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\thispagestyle{empty}

{Brevet de technicien supérieur\\ session 2016 - groupement A2}
  


\vspace{0,25cm}





\textbf{Exercice 1 \hfill 7 points}

\medskip

\emph{Une chaine de traitement de surface est constituée de plusieurs cuves dont l'une est destinée à
réaliser le dégraissage de pièces usinées par immersion dans une solution aqueuse (eau et
additif détergent).\\
Pour que le dégraissage s'effectue correctement il faut que la température du bain soit
maintenue constante entre $75$~\degres C et $85$~\degres C.\\
Un technicien doit réaliser la régulation en température de cette cuve. Pour cela il propose
l'installation d'un élément chauffant dont la puissance doit permettre de compenser les pertes
thermiques et de réaliser la montée en température en un temps déterminé.}

\medskip

Les caractéristiques du système thermique sont les suivantes :

$R$ : résistance thermique caractérisant les pertes d'énergie thermique. $R = 0,115$~\degres C.W$^{-1}$.

$k$ : constante liée à la capacité du système à emmagasiner l'énergie thermique. $k = 34,8$ J.~\degres C$^{-1}$.

$f(t)$  : puissance, en watt, apportée par l'élément chauffant à l'instant $t$ (en seconde).

$\theta_A$ : température de l'air ambiant. $\theta_A = 20$~\degres C.

$\theta_{S(t)}$ : température en degré Celsius de la solution aqueuse contenue dans la cuve à l'instant 
$t$.

$\theta(t) = \theta_{S(t)} - \theta_A$ : écart en degré Celsius entre la température de la solution aqueuse contenue dans la cuve et celle de l'air ambiant à l'instant $t$.

Une modélisation du système permet d'établir que, pour tout $t \geqslant  0$, la fonction $\theta$ vérifie
l'égalité : 

\[\theta(t) + kR\dfrac{\text{d}\theta}{\text{d}t}(t) = Rf(t) \qquad (1)\]

On note $T: p \longmapsto  T(p)$ et $F: p \longmapsto F(p)$ les transformées de Laplace respectives des fonctions
$\theta : t \longmapsto  \theta(t)$ et $f : t \longmapsto  f(t)$.

On rappelle quelques résultats concernant la transformation de Laplace, formulés en notant

\begin{itemize}
\item $U$ la fonction échelon unité définie par : (si $t <0,\: U(t) = 0)$ et (si $t \geqslant 0,  \: U(t) = 1)$,
\item $g$ une fonction ayant une transformée de Laplace $G$.
\end{itemize}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{X|}}\hline 
\textbf{Fonction} &\textbf{Transformée de Laplace}\\ \hline
$t \longmapsto \text{e}^{-a t} U(t)$ avec $a$ constante réelle& $p\longmapsto  \dfrac{1}{p+a}\rule[-12pt]{0pt}{30pt}$\\ \hline
$t \longmapsto g(t - a) U(t - a)$ avec $a$ constante réelle& $p \longmapsto G(p)\text{e}^{-a p}$\\ \hline
$t \longmapsto g(t) \text{e}^{-a t} U(t)$ avec $a$ constante réelle&$p \longmapsto G(p+a)$\\ \hline
$t\longmapsto g'(t)U(t)$& $p \longmapsto  pG(p) - g\left(0^+\right)$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On considère qu'à l'instant $t = 0$, la température de la solution aqueuse contenue dans la cuve
est égale à celle de l'air ambiant.

En appliquant la transformation de Laplace à l'égalité (1) montrer que : 

\[T(p) = \dfrac{0,115}{4,002p + 1}F(p).\]

\item On applique une puissance échelon de $522$ watts. On a donc : $f(t) = 522U(t)$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'expression de $F(p)$.
		\item En déduire l'expression de $T(p)$.

\textbf{Par la suite, pour simplifier, on prendra \boldmath $T(p) = \dfrac{60}{p(4p + 1)}$\unboldmath, ce qui s'écrit encore :}

\[T(p) = \dfrac{15}{p(p + 0,25)}.\]

	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que : $T(p) = \dfrac{60}{p}  - \dfrac{60}{p + 0,25}$.
		\item En déduire que pour tout $t \geqslant 0$ : $\theta(t) = 60\left(1 - \text{e}^{- 0,25t}\right)$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $\theta(t)$ quand $t$ tend vers $+ \infty$. Justifier.
		
