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\def\Oij{$\left(\text{O};~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)\text{ }$} 
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} 
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$} 
\def\ode{équation différentielle }
\def\bin{binomiale }
\def\P{de Poisson }
\def\n{normale }
\def\et{écart-type }
\def\esp{espérance }
\def\ev{évènement }
\def\prel{prélèvement }
\def\va{variable aléatoire }
\def\p{probabilité }
\def\m{moyenne }
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\def\ic{intervalle de confiance }
\def\ci{condition initiale }
\def\t{tuyau }
\def\ts{tuyaux }
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\begin{document} 
\setlength\parindent{0mm}
\begin{center}
\begin{Large}\textbf{Sujet de mathématiques - BTS : Groupement D}\\[5pt]
% Analyses Biologiques - Biochimie - Biotechnologies - Hygiène, propreté, environnement - Métiers de l'eau - Peintures, encres et adhésifs - Plastiques et composites - Qualité dans les industries alimentaires et les bio-industries.\\

\textbf{Session 2009}
\end{Large}
\end{center}
\begin{center}
\textbf{Durée : 2 heures}
\end{center}
\bigskip
\bigskip
\textbf{La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.\\
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.\\
La calculatrice (conforme à la circulaire n$^\circ$99-186 du 16-11-99) est autorisée.\\
\; \\
Le formulaire de mathématiques est joint au sujet.\\
Une feuille de papier millimétré est fournie.\\
\hfill Ce sujet comporte 5 pages (y compris celle-ci)}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\vspace{3cm}
\textbf{EXERCICE 1 \hfill 9 points}

\begin{center}
\textbf{\textit{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.}}
\end{center}

\textit{Un industriel fabrique des \ts en PVC destinés à l'évacuation des eaux sanitaires des habitations.\\
\; \\
A. Loi \bin et approximation d'une loi \bin par une loi de \P}\\
\begin{center}
\textbf{Dans cette partie, les résultats approchés sont à arrondir à $10^{-3}$.}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item On s'intéresse à une livraison importante de \ts en PVC pour un grand groupe du secteur de la construction.\\
On note $E$ l'\ev : \og un tuyau prélevé au hasard dans la livraison est défectueux \fg .\\
On suppose que $P(E)=0,015$.\\
On prélève au hasard 20 \ts dans la livraison pour vérification. La livraison est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce \prel à un tirage avec remise de 20 \ts.\\
On considère la \va $X$ qui, à tout \prel ainsi défini, associe le nombre de \ts défectueux de ce \prel.\\
\begin{enumerate}
\item Justifier que la \va $X$ suit une loi \bin dont on déterminera les paramètres.\\
\item Calculer la \p que, dans un tel \prel, aucun des \ts ne soit défectueux.\\
\item Calculer la \p que, dans un tel \prel, deux tuyaux au plus soient défectueux.\\
\end{enumerate}

\item Les \ts sont expédiés dans les dépôts régionaux par lots de 200.\\
On prélève au hasard 200 \ts pour vérification dans un stock important. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce \prel à un tirage avec remise de 200 \ts.\\
On considère la \va $Y$ qui, à tout \prel de 200 \ts, associe le nombre de \ts de ce \prel qui sont défectueux.\\
On admet que $Y$ suit la loi \bin de paramètres 200 et 0,015.\\
\begin{enumerate}
\item On considère que la loi de $Y$ peut être approchée par une loi de \P.\\
Déterminer le paramètre $\lambda$ de cette loi de \P.\\
\item On désigne par $Z$ une \va suivant la loi de \P de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ a la valeur obtenue au a).\\
Calculer $P(Z \leqslant 4)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\textit{B. Loi \n}\\
\begin{center}
\textbf{Dans cette partie, les résultats approchés sont à arrondir à $10^{-2}$.}\\
\end{center}
Dans cette partie on s'intéresse au diamètre extérieur des \ts, exprimé en millimètres.\\

\begin{enumerate}
\item On note $D_1$ la \va qui, à tout \t prélevé au hasard dans la production d'une journée, associe son diamètre extérieur.\\
On suppose que la \va $D_1$ suit la loi \n de \m 40 et d'\et 0,2.\\
Un \t ne peut être commercialisé que lorsque son diamètre extérieur est compris entre 39,6 mm et 40,4 mm.\\
Calculer la \p qu'un \t prélevé au hasard dans la production de la journée soit commercialisable.\\

