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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P.{}}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupement A1}}
\rfoot{\small{12 mai 2016}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur\\[5pt]Métropole session 2016 - groupement A1}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Spécialités :}
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item Contrôle industriel et régulation automatique
\item Électrotechnique
\item Génie optique (deux options)
\item Techniques physiques pour l'industrie et le laboratoire
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 7 points}

\medskip

\emph{Une chaine de traitement de surface est constituée de plusieurs cuves dont l'une est destinée à
réaliser le dégraissage de pièces usinées par immersion dans une solution aqueuse (eau et
additif détergent).\\
Pour que le dégraissage s'effectue correctement il faut que la température du bain soit
maintenue constante entre $75$\degres C et $85$\degres C.\\
Un technicien doit réaliser la régulation en température de cette cuve. Pour cela il propose
l'installation d'un élément chauffant dont la puissance doit permettre de compenser les pertes
thermiques et de réaliser la montée en température en un temps déterminé.}

\medskip

Les caractéristiques du système thermique sont les suivantes :

$R$ : résistance thermique caractérisant les pertes d'énergie thermique. $R = 0,115$\degres C.W$^{-1}$.

$k$ : constante liée à la capacité du système à emmagasiner l'énergie thermique. $k = 34,8$ J.\degres C$^{-1}$.

$f(t)$  : puissance, en watt, apportée par l'élément chauffant à l'instant $t$ (en seconde).

$\theta_A$ : température de l'air ambiant. $\theta_A = 20$\degres C.

$\theta_{S(t)}$ : température en degré Celsius de la solution aqueuse contenue dans la cuve à l'instant 
$t$.

$\theta(t) = \theta_{S(t)} - \theta_A$ : écart en degré Celsius entre la température de la solution aqueuse contenue dans la cuve et celle de l'air ambiant à l'instant $t$.

Une modélisation du système permet d'établir que, pour tout $t \geqslant  0$, la fonction $\theta$ vérifie
l'égalité : 

\[\theta(t) + kR\dfrac{\text{d}\theta}{\text{d}t}(t) = Rf(t) \qquad (1)\]

On note $T: p \longmapsto  T(p)$ et $F: p \longmapsto F(p)$ les transformées de Laplace respectives des fonctions

$\theta : t \longmapsto  \theta(t)$ et $f : t \longmapsto  f(t)$.

On rappelle quelques résultats concernant la transformation de Laplace, formulés en notant

\begin{itemize}
\item $U$ la fonction échelon unité définie par : (si $t <0,\: U(t) = 0)$ et (si $t \geqslant 0,  \: U(t) = 1)$,
\item $g$ une fonction ayant une transformée de Laplace $G$.
\end{itemize}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{X|}}\hline 
\textbf{Fonction} &\textbf{Transformée de Laplace}\\ \hline
$t \longmapsto \text{e}^{-a t} U(t)$ avec $a$ constante réelle& $p\longmapsto  \dfrac{1}{p+a}\rule[-12pt]{0pt}{30pt}$\\ \hline
$t \longmapsto g(t - a) U(t - a)$ avec $a$ constante réelle& $p \longmapsto G(p)\text{e}^{-a p}$\\ \hline
$t \longmapsto g(t) \text{e}^{-a t} U(t)$ avec $a$ constante réelle&$p \longmapsto G(p+a)$\\ \hline
$t\longmapsto g'(t)U(t)$& $p \longmapsto  pG(p) - g\left(0^+\right)$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On considère qu'à l'instant $t = 0$, la température de la solution aqueuse contenue dans la cuve
est égale à celle de l'air ambiant.

En appliquant la transformation de Laplace à l'égalité (1) montrer que : 

\[T(p) = \dfrac{0,115}{4,002p + 1}F(p).\]

\item On applique une puissance échelon de $522$ watts. On a donc : $f(t) = 522U(t)$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'expression de $F(p)$.
		\item En déduire l'expression de $T(p)$.

\textbf{Par la suite, pour simplifier, on prendra \boldmath $T(p) = \dfrac{60}{p(4p + 1)}$\unboldmath, ce qui s'écrit encore :}

\[T(p) = \dfrac{15}{p(p + 0,25)}.\]

	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que : $T(p) = \dfrac{60}{p}  - \dfrac{60}{p + 0,25}$.
		\item En déduire que pour tout $t \geqslant 0$ : $\theta(t) = 60\left(1 - \text{e}^{- 0,25t}\right)$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $\theta(t)$ quand $t$ tend vers $+ \infty$. Justifier.
		