Cette limite est appelée par la suite \og valeur finale de $\theta$ \fg.
		\item Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de la fonction $\theta$ ?
		\item Calculer $\theta'(t)$ pour $t \geqslant 0$, puis étudier les variations de la fonction $\theta$.
		\item Représenter la fonction $\theta$ dans le repère donné sur le document réponse.
	\end{enumerate}
\item Le technicien estime que, lorsque $\theta(t)$ a atteint $95$\,\% de sa valeur finale, la température du bain $\theta_{S}(t)$ peut être considérée comme constante.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le temps nécessaire pour que $\theta(t)$ atteigne 95\,\% de sa valeur finale. Expliquer la démarche suivie.
		\item Quelle est la température constante autour de laquelle se stabilise la température du bain ?
		
Le dégraissage sera-t-il réalisé conformément aux conditions décrites dans le préambule ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On rappelle que le développement en série de Fourier d'une fonction $f$ périodique de période $T$
est 

\[S(t) = a_0 + \displaystyle\sum_{n \geqslant 1}^{+ \infty}\left(a_n \cos (n \omega t) + b_n \sin (n \omega t)\right).\]

avec $\omega = \dfrac{2\pi}{T}, \: a_0 = \dfrac{1}{T}\displaystyle\int_{\red a}^{a + T} f(t)\:\text{d}t$
 et, pour tout entier $n \geqslant 1$ et toute constante réelle $\alpha$ :

\[a_n = \dfrac{2}{T}\displaystyle\int_{\red a}^{a + T} f(t) \cos(n \omega t)\:\text{d}t\quad \text{et}\quad  b_n = \dfrac{2}{T}\displaystyle\int_{\red a}^{a + T} f(t) \sin(n \omega t)\:\text{d}t.\]

\begin{center} \textbf{Les trois parties de l'exercice sont indépendantes}\end{center}

\textbf{Partie A}

\medskip

On donne ci-dessous la représentation graphique $C$ d'une fonction $f$ définie pour tout réel $x$,
paire,  périodique de période $T$ et telle que pour tout $x \in  [0~;~2\pi] :\: f (x) = x(2\pi - x)$.

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-13,-1.5)(13,11)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=15,Dy=2]{->}(0,0)(-12.99,-0.99)(12.99,11)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6.28319}{6.28319 x sub x mul}
\rput(-6.28319,0){\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6.28319}{6.28319 x sub x mul}}
\rput(-12.5664,0){\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6.28319}{6.28319 x sub x mul}}
\rput(6.28319,0){\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6.28319}{6.28319 x sub x mul}}
\rput(12.5664,0){\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6.28319}{6.28319 x sub x mul}}
\rput(-18.8496,0){\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6.28319}{6.28319 x sub x mul}}
\multido{\n=-3+1,\na=-9.42478+3.14159}{8}{\uput[d](\na,0){\n $\pi$}}
\end{pspicture*}

\end{center}

On souhaite déterminer les coefficients $a_0,\: a_n$ et $b_n$, avec $n \geqslant 1$, de la série de Fourier associée à cette fonction $f$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $T$ puis calculer $\omega$.
\item Calculer le coefficient $a_0$.
\item Que valent les coefficients $a_n$ et $b_n$  pour $n \geqslant 1$ ?

On pourra utiliser les résultats ci-dessous obtenus à l'aide d'un logiciel de calcul formel.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|X|}\hline
integrate(x*(2pi-x)*cos(n*x),x,0,2*pi)\\ 
\multicolumn{1}{|r|}{$= \dfrac{-2n\pi\cos(n*2\pi) + 2\sin (n*2\pi)}{n^3} - \dfrac{2\pi}{n^2}$}\rule[-5mm]{0mm}{11mm}\\ \hline
integrate({\red x*(2pi-x)*sin(n*x)},x,0,2*pi)\\
\multicolumn{1}{|r|}{$= {\red \dfrac{-2*\cos(2*n*\pi) - 2*n\pi\sin (2*n*\pi)}{n^3} + \dfrac{2}{n^3}}$}\rule[-5mm]{0mm}{11mm}\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}

