%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-text,pstricks,pst-plot} \usepackage{graphicx} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole--Antilles--Guyane} \lfoot{\small{Groupement B1}} \rfoot{\small{juin 2006}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Métropole ~\decofourright\\[5pt] Groupement B1 session 2006} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} \begin{center} \textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.} \end{center} \emph{A. Résolution d'une équation différentielle} \medskip On considère l'équation différentielle (E) : \[y'' - 3 y' - 4 y = - 5 \text{e}^{- x}\] où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R,~y'$ la fonction dérivée de $y$ et $y''$ sa fonction dérivée seconde. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle \[(\text{E}_0) ~~:\quad y''- 3y'- 4y = 0.\] \item Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x)=x\text{e}^{-x}$. Démontrer que la fonction $h$ est une solution particulière de l'équation différentielle (E). \item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E). \item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle (E) qui vérifie les conditions initiales $f(0) = 2$ et $f'(0) = -1$. \end{enumerate} \bigskip \emph{B. Étude locale d'une fonction} \medskip La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormal \Oij, de la fonction $f$ définie sur $\R$ par \[f(x) = (x + 2)\text{e}^{-x}.\] \begin{center} \psset{unit=1.1cm} \begin{pspicture}(-4.1,-4.1)(4.1,4.1) \psaxes{->}(0,0)(-4.1,-4.1)(4.1,4.1) \psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-2.375}{4}{x 2 add 2.71828 x exp div} \psgrid[subgriddiv=1,griddots=10,gridlabels=0pt,gridcolor=orange](-4,-4)(4,4) \rput(-0.3,-0.3){O} \rput(3.8,-0.4){$x$} \rput(-0.3,3.8){$y$} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que le développement limité à l'ordre 3, au voisinage de 0, de la fonction $f$ est \[f(x) = 2 - x+\dfrac{x^3}{6}+x^3\varepsilon(x)~ \text{ avec } \lim_{x \to 0} \varepsilon(x) = 0.\] \item Déduire du \textbf{1} une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0. \item Étudier la position relative de $\mathcal{C}$ et $T$ au voisinage du point d'abscisse $0$. \end{enumerate} \bigskip \emph{C. Calcul intégral} \medskip On note $I= \displaystyle\int_{0}^{0,6} f(x)\:\text{d}x$. \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que $I = 3 - 3,6\text{e}^{-0,6}$. \item Donner la valeur approchée arrondie à $10^{-3}$ de $I$. \item Donner une interprétation graphique du nombre $I$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 9 points} \medskip Une entreprise fabrique des chaudières de deux types : \qquad -- des chaudières dites \og à cheminée \fg, \qquad -- des chaudières dites \og à ventouse \fg. \begin{center} \textbf{Les quatre parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.} \end{center} \emph{A. Ajustement affine} \medskip Le nombre de chaudières fabriquées lors des années précédentes est donné par le tableau suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Rang de l'année : $x_i$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\hline Nombre de chaudières fabriquées par milliers : $y_i$ & 15,35 & 15,81 & 16,44 & 16,75 & 17,19 & 17,30 \\\hline \end{tabularx} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide d'une calculatrice, déterminer: \begin{enumerate} \item le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique double de variables $x$ et $y$; arrondir à $10^{-2}$ ; \item déterminer une équation de la droite de régression de $y$ en $x$, sous la forme $y = ax + b$, où $a$ sera arrondi à $10^{-3}$ et $b$ sera arrondi à l'unité. \end{enumerate} \item En supposant que la tendance observée se poursuive pendant deux années, estimer le nombre de chaudières qui seront fabriquées l'année de rang 7. \end{enumerate} \bigskip \emph{B. Probabilités conditionnelles} \medskip L'entreprise a fabriqué en un mois $900$ chaudières à cheminée et $600$ chaudières à ventouse. Dans ce lot, 1\,\% des chaudières à cheminée sont défectueuses et 5\,\% des chaudières à ventouse sont défectueuses. On prélève au hasard une chaudière dans la production de ce mois. Toutes les chaudières ont la même probabilité d'être prélevées. On considère les évènements suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item $A$ : \og La chaudière est à cheminée \fg{} ; \item $B$ : \og La chaudière est à ventouse \fg{} ; \item $D$ : \og La chaudière présente un défaut \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer $P(A)$, $P(B)$, $P(D/A)$ et $P(D/B)$. \item Calculer $P(D\cap A)$ et $P(D\cap B)$. \item En remarquant que $D = (D\cap A)\cup(D\cap B)$ et que les événements $D\cap A$ et $D\cap B$ sont incompatibles, calculer $P(D)$ et $P(\bar{D})$. \end{enumerate} \bigskip \emph{C. Loi normale} \medskip Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque chaudière à cheminée prélevée au hasard dans la production, associe sa durée de fonctionnement en années. On admet que $X$ suit la loi normale de moyenne 15 et d'écart type 3. Une chaudière est dite \og amortie \fg{} si sa durée de fonctionnement est supérieure ou égale à 10 ans. \smallskip Calculer la probabilité qu'une chaudière prélevée au hasard dans la production soit \og amortie \fg{} ; arrondir à $10^{-3}$. \bigskip \emph{D. Intervalle de confiance} \medskip On considère un échantillon de $100$ chaudières prélevées au hasard dans un stock important. Ce stock est assez important pour qu'on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise. On constate que 94~chaudières sont sans aucun défaut. \medskip \begin{enumerate} \item Donner une estimation ponctuelle de la fréquence inconnue $p$ des chaudières de ce stock qui sont sans aucun défaut. \item Soit $F$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de $100$ chaudières prélevées au hasard et avec remise dans ce stock, associe la fréquence des chaudières de cet échantillon qui sont sans aucun défaut. On suppose que $F$ suit la loi normale de moyenne $p$ et d'écart type $\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{100}}$, où $p$ est la fréquence inconnue des chaudières du stock qui sont sans aucun défaut. Déterminer un intervalle de confiance de la fréquence $p$ avec le coefficient de confiance 95\,\%. Arrondir les bornes à $10^{-2}$. \item On considère l'affirmation suivante : \og la fréquence $p$ est obligatoirement dans l'intervalle de confiance obtenu à la question \textbf{2} \fg. Est-elle vraie ? (On ne demande pas de justification.) \end{enumerate} \end{document}