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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur S}
\lfoot{\small{Groupement A}}
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\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~BTS Groupement A  Métropole mai 2000~\decofourright\\}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

\emph{Les objectifs de cet exercice sont d'obtenir le développement en série de Fourier d 'une fonction puis d'utiliser ce développement pour obtenir les sommes de deux séries numériques.}

\medskip

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\R$, paire, périodique de période $\pi$, telle que :

\[f(t) = \dfrac{\pi}{2} t \quad  \text{si}\: t\:  \text{appartient à l'intervalle }\: \left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]\]

\begin{enumerate}
\item Tracer la représentation graphique de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-\pi~;~\pi]$.
\item Déterminer les coefficients de Fourier réels associés à la fonction $f$. 

On précisera la valeur de $a_n$ suivant la parité de l'entier non nul $n$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $f$ vérifie les conditions d'application du théorème de Dirichlet.
		\item Soit $S(t) = \dfrac{\pi^2}{8}  - \displaystyle\sum_{p=0}^{+ \infty} \cos[2(2p+1)t]$.

Donner, en la justifiant, la valeur de $S(t)$ sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ puis sur 
		
$\left[\dfrac{\pi}{2}~;~\pi\right]$.
	\end{enumerate}
\item  Soient les séries numériques, convergentes, de terme général

\[u_p = \dfrac{1}{(2p + 1)^2} \quad \text{et}\quad  v_p = \dfrac{1}{(2p + 1)^4}\quad (p \in \N)\]

	\begin{enumerate}
		\item En utilisant le développement en série de Fourier de la fonction $f$ déterminer

\[\displaystyle\sum_{p = 0}^{+ \infty}  \dfrac{1}{(2p + 1)^2}.\]
		
		\item On rappelle la formule de Parseval : $\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_a^{a + T}  f^2(t)\:\text{d}t = a_0^2 + \dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{n = 1}^{+ \infty}\left(a_n^2 + b_n^2 \right)$.
		
En utilisant cette formule, déterminer 
$\displaystyle\sum_{p = 0}^{+ \infty}  \dfrac{1}{(2p + 1)^4}$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

Un système physique est régi par l'équation différentielle suivante dans laquelle les nombres $R$ et $C$ sont des constantes strictement positives.

\[\dfrac{\text{d}\nu}{\text{d}t}(t) + \dfrac{1}{RC}\nu(t) = \dfrac{\text{d}f}{\text{d}t}(t)\qquad \left(E_1\right)\]


\textbf{Partie 1}

\medskip


Dans cette partie on suppose que la fonction $f$ est définie pour tout $t$ réel par :

\[\left\{\begin{array}{l c l l}
f(t) &=& 0 \quad &\text{pour}\: t < 0\\
f(t) &=& V_0 \quad &\text{pour}\: t \geqslant 0
\end{array}\right.\]

où $V_0 $est une constante réelle strictement positive.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $\dfrac{\text{d}f}{\text{d}t}(t)$ pour $t$ appartenant à $]-\infty~;~0[$ puis résoudre sur $]-\infty~;~0[$ l'équation différentielle $\left(E_1\right)$.
avec la condition $\nu\left(0^{-}\right) = \displaystyle\lim_{t \to 0^{-}} \nu(t) = 0$.
\item Calculer $\nu$ pour $t$ appartenant à $[0~;~+ \infty[$ puis résoudre sur $]0~;~+ \infty[$ l'équation différentielle $\left(E_1\right)$ avec la condition $\nu\left(0^{+}\right) = \displaystyle\lim_{t \to 0^{+}} \nu(t) = V_0$.
\item Étudier sur $]- \infty~;~0[\: \cup\:  ]0~;~+\infty[$ les variations de la fonction $\nu$. 

Donner dans un repère orthonormal, l'allure de la représentation graphique de la fonction $\nu$ pour $t$ réel non nul. On prendra, pour réaliser le graphique, $RC = 1$ et $V_0 = 2$.
 \end{enumerate}
 
\textbf{Partie 2}

\medskip

La fonction échelon unité apparaissant dans cette partie est définie par :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
\mathcal{U}(t) &=& 0\quad  \text{pour}\: t < 0\\
\mathcal{U}(t) &=& 1\quad  \text{pour}\: t \geqslant 0.
\end{array}\right.\]

Dans cette partie on suppose que la fonction $f$ est définie pour tout $t$ réel par 

\[f(t) = V_0[\mathcal{U}(t) - \mathcal{U}(t - \tau)]\]

où $\tau$ est un réel strictement positif. 

Le système est alors régi par l'équation :

\[\nu(t) + \dfrac{1}{RC}\displaystyle\int_0^t  \nu(u) \:\text{d}u = f(t)\qquad \left(E_2\right)\]

\begin{enumerate}
\item Donner dans un repère orthogonal, la représentation graphique de la fonction $f$ (on prendra, pour
réaliser le graphique $V_0 = 2$ et $t= 1$).

Déterminer la transformée de Laplace de la fonction $f$.
\item On suppose que la fonction v est nulle pour $t < 0$, et qu'elle admet une transformée de Laplace notée
pHV(p) .
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre, en utilisant la transformation de Laplace, l'équation $\left(E_2\right).$
		\item En déduire que la fonction $\nu$ est définie par :

\[\left\{\begin{array}{l c l l}
\nu(t) &=& 0 \quad &\text{pour }\: t < 0\\
\nu(t) &=& V_0\text{e}^{- \frac{t}{RC}}\quad  &\text{pour}\: 0 \leqslant  t < \tau\\
\nu(t) &=& V_0\text{e}^{- \frac{t}{RC}}\left(1 -  \text{e}^{- \frac{t}{RC}}\right)\quad  &\text{pour}\: t \geqslant \tau
\end{array}\right.\]
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on s'intéresse à la représentation graphique de la fonction $\nu$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\nu\left(\tau^{-}\right)$ définie par $\nu\left(\tau^{-}\right) = \displaystyle\lim_{t \to \tau^{-}} \nu(t)$ et montrer que $\nu\left(\tau^{-}\right) < V_0$.
		\item Montrer que le \og saut \fg{} $\sigma$ de la fonction $\nu$ en $t = \tau$ défini par 
		
$\sigma = \nu\left(\tau^{-}\right) - \nu(\tau)$, est égal à $V_0$.
		\item Étudier les variations de la fonction $\nu$ pour $t \geqslant \tau$.
		\item En utilisant les résultats précédents et ceux de la partie I, question 3, donner l'allure de la représentation graphique de la fonction $\nu$ dans un repère orthogonal. 
		
On prendra, pour réaliser le graphique, $RC = 1, V_0 = 2$ et $\tau = 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}