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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupement A}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur session 2007~\decofourright\\ Groupement A--Métropole}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 12 points}

\medskip

On s'intéresse à un système entrée-sortie susceptible d'être contrôlé.

Dans la partie A, on étudie le système en l'absence de contrôle.

Dans la partie B, on étudie le système soumis à un contrôle.

Les parties A, B et C sont indépendantes dans leurs résolutions respectives.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère l'équation différentielle $(E_1)$ suivante :

\[\dfrac{1}{2}y'(t)+y(t)=10-\beta\quad (E_1)\]
où $y$ désigne une fonction dérivable de la variable réelle $t$ et $\beta$ une constante réelle.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $h$ définie pour tout nombre réel $t$ par $h(t)=10-\beta$ est solution de l'équation différentielle $(E_1)$.
\item Résoudre l'équation différentielle $(E_1)$.
\item Montrer que la fonction $f$, solution de l'équation différentielle $(E_1)$ et qui vérifie $f(0)=10$ est définie sur $\R$ par $f(t)=\beta\text{e}^{-2t}+10-\beta$.
\item Calculer $\displaystyle\lim_{t\to +\infty}f(t)$ que l'on note $f_\infty$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On rappelle que la fonction échelon unité $U$ est définie par :
\[\left\{\begin{aligned} U(t)&=0& \text{si } t < 0\\
   U(t)&=1& \text{si }t \geqslant 0 
\end{aligned}\right.\]
et qu'une fonction définie sur $\R$ est dite causale si elle est nulle pour tout nombre réel strictement négatif.

\medskip

On considère la fonction causale $g$ qui vérifie la relation $(E_2)$ suivante :
\begin{align*}&\dfrac{1}{2}g'(t)+g(t)=13\int_0^t[10U(u)-g(u)]\text{d}u+(10-\beta)U(t)\quad (E_2)\\
 &\text{et la condition } g(0)=10.\end{align*}
On admet que la  fonction $g$ admet une transformée de Laplace notée $G$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la transformée de Laplace $I$ de la fonction $i$ définie par :
\[i(t)=13\displaystyle\int_0^t[10U(u)-g(u)]\text{d} u\]
est telle que 
\[I(p)=\dfrac{130}{p^2}-13\dfrac{G(p)}{p}.\]
\item En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de la relation $(E_2)$, déterminer une expression de $G(p)$.
\item Vérifier que $G(p)=\dfrac{10}{p}-\dfrac{2\beta}{(p+1)^2+5^2}$.
\item Dans cette question, on va déterminer $\displaystyle\lim_{t\to +\infty} g(t)$, que l'on note $g_\infty$ et qui est la valeur finale du signal représenté par la fonction $g$.

On rappelle que, d'après le théorème de la valeur finale, $g_\infty= \displaystyle\lim_{p\to 0^+}pG(p)$.

Déterminer $g_\infty$.
\item
	 \begin{enumerate}
		\item Déterminer la transformée de Laplace de la fonction qui à tout nombre réel $t$ associe $\text{e}^{-t}\sin(5t) U(t)$.
		\item En déduire l'expression de $g(t)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\textbf{Dans cette partie, on prend $\mathbf{\beta=5}$.}

\medskip

En \textbf{annexe 1, à rendre avec la copie}, on a représenté, sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$, les courbes $C_f$ et $C_g$ représentatives des fonctions $f$ et $g$ définies dans les parties A et B avec $\beta=5$.

On admet ici que pour tout nombre réel $t$ positif ou nul : 

$f(t)=5\text{e}^{-2t}+5$ et $g(t)=10-2\text{e}^{-t}\sin(5t)$.

On rappelle que $f_\infty$ et $g_\infty$ sont les limites respectives des fonctions $f$ et $g$ en $+\infty$.

