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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole--Antilles--Guyane}
\lfoot{\small{Groupement B1}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Métropole ~\decofourright\\[5pt] Groupement B1 session 2006}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\begin{center}
\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}
\end{center}

\emph{A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle (E) :

\[y'' - 3 y' - 4 y = - 5 \text{e}^{- x}\]

où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R,~y'$ la fonction dérivée de $y$ et $y''$ sa fonction dérivée seconde.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle
 
\[(\text{E}_0) ~~:\quad  y''- 3y'- 4y = 0.\]

\item Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x)=x\text{e}^{-x}$.

Démontrer que la fonction $h$ est une solution particulière de l'équation différentielle (E).
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).
\item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle (E) qui vérifie les conditions initiales $f(0) = 2$ et $f'(0) = -1$.
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{B. Étude locale d'une fonction}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormal \Oij, de la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = (x + 2)\text{e}^{-x}.\]

\begin{center}
\psset{unit=1.1cm}
\begin{pspicture}(-4.1,-4.1)(4.1,4.1)
\psaxes{->}(0,0)(-4.1,-4.1)(4.1,4.1)
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-2.375}{4}{x 2 add  2.71828 x exp div}
\psgrid[subgriddiv=1,griddots=10,gridlabels=0pt,gridcolor=orange](-4,-4)(4,4)
\rput(-0.3,-0.3){O}
\rput(3.8,-0.4){$x$}
\rput(-0.3,3.8){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le développement limité à l'ordre 3, au voisinage de 0, de la fonction $f$ est

\[f(x) = 2 - x+\dfrac{x^3}{6}+x^3\varepsilon(x)~ \text{ avec } \lim_{x \to 0} \varepsilon(x) = 0.\]

\item Déduire du \textbf{1} une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.
\item Étudier la position relative de $\mathcal{C}$ et $T$ au voisinage du point d'abscisse $0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{C. Calcul intégral}

\medskip

On note $I= \displaystyle\int_{0}^{0,6} f(x)\:\text{d}x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que $I = 3 - 3,6\text{e}^{-0,6}$.
\item Donner la valeur approchée arrondie à $10^{-3}$ de $I$.
\item Donner une interprétation graphique du nombre $I$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}

\medskip

Une entreprise fabrique des chaudières de deux types :

\qquad -- des chaudières dites \og à cheminée \fg,

\qquad -- des chaudières dites \og à ventouse \fg.

\begin{center}
\textbf{Les quatre parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}
\end{center}

\emph{A. Ajustement affine}

\medskip

Le nombre de chaudières fabriquées lors des années précédentes est donné par le tableau suivant :

\begin{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Rang de l'année : $x_i$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\hline
Nombre de chaudières fabriquées par milliers : $y_i$ & 15,35 & 15,81 & 16,44 & 16,75 & 17,19 & 17,30
\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide d'une calculatrice, déterminer:
	\begin{enumerate}
		\item  le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique double de variables $x$ et $y$;
arrondir à $10^{-2}$ ;
		\item  déterminer une équation de la droite de régression de $y$ en $x$, sous la forme $y = ax + b$,
où $a$ sera arrondi à $10^{-3}$ et $b$ sera arrondi à l'unité.
	\end{enumerate}
\item En supposant que la tendance observée se poursuive pendant deux années, estimer le nombre de chaudières qui seront fabriquées l'année de rang 7.
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{B. Probabilités conditionnelles}

\medskip

L'entreprise a fabriqué en un mois $900$ chaudières à cheminée et $600$ chaudières à ventouse.

Dans ce lot, 1\,\% des chaudières à cheminée sont défectueuses et 5\,\% des chaudières à ventouse sont défectueuses.

On prélève au hasard une chaudière dans la production de ce mois.

Toutes les chaudières ont la même probabilité d'être prélevées.

On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  $A$ : \og La chaudière est à cheminée \fg{} ;
\item  $B$ : \og La chaudière est à ventouse \fg{} ;
\item  $D$ : \og La chaudière présente un défaut \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $P(A)$, $P(B)$, $P(D/A)$ et $P(D/B)$.
\item Calculer $P(D\cap A)$ et $P(D\cap B)$.
\item En remarquant que $D = (D\cap A)\cup(D\cap B)$ et que les événements $D\cap A$ et $D\cap B$ sont incompatibles, calculer $P(D)$ et $P(\bar{D})$.
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{C. Loi normale}

\medskip

Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque chaudière à cheminée prélevée au hasard dans la production, associe sa durée de fonctionnement en années.

On admet que $X$ suit la loi normale de moyenne 15 et d'écart type 3.

Une chaudière est dite \og amortie \fg{} si sa durée de fonctionnement est supérieure ou égale à 10 ans.

\smallskip

Calculer la probabilité qu'une chaudière prélevée au hasard dans la production soit \og amortie \fg{} ; arrondir à $10^{-3}$.

\bigskip

\emph{D. Intervalle de confiance}

\medskip

On considère un échantillon de $100$ chaudières prélevées au hasard dans un stock important.

Ce stock est assez important pour qu'on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise.

On constate que 94~chaudières sont sans aucun défaut.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner une estimation ponctuelle de la fréquence inconnue $p$ des chaudières de ce stock qui sont sans aucun défaut.

\item Soit $F$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de $100$ chaudières prélevées au hasard et avec remise dans ce stock, associe la fréquence des chaudières de cet échantillon qui sont sans aucun défaut.

On suppose que $F$ suit la loi normale de moyenne $p$ et d'écart type $\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{100}}$, où $p$ est la fréquence inconnue des chaudières du stock qui sont sans aucun défaut.

Déterminer un intervalle de confiance de la fréquence $p$ avec le coefficient de confiance 95\,\%. Arrondir les bornes à $10^{-2}$.
\item On considère l'affirmation suivante : \og la fréquence $p$ est obligatoirement dans l'intervalle de confiance obtenu à la question \textbf{2} \fg.

Est-elle vraie ? (On ne demande pas de justification.)
\end{enumerate}
\end{document}