On simplifiera le plus possible les réponses.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La tension exprimée en volt (V) aux bornes d'une bobine de moteur pas à pas dépend du temps $t$
exprimé en seconde. Elle est modélisée par la fonction $u$ impaire, périodique de période $T = 6$, telle que : 

\[u(t) = \left\{\begin{array}{l c l}
0&\text{si}&0 \leqslant t < 1\\
2&\text{si}&1 \leqslant t < 2\\
0&\text{si}&2 \leqslant t \leqslant 3
\end{array}\right..\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans un repère orthogonal tracer la courbe $C$ représentative de $u$ sur l'intervalle $[- 6~;~6]$.
\item Déterminer la valeur moyenne $U_{\text{moy}}$ de cette tension $u$ sur un intervalle de longueur $T$.
\item La tension efficace $U_{\text{eff}}$ vérifie : $U^2_{\text{eff}} = \dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T u^2(t)\:\text{d}t$.

Calculer la valeur exacte de $U_{\text{eff}}$ puis donner sa valeur arrondie à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On s'intéresse à une fonction $f$ définie pour tout réel $t$, périodique de période $2\pi$ et développable
en série de Fourier. On donne son développement :

\[f(t) =  \dfrac{\pi}{4} + \displaystyle\sum_{n \geqslant 1}\left[\dfrac{(- 1)^n - 1}{\pi n^2} \cos (nt) + \dfrac{(- 1)^{n+1}}{n} \sin (nt)\right] \: \text{avec }\:t\: \text{réel quelconque}.\]

\begin{enumerate}
\item Quelle est la valeur du coefficient $a_0$ du développement en série de Fourier de $f$ ?

Exprimer en fonction de $n$ les coefficients $a_n$ et $b_n$ pour $n$ entier supérieur ou égal à 1.
\item Soit $S_N(t) = \dfrac{\pi}{4} + \displaystyle\sum_{n = 1}^{N}\left[\dfrac{(- 1)^n - 1}{\pi n^2} \cos (nt) + \dfrac{(- 1)^{n+1}}{n} \sin (nt)\right]$ la somme partielle de rang $N$ ($N$
entier supérieur ou égal à 1) de la série de Fourier.

Écrire $S_2(t)$. On cherchera à simplifier l'expression obtenue.
\item Parmi les spectres d'amplitude ci-dessous quel est celui associé à $f$ ? Expliquer.

On rappelle que $A_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2}$ pour $n \geqslant 1$ et $A_0 = \left|a_0\right|$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
Spectre 1 &Spectre 2&Spectre 3& Spectre 4\\
\psset{xunit=0.4cm,yunit=1.8cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,-0.1)(6,1.4)
\psaxes[linewidth=1pt,Dy=0.2,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(6,1.4)
\psline[linewidth=2pt](0,0)(0,0.42)\psline[linewidth=2pt](1,0)(1,1.2)
\psline[linewidth=2pt](2,0)(2,0.5)\psline[linewidth=2pt](3,0)(3,0.37)
\psline[linewidth=1.5pt](4,0)(4,0.3)\psline[linewidth=2pt](5,0)(5,0.23)
\end{pspicture}&
\psset{xunit=0.4cm,yunit=1.8cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,-0.1)(6,1.4)
\psaxes[linewidth=1pt,Dy=0.2,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(6,1.4)
\psline[linewidth=2pt](0,0)(0,0.8)\psline[linewidth=2pt](1,0)(1,0.5)
\psline[linewidth=2pt](2,0)(2,0.4)\psline[linewidth=2pt](3,0)(3,0.3)
\psline[linewidth=2pt](4,0)(4,0.23)\psline[linewidth=2pt](5,0)(5,0.2)
\end{pspicture}&\psset{xunit=0.4cm,yunit=1.8cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,-0.1)(6,1.4)
\psaxes[linewidth=1pt,Dy=0.2,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(6,1.4)
\psline[linewidth=2pt](0,0)(0,0.8)\psline[linewidth=2pt](1,0)(1,1.2)
\psline[linewidth=2pt](2,0)(2,0.5)\psline[linewidth=2pt](3,0)(3,0.4)
\psline[linewidth=2pt](4,0)(4,0.3)\psline[linewidth=2pt](5,0)(5,0.23)
\end{pspicture}&
\psset{xunit=0.4cm,yunit=1.8cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,-0.1)(6,1.4)
\psaxes[linewidth=1pt,Dy=0.2,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(6,1.4)
\psline[linewidth=2pt](0,0)(0,0.4)\psline[linewidth=2pt](1,0)(1,0.8)
\psline[linewidth=2pt](2,0)(2,0.5)\psline[linewidth=2pt](3,0)(3,0.35)
\psline[linewidth=2pt](4,0)(4,0.3)\psline[linewidth=2pt](5,0)(5,0.23)
\end{pspicture}
\end{tabularx}
\end{center}


