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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture François Hache
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Groupement D1}}
\rfoot{\small{mai 2021}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~BTS Groupement D1\footnote{Analyses de biologie médicale, Bio analyses et contrôles, Biotechnologies, Europlastics et composites, Qualité dans les industries alimentaires et les bio-industries} -- mai 2021~\decofourright\\[7pt]Métropole -- Antilles--Guyane -- Polynésie}

\medskip

Durée : 2 heures

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 1 \hfill 10 points}

\medskip

Une usine agroalimentaire produit de la viande de bœuf hachée. On souhaite évaluer la durée de conservation de la viande de bœuf une fois hachée et conservée dans une chambre froide réglée à 0~\degres C.

\begin{center}
\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante}
\end{center}

\textbf{Partie A}

\medskip

Voici le relevé du nombre de germes putréfiants par centimètre carré $\left(\text{cm}^2\right)$ tous les cinq jours à la surface d'un échantillon de viande de bœuf hachée conservée dans la chambre froide.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de jours de 
conservation $t_i$		&0 			&5 			&10			&15&20\\ \hline
Nombre $N_i$ de germes 
putréfiants par cm$^2$	&\np{1000}	&\np{4000}	&\np{199000}&\np{5960000}&\np{48600000}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On effectue un changement de variable logarithmique : $z_i = \ln \left(N_i\right)$.

Compléter le tableau donné en \textbf{annexe 1 à rendre avec la copie}.  On arrondira lev valeurs au dixième.
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la  droite d'ajustement du nuage de points $M_i\left(t_i~;~z_i\right)$ par la méthode  des moindres  carrés, sous la forme $z =at + b$.

Les réels $a$ et $b$ seront arrondis au centième.
\item  Sur le graphique donné en \textbf{annexe 2 à rendre avec la copie} :
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points $M_i\left(t_i~;~z_i\right)$.
		\item Tracer la droite $D$ d'équation $z = 0,6t + 6,4$.
	\end{enumerate}
\item On considère que la droite $D$ est une droite d'ajustement du nuage de points $M_i\left(t_i~;~z_i\right)$ et que ce modèle reste valable jusqu'au 30\up{e} jour de conservation dans la chambre froide.

Donner une estimation du nombre de germes putréfiants par cm$^2$ sur l'échantillon de viande hachée si celui-ci est stocké et conservé pendant 25 jours dans la chambre froide. Arrondir au million
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par 

\[f(t) = 600\text{e}^{0,6t}.\]

On admet que la fonction  modélise le nombre de germe, par cm$^2$ sur la surface de la viande hachée conservée en chambre froide. Plus précisément, $f(t)$ est le nombre de germes par cm$^2$ sur la viande hachée après $t$ jours de conservation dans la chambre froide à 0~\degres C

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en  $+ \infty$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

Calculer $f'(t)$ pour tout réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
\item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item On définit le réel $m$ par $m = \dfrac{1}{10 - 5}\displaystyle\int_5^{10} f(t)\:\text{d}t$.
	\begin{enumerate}
		\item Sans la calculer interpréter la valeur du réel $m$ dans le contexte de l'exercice.
		\item Déterminer une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
		\item En déduire que $m = 200\text{e}^6 - 200\text{e}^3$.
	\end{enumerate}
\item On admet que la viande hachée peut être commercialisée si, lorsqu'elle quitte l'usine, la concentration de germes putréfiants à sa surface est strictement inférieure à \np{3000} germes par cm$^2$.
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'inéquation $f(t) < \np{3000}$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
		\item En déduire si l'usine peut conserver la viande de bœuf hachée produite en chambre froide plus de deux jours avant de la commercialiser.
	\end{enumerate}
\item  La viande hachée pourra ensuite être  vendue à des particuliers tant que le nombre de germes par cm$^2$ ne dépassera pas \np{27000}.

