ désigne un nombre entier naturel appartenant à l'intervalle [0~;~50].
% 
% \begin{center} 
%\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
% &A &B &C &D\\ \hline 
%1&$k$&$p(X \leqslant k)$&&\\ \hline		
%2&	38&	\np{0,93714961}&&\\ \hline
%3&	39&	\np{0,96825995}&&\\ \hline
%4&	40&	\np{0,98562989}&&\\ \hline
%5&	41&	\np{0,99423141}&&\\ \hline
%6&	42&	\np{0,99797363}&&\\ \hline
%7&	43&	\np{0,99938718}&&\\ \hline
%8&	44&	\np{0,99984376}&&\\ \hline
%9&	45&	\np{0,99996736}&&\\ \hline
%10& 46&	\np{0,99999464}&&\\ \hline
%11&	47&	\np{0,99999935}&&\\ \hline
%12&	48&	\np{0,99999995}&&\\ \hline
%13&	49&	1&&\\ \hline
%14& 50& 1&&\\ \hline	
%15&    &&&\\ \hline
%16&    & &&\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%À l'aide de ce tableau, déterminer la probabilité que le nombre de composants ayant une durée de vie supérieure à \np{1000} heures parmi cet échantillon soit strictement supérieur à 42. 
%\item Sur l'annexe, le diagramme en bâtons représente les valeurs de $p(X \leqslant k)$ en fonction de $k$. 
%	\begin{enumerate}
%		\item À l'aide de ce diagramme, déterminer le plus petit nombre entier naturel $k_{1}$ tel que 
%		
%		\[p\left(X \leqslant k_{1}\right) > 0,025,\]
%		 
%puis le plus petit nombre entier naturel $k_{2}$ tel que 
%		 		\[p\left(X \leqslant k_{2}\right) > 0,975,\]
%				
%		\item Peut-on affirmer : \og \emph{le nombre de composants dont la durée de vie est supérieure à {\rm{\np{1000}}}~heures appartient à l'intervalle {\rm{[27~;~40]}} avec une probabilité supérieure à }0,95 \fg{} ? Justifier la réponse.
%	\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%
%\bigskip
% 
%\textbf{Partie C}
% 
%\medskip
% 
%Dans cette partie, on décide d'approcher la loi de la variable aléatoire $X$ par la loi normale de moyenne $33,5$ et d'écart type $3,3$.
%  
%On note $Y$ une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne $\mu = 33,5$ et d'écart type $\sigma = 3,3$. 
%
%\begin{enumerate}
%\item Justifier le choix des paramètres $\mu$ et $\sigma$. 
%\item Calculer la. probabilité $P(Y \leqslant 42)$ arrondie à $10^{-2}$. 
%\item Déterminer la plus petite valeur, arrondie à $10^{-1}$, du nombre réel $a$ tel que 
%
%\[p(33,5 - a \leqslant  Y \leqslant 33,5 + a) \geqslant  0,95.\]
% 
%\end{enumerate}
%\begin{landscape}
%
%\medskip
%
%\psset{xunit=0.4cm,yunit=15cm,comma=true} 
%\begin{pspicture}(-2,-0.05)(51,1.05)
%\rput(25,1.02){\textbf{\large Annexe}}
%\psaxes[Dx=100,Dy=0.025](0,0)(51,1.)
%\multido{\n=0.000+0.025}{41}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(50,\n)}
%\multido{\n=0.5+1,\na=0+1}{50}{\uput[d](\n,0){\na}}
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](25.25,0)(25.75,0.005)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](26.25,0)(26.75,0.0125)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](27.25,0)(27.75,0.02)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](28.25,0)(28.75,0.07)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](29.25,0)(29.75,0.1125)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](30.25,0)(30.75,0.18)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](31.25,0)(31.75,0.25)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](32.25,0)(32.75,0.375)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](33.25,0)(33.75,0.5)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](34.25,0)(34.75,0.58)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](35.25,0)(35.75,0.725)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](36.25,0)(36.75,0.8125)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](37.25,0)(37.75,0.88)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](38.25,0)(38.75,0.935)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](39.25,0)(39.75,0.965)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](40.25,0)(40.75,0.985)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](41.25,0)(41.75,0.995)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](42.25,0)(42.75,1)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](43.25,0)(43.75,1)
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%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](45.25,0)(45.75,1)
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%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](48.25,0)(48.75,1)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](49.25,0)(49.75,1)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](50.25,0)(50.75,1)
%\end{pspicture}
%\end{landscape}
\newpage
\begin{center}
\textbf{Document réponse 1 à rendre avec la copie,\\
  Toutes spécialités }
\end{center}

\begin{table}[!ht]
\centering
 \begin{tabularx}{12cm}{|*{7}{>{\centering\arraybackslash$}X<{$}|}}
\hline
  n&1&2&3&4&5&6\\
\hline
\rule[-3mm]{0mm}{8mm}a_n^ 2&0,1643&0&0,0020&0&0,0003&0\\
\hline
S_n&0,3321&0,3321&&&&\\
\hline
 \end{tabularx}
\caption{Puissances des harmoniques}
\label{a14_ex1_tab1}
\end{table}

\vspace{5cm}
\begin{figure}[!ht]
\centering
\psset{xunit=12cm,yunit=8cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-.5,-.1)(.5,1.2) 
\psaxes[
	linewidth=1.5pt,%
	Dx=0.1,%	
	Dy=0.1,%
	xticksize=0 1,%
	yticksize=-.4 .4,%
	%ysubticks=2,%
	]
	{->}(0,0)(-.42,0)(.45,1.1)
	
%\psline(-.4,0.85)(-.384,.975)(-.284,.025)(-.184,.975)(-.084,.025)
%(0.016,.975)(.116,.025)(.216,.975)(.316,.025)(.4,.85)

