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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupement D}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Métropole Polynésie~\decofourright\\[5pt] Groupement D session 2006}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 12 points}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Les quatre parties peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

Une usine produit de l'eau minérale en bouteille. Lorsque le taux de calcium dans une bouteille dépasse 6,5 mg par litre, on dit que l'eau de cette bouteille est calcaire.

\textbf{Dans cet exercice, les résultats approchés sont, sauf indication contraire, à arrondir à}~\boldmath $10^{-3}$.\unboldmath 
\end{center}

\emph{A. Loi binomiale et loi de Poisson}\medskip

\medskip

Dans un stock important de bouteilles, 7,5\:\% des bouteilles contiennent de l'eau calcaire.

On prélève au hasard 40 bouteilles dans le stock pour vérification du taux de calcium. Le stock est assez important pour que l'on puisse
assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 40 bouteilles.

 On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 40 bouteilles, associe le nombre de bouteilles de ce prélèvement qui contiennent de l'eau calcaire.
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
\item On considère que la loi suivie par $X$ peut être approchée par une loi de Poisson.
Déterminer le paramètre $\lambda$ de cette  loi Poisson.
\item On désigne par $X_1$ une variable aléatoire suivant la loi de  Poisson de paramètre  $\lambda$, où  $\lambda$ est la valeur obtenue au \textbf{2.}.

Calculer $P(X_1\leqslant 4)$.

Traduire le résultat obtenu à l'aide d'une phrase.
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{B. Loi normale}

\medskip

L'eau minérale provient de deux sources, notées \og source 1 \fg{} et \og source 2 \fg. On rappelle que si le taux de calcium dépasse 6,5~mg par litre dans une bouteille, l'eau de cette bouteille est dite calcaire.

On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque bouteille prélevée au hasard dans la production de la source 1, associe le taux de calcium
de l'eau qu'elle contient. On suppose que la variable aléatoire $Y$ suit la loi normale de moyenne 5 et d'écart-type 1,5.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $P(Y\leqslant 6,5)$.
\item En déduire la probabilité que l'eau d'une bouteille prélevée au hasard dans la production de la source 1 soit calcaire.
\end{enumerate}

\medskip

\emph{C. Probabilités conditionnelles}

\medskip

On suppose que la probabilité qu'une bouteille prélevée au hasard dans la production d'une journée de la source 1 contienne de 
l'eau calcaire est de $p_1 = 0,16$ et que la probabilité qu'une bouteille prélevée au hasard dans la production de cette journée de la source 2 contienne de l'eau calcaire est de  $p_2 = 0,10$.

La source 1 fournit 70\,\%  de la production totale des bouteilles d'eau et la source 2 le reste de cette production.

On prélève au hasard une bouteille d'eau parmi la production totale de la journée.

Toutes  les bouteilles d'eau ont la même probabilité d'êtres tirées.\\
On définit les évènements suivants :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[A :] \og la bouteille d'eau provient de la source 1 \fg ;
\item[B :] \og la bouteille d'eau provient de la source 2 \fg ;
\item[C :] \og l'eau contenue dans la bouteille est calcaire \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déduire des informations figurant dans l'énoncé : 

$P(A)$,\:$P(B)$,\: $P(C/A)$,\: $P(C/B)$.

(On rappelle que $P(C/A) = P_A(C)$ est la probabilité de l'évènement $C$ sachant que l'évènement $A$  est réalisé.)
\item Calculer $P(C\cap A)$ et $P(C\cap B)$.
\item Déduire de ce qui précède $P(C)$.
\item Calculer la probabilité que l'eau contenue dans une bouteille provienne de la source 1 sachant qu'elle est calcaire.
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{D. Intervalles de confiance}

\medskip

Dans cette question on s'intéresse au taux de calcium de l'eau d'une grande quantité de bouteilles devant être livrées à une chaine
d'hypermarchés.

On prélève au hasard et avec remise un échantillon de 100 bouteilles dans cette livraison.

Soit $\overline{Z}$ la variable aléatoire qui, à toute échantillon de 100 bouteilles au hasard et avec remise dans  la livraison,
associe la moyenne des taux de calcium de l'eau contenue dans chacune des bouteilles de cet échantillon.

On suppose que $\overline{Z}$ suit la loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et d'écart type $\frac{\sigma}{10}$ avec $\sigma = 0,99$.

Pour l'échantillon prélevé, la moyenne obtenue, arrondie à ${10}^{-2}$, est $\overline{x} = 5,37$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item A partir des informations portant sur cet échantillon, donner une estimation ponctuelle de la moyenne $\mu$ des taux  de calcium de l'eau contenue dans chacune des bouteilles de la livraison.
\item Déterminer un intervalle de confiance centré sur $\overline{x}$ de la moyenne $\mu$ des taux de calcium de l'eau contenue dans chacune des bouteilles de la livraison, avec le coefficient de confiance de 95\,\%. Arrondir les bornes à ${10}^{-2}$.
\end{enumerate}

\newpage

{\large {\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}}}

\begin{center}
\textbf{Les parties A et B de cet exercice  peuvent être traitées de façon indépendante.}
\medskip
\end{center}

\emph{A. Résolution d'une équation différentielle}\medskip

\medskip

On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y' + 0,01y = 24$,

où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$, définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et $y'$ sa fonction dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
 \item Déterminer les solutions sur $[0,+\infty[$ de l'équation différentielle $(E_0)$ : $y' + 0,01y = 0$.
\item Déterminer la constante réelle $a$ pour que la fonction $g$ définie sur $[0~;~+\infty[$  par :

$g(t) = a$ soit une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.
\item Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.
\item Déterminer la solution $v$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie la condition initiale $v(0) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{B. Étude d'une fonction et calcul intégral}

\medskip

Soit $v$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par 
\[v(t) = \np{2400}\left(1 - \text{e}^{- 0,01t}\right).\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{t\rightarrow +\infty} v(t)$.
\item On désigne par $v'$ la fonction dérivée de la fonction $v$.

Calculer $v'(t)$ pour tout $t$ de $[0,+\infty[$.
\item Déduire de ce qui précède le sens de variation de la fonction $v$ sur $[0~;~+\infty[$.
\item Résoudre sur $[0~;~+\infty[$ l'équation $v(t)=1200$.

Donner  la valeur exacte de la solution, puis une valeur approchée arrondie à ${10}^{-1}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{C. Application des résultats de la partie B}

\medskip

Un réservoir contient  60 $m^3$ d'eau destinée à abreuver du bétail.

Dans ce qui suit, $t$ est le temps exprimé en heures.

À l'instant $t=0$, se déverse dans le réservoir une eau polluée par une substance $M$.

Un système de trop plein permet de conserver à tout instant à partir de l'instant $t = 0$ un volume de 60~m$^3$ dans le réservoir.

On admet, qu'à l'instant $t$ (exprimé en heures), le volume \textbf{exprimé en litres}, de substance polluante $M$ présente dans le réservoir est $v(t)$, où $v$ est la fonction définie dans la partie B.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  La santé du bétail est menacée lorsque le volume de substance $M$ dans le réservoir atteint  2\,\% du volume total
du réservoir. Déduire d'un résultat obtenu à la partie B la valeur de $t$ à partir de laquelle la santé du bétail est menacée par la présence dans le réservoir de substance $M$.
\item Le volume de substance $M$ dans le réservoir peut-il dépasser 4\,\% du volume du réservoir ? Justifier la réponse à 
l'aide d'un résultat de la partie B.
\end{enumerate}
\end{document}