On appelle durée limite de consommation le nombre maximal de
de jours pendant lesquels cette viande peut être vendue à des particuliers.
	\begin{enumerate}
		\item En précisant la démarche employée. donner la valeur numérique affichée par l'algorithme ci-dessous :
		
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
$J \gets 0$\\
$N \gets 600$\\
TantQue $N \leqslant \np{27000}$\\
\hspace{1cm} $J \gets J + 1$\\
\hspace{1cm} $N \gets 600*\text{e}^{0,6*J}$\\
Fin Tant Que\\
Afficher $J$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
		\item Interpréter celle valeur dans le contexte de l'exercice
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante}

\medskip

Pour améliorer l'hygiène de baignade dans un spa, il est possible de traiter l'eau aux ultra-violets (UV). La lampe UV (Figure 1), placée dans une chambre de désinfection, diffuse des rayons ultra-violets en continu. En passant devant cette lampe, dans le système de filtration, l'eau est désinfectée et débarrassée
des micro-organismes.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=1.5pt 2}
\begin{pspicture}(7,5)
%\psgrid
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!30 ](0,0.8)(1.1,3.9)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!30 ](5.9,0.8)(7,3.9)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!50](1.1,1.1)(5.9,3.5)
\rput(1.7,4.3){ENTRÉE}\rput(5.1,4.3){ CHAMBRE DE DÉSINFECTION}
\rput(4.8,3.2){RAYONS UV}\rput(5.3,0.4){SORTIE}
\rput(5.3,0.1){(EAU DÉSINFECTÉE)}
\psframe[linewidth=0pt,fillstyle=solid,fillcolor=white](1.6,2)(5.9,2.5)
\pswedge[linewidth=0pt,fillstyle=solid,fillcolor=white](1.6,2.25){0.25}{90}{270}
\pslineByHand[linewidth=1.5pt](5.9,2.7)(1.8,2.7)(1.5,2.6)(1.2,2.5)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!50](5.9,2)(6.2,2.5)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray!85](6.2,2)(6.5,2.5)
\pslineByHand[linewidth=1.5pt](5.9,1.8)(1.8,1.8)(1.5,1.9)(1.2,2)(1.2,2.6)
\multido{\n=3.5+0.1}{4}{\psline(1.4,\n)(2,\n)}
\psframe(1.4,3.5)(2,3.9)
\multido{\n=0.7+0.1}{4}{\psline(5.1,\n)(5.7,\n)}
\psframe(5.1,0.7)(5.7,1.1)
\psline[linewidth=2pt]{->}(1.7,3.3)(1.7,2.8)
\psline[linewidth=2pt]{->}(3,3)(4,3)
\psline[linewidth=2pt]{->}(3,1.4)(4,1.4)
\psline[linewidth=2pt]{->}(5.4,1.5)(5.4,1.1)
\end{pspicture}

Figure 1. Schéma d'une chambre de désinfection équipée d'une lampe UV
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\emph{Les résultats seront donnés à } $10^{-3}$ \, \emph{près}

\medskip

Une étude effectuée sur l'ensemble des spas installés par un fabricant indique que :
\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item 40\,\% des spas sont équipés de lampe UV et, parmi eux, 2\,\% présentent un problème de filtration ;
\item Parmi les spas, non-équipés de lampe UV, 15\,\%  présentent un problème de filtration.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On choisit un spa au hasard parmi ceux installés par le fabricant. 

On note :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$~~]$L$ l'évènement \og le spa est équipé d'une lampe UV\fg{} ;
\item[$\bullet$~~]$F$ l'évènement \og le spa présente un problème de filtration \fg ;
\item[$\bullet$~~]$\overline{L}$ et $\overline{F}$ les évènements contraires respectifs des évènements $L$ et $F$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier sur la copie l'arbre pondéré ci-dessous et compléter les pointillés. 