\def\xmin{-0.40001} \def\xmax{0.4} \def\ymin{0} \def\ymax{1}
%\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-0.50001,-0.1)(0.5,1.1)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\footnotesize #1}}
%\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
%\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=1](0,0)(-4,0)(4,5)
%\psset{xunit=10cm , yunit=5cm}
%\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=0.1,Dy=.1,Ox=-0.4,Oy=0]{-}(-0.4,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\uput[dl](0,0){\small O}
%\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){\small $\vec{\imath}$}
%\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){\small $\vec{\jmath}$}
%\psclip{%
%\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
%\psline(-0.4,0.82)(-.38,0.97)(-.28,0.03)(-.18,.97)(-.08,0.03)(0.02,0.97)(0.12,0.03)(0.22,.97)(.32,0.03)(0.4,0.85)
%\psline[linecolor=blue](-0.4,1)(-0.3,0)(-0.2,1)(-0.1,0)(0,1)(.1,0)(.2,1)(.3,0)(.4,1)
\psbcurve(-0.386666,0.92)(-0.38,0.97)(-0.37468,0.92)
\psline(-0.4,0.82)(-0.386666,0.92)
\psline(-0.37468,0.92)(-.28532,0.08)
\psbcurve(-.28532,0.08)(-.28,0.03)(-0.27468,0.08)
\psline(-0.27468,0.08)(-0.185319149,0.92)
\psbcurve(-0.185319149,0.92)(-.18,.97)(-0.174680851,0.92)
\psline(-0.174680851,0.92)(-0.085319149,0.08)
\psbcurve(-0.085319149,0.08)(-.08,0.03)(-0.074680851,0.08)
\psline(-0.074680851,0.08)(0.014680851,0.92)
\psbcurve(0.0146808511,0.92)(0.02,0.97)(0.0253191489,0.92)
\psline(0.0253191489,0.92)(0.1146808511,0.08)
\psbcurve(0.1146808511,0.08)(0.12,0.03)(0.1253191489,0.08)
\psline(0.1253191489,0.08)(0.2146808511,0.92)
\psbcurve(0.2146808511,0.92)(0.22,0.97)(0.2253191489,0.92)
\psline(0.2253191489,0.92)(0.3146808511,0.08)
%%%%%%%%%%%%
\psbcurve(0.3146808511,0.08)(0.32,0.03)(0.3253191489,0.08)
\psline(0.3253191489,0.08)(0.4,0.85)
%\endpsclip
\end{pspicture} 
\caption{La fonction $h$}
\label{a14_ex1_fig1}
 \end{figure}
 \newpage
 
\begin{center}
\textbf{\large Document réponse 2 à rendre avec la copie}

\vspace{3cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$			&$- 1$	&0	&1	&2	&3\\ \hline
$d(n)$		&0		&1	&0	&0	&0\\ \hline
$y(n)$		&0		&	&	&	&\\ \hline
\multicolumn{6}{c}{\textbf{Tableau 1} (ici $x(n) = d(n)$)}\\
\end{tabularx}

\vspace{3cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$			&0		&10		&20		&30		&40		&50		&100	&150\\ \hline
$y(n)$		&0,039	&		&1,119	&1,410	&		&1,735	&		&\\ \hline
$t = 0,02n$	&0		&0,2	&0,4	&0,6	&0,8	&1		&2		&3\\ \hline
$s(t)$		&0		&0,659	&		&		&1,596	&		&1,963	&\\ \hline
\multicolumn{9}{c}{\textbf{Tableau 2} (ici $x(n) = e(n)$)}\\
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
\textbf{\large Document réponse 2 à rendre avec la copie}
\end{center}
\vspace{5cm}
\begin{figure}[h]
\centering
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$C_1$}\taput{\small $\red 0,67$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$C_2 ~~~~ \red p(C_1 \cap C_2) = 0,4489$}\taput{\small $\ldots$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{C_2}~~~~\ldots $}\tbput{\small $\ldots$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{C_1}$}\tbput{\small $\ldots$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$C_2~~~~\ldots $}\taput{\small $~~~~\ldots$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{C_2}~~~~~~~~\ldots$}\tbput{\small $0,33$}
}
}
\caption{Arbre pondéré}
\end{figure}
\label{a14_a1_ex2_tab2}

\begin{landscape}
\begin{center}
  \textbf{Document réponse 2}
\end{center}
%\medskip

\psset{xunit=0.4cm,yunit=15cm,comma=true} 
\begin{pspicture}(-2,-0.05)(51,1.05)
\rput(25,1.02){\textbf{\large Annexe}}
\psaxes[Dx=100,Dy=0.025](0,0)(51,1.)
\multido{\n=0.000+0.025}{41}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(50,\n)}
\multido{\n=0.5+1,\na=0+1}{50}{\uput[d](\n,0){\na}}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](25.25,0)(25.75,0.005)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](26.25,0)(26.75,0.0125)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](27.25,0)(27.75,0.02)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](28.25,0)(28.75,0.07)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](29.25,0)(29.75,0.1125)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](30.25,0)(30.75,0.18)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](31.25,0)(31.75,0.25)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](32.25,0)(32.75,0.375)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](33.25,0)(33.75,0.5)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](34.25,0)(34.75,0.58)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](35.25,0)(35.75,0.725)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](36.25,0)(36.75,0.8125)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](37.25,0)(37.75,0.88)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](38.25,0)(38.75,0.935)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](39.25,0)(39.75,0.965)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](40.25,0)(40.75,0.985)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](41.25,0)(41.75,0.995)
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\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](46.25,0)(46.75,1)
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\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](50.25,0)(50.75,1)
\end{pspicture}
\label{a14_a1_ex2_tab2}
\end{landscape}