\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 6 points}

\medskip

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.

\bigskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

La société Sun-NRJY fabrique des cellules photovoltaïques qu'elle
assemble ensuite pour former des panneaux qui seront installés sur le
toit de bâtiments pour produire de l'électricité.

Ces cellules, à base de silicium, sont très fines (environ $250 \mu$m) et très
fragiles. On estime que 1,5\,\% des cellules fabriquées présenteront un
défaut (fissure, casse, \ldots) et seront donc inutilisables.

À la sortie de la production, on forme des lots de $75$ cellules. La production étant très importante
on peut assimiler la constitution d'un lot de $75$ cellules à $75$ tirages indépendants avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque lot de $75$ cellules le nombre de cellules
inutilisables qu'il contient.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item Quelle est la probabilité qu'un lot ne contienne aucune cellule inutilisable ? 
\item Un panneau est constitué de $72$ cellules. Quelle est la probabilité d'avoir suffisamment de
 cellules sans défaut dans un seul lot pour pouvoir fabriquer un panneau ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

Les $72$ cellules utilisées pour constituer un panneau sont ensuite raccordées entre elles
(soudures) puis placées sous une vitre de protection et insérées dans un cadre en aluminium. Les
panneaux ainsi fabriqués sont alors expédiés chez un installateur.

À la réception des panneaux, l'installateur constate que certains panneaux présentent des défauts
qui peuvent être de deux types, des défauts électriques (cellules fissurées, soudures
défectueuses, \ldots), des défauts de structure (cadre abîmé, verre brisé, \ldots).

Une étude statistique a permis d'établir que 2\,\% des $500$ panneaux reçus par l'installateur avaient
un défaut électrique, que 1\,\% des panneaux avaient un défaut de structure et que parmi les
panneaux présentant un défaut de structure, 40\,\% avaient aussi un défaut électrique.

On choisit au hasard un panneau.

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] On appelle $E$ l'évènement : \og le panneau présente un défaut électrique \fg.
\item[$\bullet~~$] On appelle $S$ l'évènement : \og le panneau présente un défaut de structure \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau d'effectifs du document réponse.
\item Quelle est la probabilité qu'un panneau pris au hasard parmi ceux livrés à l'installateur ne
présente aucun défaut ?
\item Les évènements $E$ et $S$ sont-ils indépendants ? Expliquer.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE C}

\medskip

Dix de ces panneaux sont installés sur le toit d'une maison située dans une région à
ensoleillement régulier et produisent de l'électricité.

On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque journée, associe la production électrique
fournie par ces $10$ panneaux, exprimée en kWh.

La variable $Y$ suit la loi normale de paramètres $\mu = 9$ et $\sigma = 3$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que la production journalière soit comprise entre $6$ et $12$ kWh ?
\item Parmi les trois fonctions de densités de probabilité représentées ci-dessous, laquelle peut être
celle de la loi de $Y$ ? Justifier.

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=12cm,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-0.1)(21,0.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2]{->}(0,0)(21,0.5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{21}{1/(3*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-9)/3)^2)/2)}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{21}{1/(0.85*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-9)/0.85)^2)/2)}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{21}{1/(3*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-12)/3)^2)/2)}
\end{pspicture}
\end{center}
\item Les occupants de la maison consomment en moyenne $10$ kWh par jour (hors chauffage et eau
chaude).
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité que la production journalière des panneaux soit supérieure à la
 consommation moyenne quotidienne ?
		\item Quelle devrait être la consommation moyenne quotidienne de cette famille, en kWh, pour
que cette probabilité soit environ de 90\,\% ? On arrondira la réponse au dixième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}