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,levelsep=2.75cm]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$L$~~}\taput{\ldots}}
		{
		\TR{$F$}\taput{\ldots}
		\TR{\ldots}\tbput{\ldots}
		}
	\pstree{\TR{$\overline{L}$~~}\tbput{\ldots}}
		{
		\TR{\ldots}\taput{\ldots}
		\TR{$\overline{F}$}\tbput{\ldots}
		}
}
\end{center}

\item Montrer que la probabilité de l'évènement $F$ est égale à $0,098$.
\item Le spa choisi au hasard présente un problème de filtration. Calculer la probabilité que ce spa ne possède pas de lampe UV.
\item Lors d'une opération de maintenance sur un parc de $78$ spas installés par le fabriquant, un technicien comptabilise $12$ spas présentant un problème de filtration.
	\begin{enumerate}
		\item Donner une estimation ponctuelle $f$ de la proportion inconnue $p$ des spas installés par ce fabricant qui présentent un problème de filtration.
		\item Déterminer par un intervalle de confiance au seuil de 95\,\% cette proportion $p$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On s'intéresse désormais à la durée de vie des lampes UV. Celle-ci, exprimée en heures, est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ est un réel strictement positif.

On rappelle que la fonction de densité $f$ d'une telle variable aléatoire est donnée pour tout réel $t \geqslant 0$ par :
\[f(t) = \lambda \e^{- \lambda t}.\]

La courbe ci-dessous est la représentation graphique de la fonction de densité $f$.

\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.001cm,yunit=200cm,arrowsize=2pt 3,comma}
\begin{pspicture}(-1000,-0.002)(12400,0.031)
\multido{\n=0+200}{63}{\psline[linewidth=0.15pt](\n,0)(\n,0.032)}
\multido{\n=0+1000}{13}{\psline[linewidth=0.45pt](\n,0)(\n,0.032)}
\multido{\n=0.001+0.001}{32}{\psline[linewidth=0.15pt](0,\n)(12400,\n)}
\multido{\n=0.005+0.005}{6}{\psline[linewidth=0.45pt](0,\n)(12400,\n)}
\multido{\n=0.0000+0.005,\na=0.00000+0.00005}{7}{\uput[l](0,\n){\footnotesize \np{\na}}}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1000,Dy=0.1,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(12400,0.032)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1000,Dy=0.1,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(12400,0.03)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{12400}{0.00026 2.71828 0.00026 x mul neg exp mul 100 mul}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item À l'aide du graphique, justifier que : $\lambda = \np{0,00026}$.
\item On considère la proposition suivante : \og en moyenne, une lampe UV tombe en panne au bout de
\np{1000}~heures \fg.

Cette proposition est-elle vraie ? Justifier.
\item Montrer que la probabilité qu'une lampe n'ait pas eu de panne au cours des $500$ premières heures est égal à $\e^{-0,13}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Lors de l'utilisation des lampes UV, on constate que la probabilité de la durée d'utilisation
d'une lampe UV prise au hasard dépasse 1000 heures est $p = 0,77$.

On prélève au hasard un lot de 50 lampes dans la production, jugée suffisamment importante pour assimiler ce choix à un tirage avec remise. On appelle $Y$ la variable aléatoire qui, à un échantillon de 50 lampes UV de la production, associe le nombre de lampes UV dont la durée d'utilisation dépasse 1000 heures.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
\item Déterminer l'arrondi à $10^{-3}$ de la probabilité $P(Y  \geqslant 42)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Calculer l'espérance de la variable aléatoire $Y$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\large Annexe 1 à rendre avec la copie~: Exercice 1~-~Partie A~-~Question 1}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}%
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de jours de conservation $t_i$		&0		&5		&10		    &15			&20\\\hline
Nombre $N_i$ de germes putréfiants par cm$^2$	&\np{1000}&\np{4000}&\np{199000}&\np{5960000}&\np{48600000}\\ \hline
$z_i = \ln{N_i}$		 & \rule[-15pt]{0pt}{30pt}			&			 &			 &		&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\vspace{2cm}
\textbf{\large Annexe 2 à rendre avec la copie~: Exercice 1~-~Partie A~-~Question 3}

\begin{center}
\psset{unit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(35,26)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.1pt](0,0)(35,25)
\multido{\n=0+5}{8}{\psline[linewidth=0.6pt](\n,0)(\n,25)}
\multido{\n=0+5}{6}{\psline[linewidth=0.6pt](0,\n)(35,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(35,25)
\uput[d](28.5,-1.5){$t_i$ nombre de jours de conservation}
\uput[r](0,26){$z_i = \ln N_i$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}