Cette limite est appelée par la suite \og valeur finale de $\theta$ \fg.
		\item Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de la fonction $\theta$ ?
		\item Calculer $\theta'(t)$ pour $t \geqslant 0$, puis étudier les variations de la fonction $\theta$.
		\item Représenter la fonction $\theta$ dans le repère donné sur le document réponse.
	\end{enumerate}
\item Le technicien estime que, lorsque $\theta(t)$ a atteint $95$\,\% de sa valeur finale, la température du bain $\theta_{S}(t)$ peut être considérée comme constante.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le temps nécessaire pour que $\theta(t)$ atteigne 95\,\% de sa valeur finale. Expliquer la démarche suivie.
		\item Quelle est la température constante autour de laquelle se stabilise la température du bain ?
		
Le dégraissage sera-t-il réalisé conformément aux conditions décrites dans le préambule ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On rappelle que le développement en série de Fourier d'une fonction $f$ périodique de période $T$
est 

\[S(t) = a_0 + \displaystyle\sum_{n \geqslant 1}^{+ \infty}\left(a_n \cos (n \omega t) + b_n \sin (n \omega t)\right).\]

avec $\omega = \dfrac{2\pi}{T}, \: a_0 = \dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^{a + T} f(t)\:\text{d}t$
 et, pour tout entier $n \geqslant 1$ et toute constante réelle $\alpha$ :

\[a_n = \dfrac{2}{T}\displaystyle\int_0^{a + T} f(t) \cos(n \omega t)\:\text{d}t\quad \text{et}\quad  b_n = \dfrac{2}{T}\displaystyle\int_0^{a + T} f(t) \sin(n \omega t)\:\text{d}t.\]

\begin{center} \textbf{Les trois parties de l'exercice sont indépendantes}\end{center}

\textbf{Partie A}

\medskip

On donne ci-dessous la représentation graphique $C$ d'une fonction $f$ définie pour tout réel $x$,
paire,  périodique de période $T$ et telle que pour tout $x \in  [0~;~2\pi] :\: f (x) = x(2\pi - x)$.

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-13,-1.5)(13,11)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=15,Dy=2]{->}(0,0)(-12.99,-0.99)(12.99,11)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6.28319}{6.28319 x sub x mul}
\rput(-6.28319,0){\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6.28319}{6.28319 x sub x mul}}
\rput(-12.5664,0){\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6.28319}{6.28319 x sub x mul}}
\rput(6.28319,0){\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6.28319}{6.28319 x sub x mul}}
\rput(12.5664,0){\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6.28319}{6.28319 x sub x mul}}
\rput(-18.8496,0){\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6.28319}{6.28319 x sub x mul}}
\multido{\n=-3+1,\na=-9.42478+3.14159}{8}{\uput[d](\na,0){\n $\pi$}}
\end{pspicture*}

\end{center}

On souhaite déterminer les coefficients $a_0,\: a_n$ et $b_n$, avec $n \geqslant 1$, de la série de Fourier associée à cette fonction $f$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $T$ puis calculer $\omega$.
\item Calculer le coefficient $a_0$.
\item Que valent les coefficients $a_n$ et $b_n$  pour $n \geqslant 1$ ?

On pourra utiliser les résultats ci-dessous obtenus à l'aide d'un logiciel de calcul formel.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|X|}\hline
integrate(x*(2pi-x)*cos(n*x),x,0,2*pi)\\ 
\multicolumn{1}{|r|}{$= \dfrac{-2n\pi\cos(n*2\pi) + 2\sin (n*2\pi)}{n^3} - \dfrac{2\pi}{n^2}$}\rule[-5mm]{0mm}{11mm}\\ \hline
integrate(x*(2pi-x)*cos(n*x),x,0,2*pi)\\
\multicolumn{1}{|r|}{$= \dfrac{n^2\pi^2\sin(n\pi) + 2\sin (n\pi)}{n^3} - \dfrac{2\pi}{n^2}$}\rule[-5mm]{0mm}{11mm}\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}

On simplifiera le plus possible les réponses.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La tension exprimée en volt (V) aux bornes d'une bobine de moteur pas à pas dépend du temps $t$
exprimé en seconde. Elle est modélisée par la fonction $u$ impaire, périodique de période $T = 6$, telle que : 

\[u(t) = \left\{\begin{array}{l c l}
0&\text{si}&0 \leqslant t < 1\\
2&\text{si}&1 \leqslant t < 2\\
0&\text{si}&2 \leqslant t \leqslant 3
\end{array}\right..\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un repère orthogonal tracer la courbe $C$ représentative de $u$ sur l'intervalle $[- 6~;~6]$.
\item Déterminer la valeur moyenne $U_{\text{moy}}$ de cette tension $u$ sur un intervalle de longueur $T$.
\item La tension efficace $U_{\text{eff}}$ vérifie : $U^2_{\text{eff}} = \dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T u^2(t)\:\text{d}t$.

