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%Tapuscrit : Denis Vergès 
%Corrigé par Y. Moncheaux 
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupement C :}}
\rfoot{\small{13 mai 2015}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center}{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur mai  2015 Groupement C }}

\vspace{0,25cm}

{\large Les deux exercices sont indépendants}   
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 9 points}

\medskip

\parbox{0.55\linewidth}{Une étude est menée concernant la suspension de véhicules. On
considère que la suspension d'un véhicule est constituée, au niveau de
chaque roue, d'un ressort et d'un amortisseur (voir figure).
Pour un véhicule donné, le déplacement vertical des suspensions, en cas
de sollicitation, dépend du coefficient d'amortissement $\lambda$.}\hfill\parbox{0.38\linewidth}{
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(1.4,0.4)(7,6.5)
%\psgrid
\psline(3.8,5.6)(3.8,6.7)
%\psline(5.6,4.9)(7,4.9)
\psarc(3.5,4.9){1.8}{0}{180}
\pscircle(3.5,1.4){1.}
\psline(3.5,2.4)(3.5,3.2)
\cnode(3.5,3.2){0.1}{A}\cnode(3.5,5.6){0.1}{B}
\nccoil[coilwidth=.2]{A}{B}
%\pszigzag(3.5,3.2)(3.5,5.6)
\psline(3.5,5.6)(4.3,5.6)(4.3,4)
\psline(4.1,4)(4.5,4)
\psline(4.1,4.8)(4.1,3.4)(4.5,3.4)(4.5,4.8)
\psline(4.3,3.4)(4.3,3.1)(3.5,3)
\rput(2,4.3){ressort}\rput(3,4.3){$\to$}
\rput(6.2,4){amortisseur}\rput(4.8,3.9){$\leftarrow$}
\rput(6,1.2){roue}\rput(5,1.2){$\leftarrow$}
\end{pspicture}}
\medskip

En laboratoire, on étudie le comportement de différents véhicules quand on les écarte de leur
position d'équilibre. Le chronomètre est déclenché au moment où le ressort est étiré de 10~cm.

\bigskip

\textbf{Partie 1 : Différents cas d'amortisseurs}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparaison de deux amortisseurs

On modélise le déplacement vertical du centre d'inertie du véhicule par rapport à sa position
d'équilibre (exprimé en centimètre), en fonction du temps (exprimé en seconde) par la
fonction $f$ dont la représentation graphique dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous,
pour deux valeurs différentes $\lambda_1$ et $\lambda_2$ du coefficient d'amortissement.

Lorsque $t$ représente un temps exprimé en seconde, $f(t)$ représente le déplacement vertical
du centre d'inertie à l'instant $t$.

\begin{center}
\def\pshlabel#1{\footnotesize#1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize#1}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\psset{xunit=2.8cm,yunit=0.3cm,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-0.2,-6)(1.8,12)
\multido{\n=0.0+0.2}{10}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.1pt](\n,-6)(\n,12)}
\multido{\n=-6+2}{10}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.1pt](0,\n)(1.8,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.2,Dy=2]{->}(0,0)(-0.19,-6)(1.8,12)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1.8}{10*cos(20*x)*2.71828^(-5*x)}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}&
\psset{xunit=2.8cm,yunit=0.3cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.2,-2)(1.8,16)
\multido{\n=0.0+0.2}{10}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.1pt](\n,-2)(\n,12)}
\multido{\n=-2+2}{8}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.1pt](0,\n)(1.8,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.2,Dy=2]{->}(0,0)(-0.09,-2)(1.8,12)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1.8}{10 x mul 10 add 2.71828 x 5 mul neg exp mul}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}\\
Courbe $C_1$ avec le coefficient d'amortissement $\lambda_1$&Courbe $C_2$ avec le coefficient d'amortissement $\lambda_2$\\
\end{tabularx}
\end{center}