\item L'entreprise désire améliorer la qualité de la fabrication des \ts: il est envisagé de modifier le réglage des machines produisant les \ts.\\
On note $D_2$ la \va qui, à chaque \t prélevé au hasard dans la production journalière future, associera son diamètre. On suppose que la \va $D_2$ suit une loi \n de \m 40 et d'\et $\sigma$.\\
Déterminer $\sigma$ pour que la \p qu'un \t prélevé au hasard dans la production journalière future puisse être commercialisable soit égale à 0,99.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 11 points}

\begin{center}
\textbf{\textit{Les deux parties A et B de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}}
\end{center}
 
\vspace{1cm}
\textit{A. Résolution d'une \ode}\\
\; \\
On considère l'\ode $(E)$: 

\[2y'+y=8\mbox{ e}^{-0,5t},\]

où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$, définie et dérivable sur $\left[ 0;+\infty \right[$, et $y'$ la fonction dérivée de $y$.\\

\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions sur $\left[ 0;+\infty \right[$ de l'\ode $(E_0)$:
\[ 2y'+y=0 .\]
\item Soit $h$ la fonction définie sur $\left[ 0;+\infty \right[$ par $h(t)=4t\mbox{ e}^{-0,5t}$.\\
Démontrer que la fonction $h$ est une solution particulière de l'\ode $(E)$.\\
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'\ode $(E)$.\\
\item Déterminer la solution $f$ de l'\ode $(E)$ qui vérifie la \ci $f(0)=1$.\\

\end{enumerate}

\textit{B. \'Etude d'une fonction et calcul intégral}\\
\; \\
Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~15]$ par $f(t)=(4t+1)\mbox{ e}^{-0,5t}$.\\
\; \\
On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal \Oij.

Unités graphiques: 1 cm sur l'axe des abscisses, 4 cm sur l'axe des ordonnées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.\\
On admet que, pour tout nombre réel $t$ de $[0~;~15]$, $f'(t)=(3,5-2t)\mbox{ e}^{-0,5t}$.\\
\textbf{\textit{Ce résultat n'a pas à être démontré.}}\\
\begin{enumerate}
\item \'Etudier le signe de $f'(t)$ sur $\left[ 0;15 \right]$.\\
\item \'Etablir alors le tableau de variations de $f$.\\
\end{enumerate}
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ sur une feuille de papier millimétré.
\newpage
\item Soit $F$ la fonction définie sur $[0~;~15]$ par:
\[ F(t)=(-18-8t)\mbox{ e}^{-0,5t} .\]\\
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $[0~;~15]$.\\
\item On note $I=\displaystyle\int_0^{11}f(t)\; \text{d}t$.\\
Démontrer que $I=18-106\mbox{ e}^{-5,5}$.\\
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textit{C. Application des parties A et B}\\
\; \\
Dans une usine, on se propose de tester un nouveau modèle de hotte aspirante pour les laboratoires.\\
Avant de lancer la fabrication en série, on a réalisé l'expérience suivante avec un prototype: dans un local clos de volume 500 m$^3$, équipé du prototype de hotte aspirante, on diffuse du dioxyde de carbone (CO$_2$) à débit constant.\\
Dans ce qui suit, $t$ est le temps exprimé en minutes.\\
\`A l'instant $t=0$, la hotte est mise en marche. Les mesures réalisées permettent d'admettre qu'au bout de $t$ minutes de fonctionnement de la hotte, avec $0\leqslant t \leqslant 15$, le volume de dioxyde de carbone, exprimé en m$^3$, contenu dans le local est $f(t)$, où $f$ est la fonction définie dans la partie \textit{B}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le volume de dioxyde de carbone, en m$^3$, présent dans le local au moment de la mise en marche de la hotte aspirante.\\
\item L'atmosphère \og ordinaire \fg \, contient 0,035 \% de dioxyde de carbone, ce qui correspond pour le local où a été réalisée l'expérience à un volume de 0,175 m$^3$ de dioxyde de carbone.\\
\`A l'aide d'une lecture graphique sur la figure réalisée à la question \textit{B}.2$^\circ$, déterminer au bout de combien de temps de fonctionnement de la hotte aspirante l'atmosphère dans le local clos contenait un volume de dioxyde de carbone inférieur ou égal à 0,175 m$^3$.\\
\item Calculer le volume moyen $V_m$ de dioxyde de carbone présent dans le local pendant les 11 premières minutes de fonctionnement de la hotte aspirante. Donner la valeur exacte de $V_m$ puis la valeur approchée à $10^{-1}$.\\
\textit{La formule donnant la valeur moyenne d'une fonction est dans le formulaire ci-joint.}
\end{enumerate}
%Activer les lignes suivantes pour avoir le sujet complet, avec formulaire...
%\newpage
%\input{formulaire.tex} 
\end{document}