\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \usepackage{graphicx} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS Groupement A Métropole}, pdftitle = {2000}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \setlength\parindent{0mm} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur S} \lfoot{\small{Groupement A}} \rfoot{\small{2000}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~BTS Groupement A Métropole mai 2000~\decofourright\\}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points} \medskip \emph{Les objectifs de cet exercice sont d'obtenir le développement en série de Fourier d 'une fonction puis d'utiliser ce développement pour obtenir les sommes de deux séries numériques.} \medskip On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\R$, paire, périodique de période $\pi$, telle que : \[f(t) = \dfrac{\pi}{2} t \quad \text{si}\: t\: \text{appartient à l'intervalle }\: \left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]\] \begin{enumerate} \item Tracer la représentation graphique de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-\pi~;~\pi]$. \item Déterminer les coefficients de Fourier réels associés à la fonction $f$. On précisera la valeur de $a_n$ suivant la parité de l'entier non nul $n$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $f$ vérifie les conditions d'application du théorème de Dirichlet. \item Soit $S(t) = \dfrac{\pi^2}{8} - \displaystyle\sum_{p=0}^{+ \infty} \cos[2(2p+1)t]$. Donner, en la justifiant, la valeur de $S(t)$ sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ puis sur $\left[\dfrac{\pi}{2}~;~\pi\right]$. \end{enumerate} \item Soient les séries numériques, convergentes, de terme général \[u_p = \dfrac{1}{(2p + 1)^2} \quad \text{et}\quad v_p = \dfrac{1}{(2p + 1)^4}\quad (p \in \N)\] \begin{enumerate} \item En utilisant le développement en série de Fourier de la fonction $f$ déterminer \[\displaystyle\sum_{p = 0}^{+ \infty} \dfrac{1}{(2p + 1)^2}.\] \item On rappelle la formule de Parseval : $\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_a^{a + T} f^2(t)\:\text{d}t = a_0^2 + \dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{n = 1}^{+ \infty}\left(a_n^2 + b_n^2 \right)$. En utilisant cette formule, déterminer $\displaystyle\sum_{p = 0}^{+ \infty} \dfrac{1}{(2p + 1)^4}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points} \medskip Un système physique est régi par l'équation différentielle suivante dans laquelle les nombres $R$ et $C$ sont des constantes strictement positives. \[\dfrac{\text{d}\nu}{\text{d}t}(t) + \dfrac{1}{RC}\nu(t) = \dfrac{\text{d}f}{\text{d}t}(t)\qquad \left(E_1\right)\] \textbf{Partie 1} \medskip Dans cette partie on suppose que la fonction $f$ est définie pour tout $t$ réel par : \[\left\{\begin{array}{l c l l} f(t) &=& 0 \quad &\text{pour}\: t < 0\\ f(t) &=& V_0 \quad &\text{pour}\: t \geqslant 0 \end{array}\right.\] où $V_0 $est une constante réelle strictement positive. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $\dfrac{\text{d}f}{\text{d}t}(t)$ pour $t$ appartenant à $]-\infty~;~0[$ puis résoudre sur $]-\infty~;~0[$ l'équation différentielle $\left(E_1\right)$. avec la condition $\nu\left(0^{-}\right) = \displaystyle\lim_{t \to 0^{-}} \nu(t) = 0$. \item Calculer $\nu$ pour $t$ appartenant à $[0~;~+ \infty[$ puis résoudre sur $]0~;~+ \infty[$ l'équation différentielle $\left(E_1\right)$ avec la condition $\nu\left(0^{+}\right) = \displaystyle\lim_{t \to 0^{+}} \nu(t) = V_0$. \item Étudier sur $]- \infty~;~0[\: \cup\: ]0~;~+\infty[$ les variations de la fonction $\nu$. Donner dans un repère orthonormal, l'allure de la représentation graphique de la fonction $\nu$ pour $t$ réel non nul. On prendra, pour réaliser le graphique, $RC = 1$ et $V_0 = 2$. \end{enumerate} \textbf{Partie 2} \medskip La fonction échelon unité apparaissant dans cette partie est définie par : \[\left\{\begin{array}{l c l} \mathcal{U}(t) &=& 0\quad \text{pour}\: t < 0\\ \mathcal{U}(t) &=& 1\quad \text{pour}\: t \geqslant 0. \end{array}\right.\] Dans cette partie on suppose que la fonction $f$ est définie pour tout $t$ réel par \[f(t) = V_0[\mathcal{U}(t) - \mathcal{U}(t - \tau)]\] où $\tau$ est un réel strictement positif. Le système est alors régi par l'équation : \[\nu(t) + \dfrac{1}{RC}\displaystyle\int_0^t \nu(u) \:\text{d}u = f(t)\qquad \left(E_2\right)\] \begin{enumerate} \item Donner dans un repère orthogonal, la représentation graphique de la fonction $f$ (on prendra, pour réaliser le graphique $V_0 = 2$ et $t= 1$). Déterminer la transformée de Laplace de la fonction $f$. \item On suppose que la fonction v est nulle pour $t < 0$, et qu'elle admet une transformée de Laplace notée pHV(p) . \begin{enumerate} \item Résoudre, en utilisant la transformation de Laplace, l'équation $\left(E_2\right).$ \item En déduire que la fonction $\nu$ est définie par : \[\left\{\begin{array}{l c l l} \nu(t) &=& 0 \quad &\text{pour }\: t < 0\\ \nu(t) &=& V_0\text{e}^{- \frac{t}{RC}}\quad &\text{pour}\: 0 \leqslant t < \tau\\ \nu(t) &=& V_0\text{e}^{- \frac{t}{RC}}\left(1 - \text{e}^{- \frac{t}{RC}}\right)\quad &\text{pour}\: t \geqslant \tau \end{array}\right.\] \end{enumerate} \item Dans cette question, on s'intéresse à la représentation graphique de la fonction $\nu$. \begin{enumerate} \item Calculer $\nu\left(\tau^{-}\right)$ définie par $\nu\left(\tau^{-}\right) = \displaystyle\lim_{t \to \tau^{-}} \nu(t)$ et montrer que $\nu\left(\tau^{-}\right) < V_0$. \item Montrer que le \og saut \fg{} $\sigma$ de la fonction $\nu$ en $t = \tau$ défini par $\sigma = \nu\left(\tau^{-}\right) - \nu(\tau)$, est égal à $V_0$. \item Étudier les variations de la fonction $\nu$ pour $t \geqslant \tau$. \item En utilisant les résultats précédents et ceux de la partie I, question 3, donner l'allure de la représentation graphique de la fonction $\nu$ dans un repère orthogonal. On prendra, pour réaliser le graphique, $RC = 1, V_0 = 2$ et $\tau = 1$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}