	\begin{enumerate}
		\item Dans chacun des deux cas, décrire le comportement du véhicule à l'aide du graphique.
		\item Quel coefficient d'amortissement est-il plus intéressant d'avoir? Expliquer.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on s'intéresse à un autre amortisseur. Pour la valeur du coefficient
d'amortissement qui lui correspond, le véhicule est ramené à sa position d'équilibre en un
temps minimum et sans oscillation. On parle alors d'amortissement critique. On admet que
la fonction donnant le déplacement vertical du centre d'inertie du véhicule par rapport à sa
position d'équilibre, en fonction du temps, est alors solution de l'équation différentielle
$(E)$ :

\[y'' + 40y' + 400y = 0.\]

où $y$ désigne une fonction de la variable $t$, définie et deux fois dérivable sur l'intervalle
$[0~;~+ \infty[$.
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation différentielle $(E) \:: \: y'' + 40y' + 400y = 0$.
		
On rappelle les formules suivantes :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|X|}\hline
Équations									&Solutions sur un intervalle $I$\\ \hline
\multicolumn{1}{|c|}{$ay'' + by' + cy = 0$}	&Si $\Delta > 0,\: f(t) = \lambda\text{e}^{r_1t} + \mu \text{e}^{r_2t}$ où $r_1$ et $r_2$ sont les racines de l'équation caractéristique.\\
\multicolumn{1}{|l|}{Équation caractéristique :}					&Si $\Delta = 0,\: f(t) = (\lambda t + \mu)\text{e}^{rt}$ où $r$ est la racine double de l'équation caractéristique.\\
\multicolumn{1}{|c|}{$ar^2 + br + c = 0$}&Si $\Delta < 0,\: $
$f(t) = [\lambda \cos (\beta t) + \mu \sin (\beta t)]\text{e}^{\alpha t}$\\
\mbox{de discriminant $\Delta$.} & où $r_1 = \alpha + \text{i}\beta$ et $r_2 = \alpha - \text{i}\beta$ sont les racines complexes conjuguées de l'équation caractéristique.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Déterminer la fonction $f$, solution de l'équation différentielle $(E)$, qui vérifie $f(0) = 10$ et $f'(0) = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 2 : Étude dans le cas d'un amortissement critique}

\medskip

On considère la fonction $f$ dérivable sur $[0~;~+ \infty[$, définie par : 

\[f(t) = (200t + 10)\text{e}^{- 20t}\]

dont la courbe représentative $C_f$ dans un repère orthogonal est donnée en annexe 1.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, déterminer les variations de $f$ ainsi que les coefficients directeurs des
tangentes à la courbe aux points d'abscisses respectives $0$ et $0,4$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout $t$ de $[0~;~+ \infty[$ on a $f'(t) = - \np{4000}t\text{e}^{- 20t}$.
		\item Indiquer, en justifiant, si les trois résultats obtenus graphiquement à la question 1. sont
confirmés.
	\end{enumerate}
\item On admet que cette fonction $f$ est celle qui donne le déplacement vertical par rapport à sa
position d'équilibre, en centimètre, du centre d'inertie du véhicule équipé de l'amortisseur
étudié à la question 2. Partie 1, en fonction du temps, exprimé en seconde.

Déterminer graphiquement au bout de combien de temps le déplacement vertical du centre
d'inertie du véhicule par rapport à sa position d'équilibre sera inférieure au dixième du
déplacement initial.
\item On donne ci-dessous une copie d'écran obtenue à l'aide d'un logiciel de calcul formel :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\fbox{1} integrer(($200*t+10)*\text{exp}(-20*t), t)$\\ \hline
\multicolumn{1}{|c|}{$\frac{(-4000*t -400)*\text{exp}(-20 *t)}{400}$}\\ \hline
\fbox{2} simplifier$(((-4000*t-400)*\text{exp}(-20*t))/400)$\\ \hline
\multicolumn{1}{|c|}{$-10*t*\text{exp}(-20*t)-\text{exp}(-20*t)$}\\ \hline
\fbox{3} factoriser$(-10*t*\text{exp}(-20*t)-\text{exp}(-20*t)$\\ \hline
\multicolumn{1}{|c|}{$(-\text{exp}(-20*t))*(10*t+1)$}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Que représente la fonction $F$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $F(t) = -(10t + 1)\text{e}^{- 20t}$ relativement à la fonction $f$ ?
		\item En déduire le déplacement moyen du centre d'inertie du véhicule entre les instants
$t = 0$ s et $t = 0,4$ s.
\newline
		On rappelle que la valeur moyenne d'une fonction $f$ sur le segment $[a~;~b]$ est $\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(t)\:\text{d}t$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 11 points}

\medskip

Dans une société italienne de fabrication de carrelage, on effectue différents types de tests de
contrôle de qualité afin de vérifier si le carrelage fabriqué est conforme aux normes en vigueur.

\bigskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

À l'issue de tests, la société estime qu'il y a 3\,\% de carreaux défectueux dans la production. Soit $X$
la variable aléatoire qui, à tout lot de 100~carreaux prélevés au hasard dans la production, associe le
nombre de carreaux défectueux. La production étant importante, on peut assimiler ces prélèvements
à des tirages avec remise.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
\item On prélève un lot de 100 carreaux.
Déterminer la probabilité qu'il y ait :
	\begin{enumerate}
		\item Deux carreaux défectueux dans un lot.
		\item Au plus huit carreaux défectueux dans un lot.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

Un lot de carreaux de la société italienne est livré chez un fournisseur. À l'arrivée, celui-ci constate
que certains carreaux présentent des défauts qui peuvent être de deux types :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item premier type de défaut : le carreau a un défaut de fabrication,
\item deuxième type de défaut : le carreau a subi des dommages pendant le transport. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Une étude statistique a permis d'établir que dans le lot livré, il y a 5\,\% de carreaux qui ont subi des
dommages lors du transport et parmi ceux-ci 20\,\% présentent un défaut de fabrication.

Soit $T$ l'évènement : \og le carreau a subi des dommages pendant le transport \fg,
\newline
\hphantom{Soit }$F$ l'évènement : \og le carreau a un défaut de fabrication \fg.

Calculer la probabilité qu'un carreau prélevé dans le lot livré ne présente aucun défaut.

On rappelle que 3\,\% des carreaux produits dans la société italienne ont un défaut de fabrication.

\bigskip

\textbf{Partie 3}

\medskip

La norme DIN \np{51130} permet d'évaluer le caractère antidérapant d'un sol.

Après des tests préliminaires servant d'étalonnage, une personne chaussée de chaussures
normalisées marche en avant puis en arrière sur un plan incliné recouvert du sol à tester. Le plan est
recouvert d'huile et progressivement incliné jusqu'à ce que la personne glisse. Cette méthode
détermine ainsi l'angle d'inclinaison maximale qui caractérise la résistance au glissement du
revêtement.

La société italienne effectue une série de tests sur les carreaux qu'elle produit, dont celui concernant
la résistance au glissement. On désigne par $G$ la variable aléatoire qui, à tout carreau prélevé au
hasard dans la production, associe l'angle d'inclinaison maximale qui caractérise la résistance au
glissement selon la norme DIN \np{51130}. On admet que $G$ suit une loi normale d'espérance $m$ et d'écart type $\sigma$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on suppose que $m = 14,5$ et $\sigma = 2$.
Un carreau est classé $R_{10}$ si l'angle d'inclinaison maximale qui caractérise sa résistance au glissement selon la norme DIN \np{51130} est compris entre 10 et 19 degrés.

Calculer la probabilité qu'un carreau prélevé au hasard dans la production soit conforme à la classification $R_{10}$.
\item Dans cette question, on suppose que $m = 14,5$ et on cherche à déterminer $\sigma$.

Déterminer la valeur arrondie à $10^{-1}$ près de $\sigma$ telle que $P(10 \leqslant  G \leqslant 19) = 0,99$.
\item La société italienne réalise dorénavant un nouveau type de finition sur le carrelage pour
lequel elle pense que l'angle d'inclinaison maximale qui caractérise la résistance au
glissement sera supérieur à 14,5~\degres. Elle décide de réaliser un test afin de vérifier la véracité
de cette amélioration de la résistance au glissement. 

Pour cela, un test unilatéral de validité d'hypothèse est élaboré, destiné à savoir si l'on peut considérer au seuil de 3\,\% que l'angle moyen d'inclinaison maximale sur la nouvelle production de carrelage est strictement supérieur à 14,5~\degres.