Calculer la valeur exacte de $U_{\text{eff}}$ puis donner sa valeur arrondie à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On s'intéresse à une fonction $f$ définie pour tout réel $t$, périodique de période $2\pi$ et développable
en série de Fourier. On donne son développement :

\[f(t) =  \dfrac{\pi}{4} + \displaystyle\sum_{n \geqslant 1}\left[\dfrac{(- 1)^n - 1}{\pi n^2} \cos (nt) + \dfrac{(- 1)^{n+1}}{n} \sin (nt)\right] \: \text{avec }\:t\: \text{réel quelconque}.\]

\begin{enumerate}
\item Quelle est la valeur du coefficient $a_0$ du développement en série de Fourier de $f$ ?

Exprimer en fonction de $n$ les coefficients $a_n$ et $b_n$ pour $n$ entier supérieur ou égal à 1.
\item Soit $S_N(t) = \dfrac{\pi}{4} + \displaystyle\sum_{n = 1}^{N}\left[\dfrac{(- 1)^n - 1}{\pi n^2} \cos (nt) + \dfrac{(- 1)^{n+1}}{n} \sin (nt)\right]$ la somme partielle de rang $N$ ($N$
entier supérieur ou égal à 1) de la série de Fourier.

Écrire $S_2(t)$. On cherchera à simplifier l'expression obtenue.
\item Parmi les spectres d'amplitude ci-dessous quel est celui associé à $f$ ? Expliquer.

On rappelle que $A_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2}$ pour $n \geqslant 1$ et $A_0 = \left|a_0\right|$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
Spectre 1 &Spectre 2&Spectre 3& Spectre 4\\
\psset{xunit=0.4cm,yunit=1.8cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,-0.1)(6,1.4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.2,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(6,1.4)
\psline[linewidth=1.5pt](0,0)(0,0.42)\psline[linewidth=1.5pt](1,0)(1,1.2)
\psline[linewidth=1.5pt](2,0)(2,0.5)\psline[linewidth=1.5pt](3,0)(3,0.37)
\psline[linewidth=1.5pt](4,0)(4,0.3)\psline[linewidth=1.5pt](5,0)(5,0.23)
\end{pspicture}&
\psset{xunit=0.4cm,yunit=1.8cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,-0.1)(6,1.4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.2,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(6,1.4)
\psline[linewidth=1.5pt](0,0)(0,0.8)\psline[linewidth=1.5pt](1,0)(1,0.5)
\psline[linewidth=1.5pt](2,0)(2,0.4)\psline[linewidth=1.5pt](3,0)(3,0.3)
\psline[linewidth=1.5pt](4,0)(4,0.23)\psline[linewidth=1.5pt](5,0)(5,0.2)
\end{pspicture}&\psset{xunit=0.4cm,yunit=1.8cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,-0.1)(6,1.4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.2,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(6,1.4)
\psline[linewidth=1.5pt](0,0)(0,0.8)\psline[linewidth=1.5pt](1,0)(1,1.2)
\psline[linewidth=1.5pt](2,0)(2,0.5)\psline[linewidth=1.5pt](3,0)(3,0.4)
\psline[linewidth=1.5pt](4,0)(4,0.3)\psline[linewidth=1.5pt](5,0)(5,0.23)
\end{pspicture}&
\psset{xunit=0.4cm,yunit=1.8cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,-0.1)(6,1.4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.2,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(6,1.4)
\psline[linewidth=1.5pt](0,0)(0,0.4)\psline[linewidth=1.5pt](1,0)(1,0.8)
\psline[linewidth=1.5pt](2,0)(2,0.5)\psline[linewidth=1.5pt](3,0)(3,0.35)
\psline[linewidth=1.5pt](4,0)(4,0.3)\psline[linewidth=1.5pt](5,0)(5,0.23)
\end{pspicture}
\end{tabularx}
\end{center}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 6 points}

\medskip

Dans un véhicule comportant un dispositif de régulation de la vitesse, le volet d'admission d'air du moteur thermique est contrôlé par le calculateur du véhicule. Les différentes informations issues des capteurs de position du volet d'admission d'air sont échantillonnées et numérisées par un convertisseur analogique-numérique (CAN) avant d'être traitées par un correcteur numérique.

Dans cet exercice on étudie la stabilité et la rapidité du correcteur numérique.