On a donc : $f_\infty=5$ et $g_\infty=10$.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout nombre réel $t$ positif ou nul on a : $\dfrac{f(t)-f_\infty}{f_\infty}=\text{e}^{-2t}$.
		\item Soit $t_1$ le nombre réel tel que :
\[\dfrac{f(t)-f_\infty}{f_\infty}\leqslant 0,02 \quad \text{pour tout } t\geqslant t_1.\]
Calculer la valeur exacte de $t_1$, puis une valeur approchée de $t_1$ arrondie au dixième.
	\end{enumerate}
\item Soit $t_2$ le nombre réel tel que :
\[-0,02\leqslant \dfrac{g(t)-g_\infty}{g_\infty}\leqslant 0,02 \quad \text{pour tout } t \geqslant  t_2.\]
Graphiquement, déterminer une valeur approchée de $t_2$, arrondie au dixième.
\end{enumerate}
\medskip
\textsl{Dans ce problème, on a étudié un système entrée-sortie, dans la partie A libre de tout asservissement, puis dans la partie B contrôlé par une commande intégrale.\\
On a montré que grâce à cette commande on peut stabiliser la sortie à la valeur 10 indépendamment de la perturbation $\beta$, au prix d'une détérioration du temps de réponse du système et de l'apparition d'oscillations amorties.}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\bigskip

On désigne par j le nombre complexe de module 1 dont un argument est $\dfrac{\pi}{2}$.

On considère un filtre dont la fonction de transfert $T$ est définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par
 
\[T(\omega) = \dfrac{- \text{j} \omega k}{1-\text{j}\dfrac{\omega}{2}}.\]

Le nombre $k$ est un nombre réel strictement positif compris entre 0 et 1.

En associant trois filtres identiques au précédent, on obtient un système dont la fonction de transfert $H$ est définie sur $]0~;~+\infty[$ par :
\[H(\omega)=\left(T(\omega)\right)^3.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $r(\omega)$ le module de $H(\omega)$.\\
On a donc : $r(\omega)=\left|H(\omega)\right|$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le module de $T(\omega)$ est $\dfrac{k\omega}{\sqrt{1+\dfrac{\omega^2}{4}}}$.
		\item En déduire $r(\omega)$.
	\end{enumerate}
\vspace{1ex}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier qu'un argument de $(-\text{j}\omega )^3$ est $\dfrac{\pi}{2}$.
		
Justifier qu'un argument de $1 - \text{j}\dfrac{\omega}{2}$ est $-\arctan\left(\dfrac{\omega}{2}\right)$.

En déduire qu'un argument de $H(\omega)$, notée $\varphi(\omega)$, est défini sur $]0~;~+\infty[$ par :

\[\varphi(\omega) = \dfrac{\pi}{2}+3\arctan\left(\dfrac{\omega}{2}\right).\]

\item On note $\varphi^{\prime}$ la dérivée de la fonction $\varphi$. Calculer $\varphi^{\prime}(\omega)$.

Déterminer le signe de $\varphi^{\prime}$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
\item Déterminer les limites de la fonction $\varphi$ en $0$ et $+\infty$.
\end{enumerate}

\vspace{1ex}

\item Dans le tableau ci-après on donne les variations de la fonction $r$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.

Recopier et compléter ce tableau en utilisant les résultats obtenus dans la question 2.
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(1,0)(15.5,7.5)
%lignes horizontales}
\psline(1,1)(15.5,1)
\psline(1,1.6)(15.5,1.6)
\psline(1,3.9)(15.5,3.9)
\psline(1,6.1)(15.5,6.1)
\psline(1,6.7)(15.5,6.7)
\psline(1,7.2)(15.5,7.2)
%lignes verticales
\psline(1,1)(1,7.2)
\psline(3.11,1)(3.1,7.2)
\psline(15.5,1)(15.5,7.2)
\psline[doubleline=true](3.5,1)(3.5,6.7)
%fleches
\psline{->}(5,4.2)(13.7,5.7)
%les colonnes
\rput(2,6.9){$\omega$}
\rput(2,6.4){$r^{\prime}(\omega)$}
\rput(2,5){$r(\omega)$}
\rput(2,2.7){$\varphi(\omega)$}
\rput(2,1.2){$\varphi^{\prime}(\omega)$}
\rput(3.5,6.9){$0$}

\rput(14.2,6.9){$+\infty$}
\rput(14.2,5.7){$8k^3$}

\rput(4.5,4.2){$0$}

%les signes
\rput(9,6.4){$+$}
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{1ex}
\item \textbf{Dans cette dernière question, on se place dans le cas où} \boldmath$k=0,9$.\unboldmath

Lorsque $\omega$ décrit l'intervalle $]0~;~+\infty[$, le point d'affixe $H(\omega)$ décrit une courbe $\mathcal{C}$.

En \textbf{annexe 2, à rendre avec la copie,} la courbe $\mathcal{C}$ est tracée dans le plan complexe.