Soit $\overline{G}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 100~carrelages de la production,
associe la valeur moyenne de l'angle d'inclinaison maximale lors du test. On admet que $\overline{G}$
suit une loi normale d'espérance $m$ et d'écart type $\sigma = 0,2$.

On choisit l'hypothèse alternative $H_1 : \og m > 14,5 \fg$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'hypothèse nulle $H_0$.
		\item Sous cette hypothèse nulle, on obtient avec un tableur, les résultats donnés en
annexe 2.

Déterminer approximativement la valeur de $a$ tel que $P\left(\overline{G} \leqslant a\right) = 0,97$.
		\item Énoncer la règle de décision de ce test.
		\item Lors d'un test effectué sur un prélèvement de 100~carreaux dans la production, on
obtient les angles d'inclinaison maximale suivants :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Angle d'inclinaison maximale (en degrés)&
10& 11& 12& 13 &14 &15 &16 &17 &18\\ \hline
Effectifs& 2 &3 &5 &14 &20 &21 &15 &15 &5\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Peut-on estimer, au seuil de 3\,\%, que la nouvelle finition améliore l'angle d'inclinaison maximale ?
		\item Des observations futures prouveront qu'en fait, pour les échantillons de 100~carreaux
produits selon le nouveau procédé de finition, la variable $\overline{G}$ suit une loi normale
d'espérance $m = 15$ et d'écart-type $\sigma = 0,2$.

Dans ces conditions, on obtient : $P\left(\overline{G} < 14,88\right) \approx  0,27$.

Interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}

\textbf{Annexe 1 :}

\bigskip

\textbf{Exercice 1, Partie 2}

\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\psset{xunit=22cm,comma=true,yunit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-0.04,-1)(0.5,11)
\multido{\n=0.00+0.02}{25}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,11)}
\multido{\n=0+1}{12}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](0,\n)(0.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.04]{->}(0,0)(0,0)(0.5,11)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{0.5}{200 x mul 10 add 2.71828 20 x mul exp div}
\uput[r](0.06,7){$C_f$}
\end{pspicture}

\vspace{1cm}

\textbf{Annexe 2 :}

\bigskip

\textbf{Exercice 2, Partie 3 question 3. b.}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{X|}}\hline
\multicolumn{2}{|c|}{B2}&\multicolumn{4}{|l|}{ =LOI.NORMALE(A2;14,5;0,2;1)}\\ \hline
	&A &B &C &D &E\\ \hline
1	&$x$&$P(X \leqslant x)$	&&&\\ \hline
2	& 14,75& \np{0,89435}	&&&\\ \hline
3	& 14,76& \np{0,90320}	&&&\\ \hline
4	& 14,77& \np{0,91149}	&&&\\ \hline
5	& 14,78& \np{0,91924}	&&&\\ \hline
6	& 14,79& \np{0,92647}	&&&\\ \hline
7	& 14,80& \np{0,93319}	&&&\\ \hline
8	& 14,81& \np{0,93943}	&&&\\ \hline
9	& 14,82& \np{0,94520}	&&&\\ \hline
10	& 14,83& \np{0,95053}	&&&\\ \hline
11	& 14,84& \np{0,95543}	&&&\\ \hline
12	& 14,85& \np{0,95994}	&&&\\ \hline
13	& 14,86& \np{0,96407}	&&&\\ \hline
14	& 14,87& \np{0,96784}	&&&\\ \hline
15	& 14,88& \np{0,97128}	&&&\\ \hline
16	& 14,89& \np{0,97441}	&&&\\ \hline
17	& 14,90& \np{0,97725}	&&&\\ \hline
18	& 14,91& \np{0,97982}	&&&\\ \hline
19	& 14,92& \np{0,98214}	&&&\\ \hline
20	& 14,93& \np{0,98422}	&&&\\ \hline
21	& 14,94& \np{0,98610}	&&&\\ \hline
22	& 14,95& \np{0,98778}	&&&\\ \hline
23	& 14,96& \np{0,98928}	&&&\\ \hline
24	& 14,97& \np{0,99061}	&&&\\ \hline
25	&	   &				&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}