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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Groupement A1}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
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\begin{center}\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\Groupement A1 session 2004}  
\end{center}

\textbf{Pour les spécialités Contrôle industriel et régulation automatique, électronique, Techniques physiques pour l'industrie et le laboratoire}

\vspace{0,25cm}


{\textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}}
 
\medskip

Dans tout cet exercice, le nombre $n$ est un entier relatif.

La suite $n \mapsto e(n)$ représente l'échelon discrétisé causal défini par :
\[
\left\{\begin{array}{l}
e(n)=0 \text{ pour } n<0 \\
e(n)=1 \text{ pour } n\geqslant 0
\end{array}\right.
\]

On considère un filtre numérique dans lequel le signal d'entrée
est $n \mapsto e(n)$ et le signal de sortie est un signal discret
causal noté $n \mapsto x(n)$.
 
 Ce filtre est régi par l'équation récurrente :
\[x(n)-2x(n-1)=e(n)~~(E)\]

{\large {\textbf{Partie 1}}}

\vspace{1ex}

{\emph Dans cette partie, on résout l'équation récurrente $(E)$
 sans utilisation de la transformation en $Z$.}

\begin{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $x(0)=1$.
		\item Calculer $x(1)$, $x(2)$ et $x(3)$.
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$ l'équation $(E)$ s'écrit :

\[ x(n)- 2x(n - 1) = 1~~(E)\]

	\begin{enumerate}
		\item On considère la suite $y$ définie pour tout entier naturel $n$
par :

\[ y(n) = x(n) + 1\]

Montrer que la suite $y$ est une suite géométrique de raison $2$.
   
Donner l'expression de $y(n)$ en fonction de  l'entier naturel $n$.
		\item En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de
$x(n)$. Vérifier que l'on retrouve les mêmes valeurs de $x(0)$,
$x(1)$, $x(2)$ et $x(3)$ qu'à l'équation $1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

{\large {\textbf{Partie 2}}}

\medskip

{\emph Dans cette partie on résout l'équation récurrente $(E)$ en
 utilisant la transformation en $Z$.}
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item On rappelle que $x(0)=1$.
   
On se place dans le cas où $n \geqslant 1$ et on admet que le signal
$n \mapsto x(n)$, solution de l'équation récurrente $(E)$, a
une transformation en $Z$ notée $(Zx)(z)$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout $z$ différent de $0$, de $1$ et de $2$ on
   a :

\[ (Zx)(z)=\frac{z^2}{(z-1)(z-2)} \]

		\item Montrer que pour tout $z$ différent de $0$, de $1$ et de $2$ on a :

\[ \frac{(Zx)(z)}{z}=\frac{-1}{z-1}+\frac{2}{z-2}\]
		\item En déduire par lecture inverse du dictionnaire d'images, le
signal de sortie $n \mapsto x(n)$ pour $n \geqslant 1$.
	\end{enumerate}
\item
Représenter dans un repère orthogonal, pour les nombres entiers
$n$ tels que $-2\leqslant n \leqslant 3$, le signal de sortie $n \mapsto
x(n)$. Prendre comme unités graphiques $2$~cm sur l'axe des
abscisses et $0,5$~cm sur l'axe des ordonnées.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

{\textbf{Exercice 2 \hfill 12 points}}

\textbf{Pour toutes les spécialités}

\medskip
 
\emph{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de
 l'autre.}
 
\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 4}
\begin{pspicture}(7,1.5)
\psline(0,0.5)(2,0.5)\psline{->}(0,0.5)(0.75,0.5) \psline{->}(5,0.5)(5.75,0.5)\psline(5,0.5)(7,0.5)
\psframe(2,0)(5,1)
\uput[u](0.75,0.5){$e(t)$}  \uput[u](5.75,0.5){$s(t)$} 
\end{pspicture}
\end{center}

Dans le système représenté ci-dessus, $e$ et $s$ sont respectivement les signaux d'entrée et de sortie, causaux (nuls pour $t$ négatif).
 
 On suppose que le système est régi par l'équation différentielle :

\[LC\frac{\rm{d}^2 s}{\rm{d}t^2}(t)+RC\frac{\rm{d} s}{\rm{d}t}(t)+s(t)=e(t)
  ~~~~~(1) \]
  
 $L$,  $R$ et   $C$ sont des constantes réelles strictement
 positives. De plus à l'instant initial :
 
\[s(0^+)=0~\textnormal{et}~\frac{\rm{d} s}{\rm{d}t}(0^+)=0\]

\bigskip

{\large{\textbf{Partie A}}}

\medskip
 
On suppose que les fonctions $e$ et $s$ admettent des
transformées de Laplace notées respectivement $E$ et $S$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La fonction de transfert $H$ du système  est définie par $S(p)=H(p)\times E(p)$.
   
En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l'équation $(1)$, exprimer $H(p)$ en fonction de  $L$,  $R$ et $C$.
\item On suppose que $e(t)={\cal U}(t-1)-{\cal U}(t-2)$

où ${\cal U}$ est la fonction échelon unité :

      $\left\lbrace\begin{array}{l}
         {\cal U}(t)=0~\textnormal{si}~t<0 \\
         {\cal U}(t)=1~\textnormal{si}~t \geqslant 0
      \end{array}\right.$
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la courbe représentative de la fonction $e$ dans un
   repère du plan.
		\item Déterminer $E(p)$.
	\end{enumerate}
\item
    {\textbf{Dans la suite de l'exercice, on considère que}} $L=2$, $R=1000$
   et $C = 2.10^{-6}$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $H(p)=\displaystyle\frac{500^2}{(p+250)^2+\left(250\sqrt{3}
   \right)^2}$.
		\item On admet que :
\[\frac{1}{p}H(p)=\frac{1}{p}
   -\displaystyle\frac{p+250}{(p+250)^2+\left(250\sqrt{3} \right)^2}
   -\displaystyle\frac{250}{(p+250)^2+\left(250\sqrt{3} \right)^2}
\]

Déterminer l'original $h_1$ de la fonction $p\mapsto \displaystyle\frac{1}{p}H(p)$.
   
Exprimer $s(t)$ à l'aide de $h_1(t)$.
		\item Donner l'expression de $s(t)$ sur chacun des intervalles $]-\infty~;~1[$, $[1~;~2[$ et $[2~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

{\large {\textbf{Partie B}}}

\medskip

On rappelle que $H(p)=\displaystyle\frac{500^2}{(p+250)^2\left(250\sqrt{3}\right)^2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $r$ définie pour tout réel $\omega>0$
   par :

\[r(\omega)=
      \begin{array}{|c|}
         H(\rm{j}\omega)
      \end{array}\]
      
où $\rm{j}$ est le nombre complexe de module $1$ et d'argument
   $\displaystyle\frac{\pi}{2}$.
   
Montrer que $r(\omega)=\displaystyle\frac{500^2}{\sqrt{\omega^4-500^2\omega^2+500^4}}$.
\item On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $\omega > 0$ par :

   \[f(\omega) = \omega^4-500^2\omega^2+500^4\]
   
Montrer que $f'(\omega) = 4\omega\left(\omega-250\sqrt{2} \right)
                                  \left(\omega+250\sqrt{2} \right)$.
\item Montrer que $r'(\omega)$ est du signe de $-f'(\omega)$.
\item En déduire que $r(\omega)$ est maximal pour une valeur de $\omega_0$ de    $\omega$. Donner la valeur de $\omega_0$ et calculer $r(\omega_0)$.
\end{enumerate}
\emph{La partie B permet de déterminer le maximum du gain pour le
 système étudié en régime harmonique.}
\end{document}