On note
\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $e(n)$ et $s(n)$ : les signaux causaux d'entrée et de sortie du correcteur numérique.
\item[$\bullet~~$] E$(z)$ et S$(z)$ : les transformées en Z de $e(n)$ et $s(n)$.
\item[$\bullet~~$] C$(z)$ : la fonction de transfert du correcteur. On admet que C$(z) = \dfrac{\text{S}(z)}{\text{E}(z)} = \dfrac{1,2z - 1,1}{z - 0,5}$.
\item[$\bullet~~$] T$_{\text{E}}$ : la période d'échantillonnage. T$_{\text{E}}$ est égale à 10 microsecondes (ms), soit à $10^{-5}$ s.
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,2)
\psline{->}(0,1)(2,1)\psline{->}(5,1)(7,1)
\psframe(2,0)(5,2)\rput(3.5,1){numérique}
\rput(3.5,1.5){Correcteur}
\rput(3.5,0.5){C$(z)$}
\uput[u](1,1){$e(n)$}\uput[u](6,1){$s(n)$}
\end{pspicture}
\end{center}

On rappelle quelques résultats concernant la transformée en Z :

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.8}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline
\textbf{Signal causal}& \textbf{Transformée en Z}\\ \hline
$n \longmapsto n$&$z \longmapsto \dfrac{z}{(z - 1)^2}$\\ \hline
$n \longmapsto  a^n$ avec $a$ réel non nul.& $z \longmapsto \dfrac{z}{z - a}$\\ \hline
\multicolumn{2}{|c|}{\textbf{Propriétés}}\\ \hline
$n \longmapsto x(n)$& $X(z) = \displaystyle\sum_{n=0}^{+ \infty} x(n)z^{-n}$\\ \hline
$y :  n \longmapsto  a^nx(n)$ avec $a$ réel non nul&$Y(z) = X\left(\dfrac{z}{a} \right)$\\ \hline
$y : n \longmapsto x\left(n - n_0\right)$ avec $n_0$ entier naturel&
$Y(z) = z^{-n_0} X(z)$\\ \hline
$y : n \longmapsto  x(n+ 1)$& $Y(z) = z[X(z)  - x(0)]$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer, en hertz, la fréquence d'échantillonnage.
\item Dans cette question, le signal causal $e(n)$ est l'impulsion unité. Il est donc défini par :

\[e(0) = 1 \quad \text{et}\quad  e(n) = 0\quad  \text{pour tout entier naturel}\: n \:\text{non nul.}\]

	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que : $S(z) = 2,2 - \dfrac{z}{z - 0,5}$.
		\item En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $s(n)$.
		
Préciser la valeur de $s(0)$ et celle de $s(n)$ pour $n$ non nul.
		\item Le système est dit stable si $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} s(n) = 0$. Ce système est-il stable ? Justifier.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, le signal causal $e(n)$ est quelconque.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que : $\left(1 - 0,5z^{-1}\right) S(z) = \left(1,2 - 1,1z^{-1}\right) \text{E}(z)$.
		\item En déduire que la relation de récurrence du correcteur est :
		
		\[s(n) = 1,2 e(n) - 1,1 e(n - 1) + 0,5 s(n - 1).\]
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, le signal causal $e(n)$ est le signal échelon unité :
	
	\[e(n) = 0 \: \text{si}\:  n < 0\quad  \text{et}\: e(n) = 1\: \text{sinon}.\]
	
On prendra $s(0) = 0$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $s(n)$ en fonction de $s(n - 1)$ pour $n \geqslant  1$.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L\\ \hline
1&$n$&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline
2&$s(n)$&0&&&&&&&&&&
\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item Quelle formule peut-on entrer dans la cellule C2 du tableur pour obtenir, en la recopiant vers la droite, les valeurs successives de $s(n)$ ?
		\item Compléter le tableau donné dans le document réponse. On arrondira au millième les valeurs demandées.
		\item À l'aide de ce tableau, conjecturer le sens de variation de $s(n)$ et la valeur de sa limite L quand $n$ tend vers $+ \infty$.
		\item Le correcteur est dit rapide si le temps nécessaire pour atteindre 99\,\% de la valeur limite de $s(n)$ est inférieur à 100~ms. Le correcteur est-il rapide ? Expliquer.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\begin{center}
\textbf{DOCUMENT RÉPONSE (à rendre obligatoirement avec la copie)}

\bigskip

\begin{flushleft}
\textbf{EXERCICE 1 - Question 4 d.}\end{flushleft}

\bigskip
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.16cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(23,62)
\multido{\n=0+1}{23}{\psline[linestyle=dashed](\n,0)(\n,62)}
\multido{\n=0+10}{7}{\psline[linestyle=dashed](0,\n)(23,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10]{->}(0,0)(23,62)
\uput[u](22.5,0){$t$}
\end{pspicture}

\vspace{0.5cm}

\begin{flushleft}
\textbf{EXERCICE 3 - Question 4 c.}\end{flushleft}

\bigskip

Tableau à compléter en arrondissant au millième.

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ \hline
$s(n)$&0&& 0,15& &0,188& 0,194& &&0,199& 0,200& 0,200\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}