On note $\omega_0$ la valeur de $\omega$ pour laquelle le module de $H(\omega)$ est égal à 1.
	\begin{enumerate}
		\item Placer précisément le point $M_0$ d'affixe $H(\omega_0)$ sur le document réponse donné en \textbf{annexe 2.}
		\item Calculer une valeur arrondie à $10^{-2}$ près du nombre $\omega_0$, puis de $\varphi(\omega_0)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe 1\\Document réponse à rendre avec la copie}
\end{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=1.5cm,algebraic=true}
%\begin{figure}[!h]
\begin{pspicture}(-1,-1)(5,12)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,gridcolor=orange,subgridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1pt]{->}(0,0)(-1,-1)(5,12)
\psplot[plotpoints=250,linecolor=blue]{0}{5}{5*2.718^(-2*x)+5}%
\psplot[plotpoints=250]{0}{5}{10-2*sin(5*x)*2.718^(-x)}%
\psline[linewidth=1pt,linecolor=blue](0,10.2)(5,10.2)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=blue](0,9.8)(5,9.8)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=blue](2.25,-0.2)(2.25,10.4)
\rput(2.25,-.5){$t_2$}
\rput(-0.1,-0.2){$0$}
\end{pspicture}
\end{figure}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\begin{center}
\textbf{Annexe 2\\
Document réponse à rendre avec la copie}
\end{center}

%figure  réalisée par Olivier REBOUX, lycée Jules SIEGFRIED, Le Havre 
%olivier.reboux@ac-rouen.fr
\psset{unit=1.25cm,algebraic=true}
\def\r{(0.9*t/sqrt(1+(t^2)/4))^3}
\def\Pi{3.1415927}
\def\a{0.5*\Pi+3*atg(t/2)}
\begin{pspicture*}(-2.5,-5)(8,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](-3,-5)(8,4)
    \psset%
{%
xunit=1,%
yunit=1,%
PointSymbol=none,%
PointName=none,%
algebraic=true,%
}%
\psclip%
{%
\psset%
{%
PointName=none,%
PointSymbol=none,%
}
\pstGeonode(0,0){O}
\pstGeonode(1,0){a}
\pstCircleOA{O}{a}
}%
{%
\psset%
%
{PointName=none,%
PointSymbol=none,%
linestyle=dashed,%
nodesep=-10,%
}%
\pstGeonode(0.5,0.5){A}
\pstGeonode(-0.5,0.5){B}
\pstGeonode(-0.5,-0.5){C}
\pstGeonode(0.5,-0.5){D}
\pstLineAB{A}{B}
\pstLineAB{B}{C}
\pstLineAB{C}{D}
\pstLineAB{D}{A}
}%
\endpsclip%
\psclip%
{%
%\psframe[linestyle=none](-2.5,-5)(8,4)
%
}%
{%
\parametricplot[plotpoints=2500]{0.001}{250}{(\r)*cos(\a)|(\r)*sin(\a)}

% prolongement manuel jusqu'à l'axe des abscisses.
\pstGeonode[PointName=none,PointSymbol=none](5.832,0){A}
\pstGeonode[PointName=none,PointSymbol=none](5.82743,-.199867){B}
    \psline[linestyle=solid](A)(B)               
    }%
\endpsclip
%\psaxes[xsubticks=2,ysubticks=2,linewidth=1pt,axesstyle=frame]{->}(0,0)(-2.7,-4.5)(7.6,3.5)
\pstRotation[RotAngle=210]{O}{a}[M_1]             
\pstLineAB[nodesepB=-1,linestyle=dotted,linewidth=1.5pt]{O}{M_1}
\pstRotation[RotAngle=240]{O}{a}[M_2]                
\pstLineAB[nodesepB=-2,linestyle=dotted,linewidth=1.5pt]{O}{M_2}
\pstRotation[RotAngle=195]{O}{a}[M_3]           
\pstLineAB[nodesepB=-1,linestyle=dotted,linewidth=1.5pt]{O}{M_3}
%\pstGeonode[PosAngle=-180,PointSymbol=pentagon,dotscale=2,fillstyle=solid,fillcolor=blue,PointName=M_0](-0.98,-.195){M_0}
\rput(3,-3.8){$\mathcal{C}$}
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-2.5,-5)(8,4)
\end{pspicture*}
\end{document}