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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupement D}}
\rfoot{\small{Session 2000}}

\begin{center} 
\begin{Large}\textbf{BTS Métropole groupement D mai 2000}\end{Large}
\end{center}

\bigskip

{\large{\textbf{Exercice 1\hfill  9 points}
 
\medskip

\textbf{Étude du résultat de la pesée d'un objet de masse $m$ (exprimée en grammes).}

\medskip

On admet que la variable aléatoire $X$ qui prend comme valeurs les résultats de la pesée d'un
même objet donné suit la loi normale de moyenne $m$ et d'écart-type $\sigma$.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans cette partie, on suppose que $m=72,40$ et $\sigma=0,08$.
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité des évènements suivants (les résultats seront arrondis au millième le plus proche) :
\begin{enumerate}
\item \og $X > 72,45$ \fg{};
\item \og $X < 72,25$ \fg{};
\item \og $72,30 < X < 72,50$ \fg.
\end{enumerate}
\item Déterminer le réel strictement positif $h$ (arrondi au centième) tel que la probabilité pour que $X$ prenne une valeur dans l'intervalle $[m - h~;~m + h]$ soit égale à $0,989$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}\medskip

\medskip

Dans cette partie, on suppose que $m$ et $\sigma$ sont inconnus.

On a relevé dans le tableau suivant les résultats de 10 pesées d'un même objet :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash \small}X|}}\hline
\small masse en gramme&72,20 	&72,24 	&72,26 	&72,30 	&72,36	&72,39 	&72,42 	&72,48 	&72,50  &72,54\\\hline
\end{tabularx}

\medskip

Les résultats seront arrondis au centième le plus proche.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la moyenne et l'écart-type de cet échantillon.
\item En déduire des estimations ponctuelles de la moyenne $m$ et de l'écart-type $\sigma$ de la variable $X$.
\item Dans la suite, on admet que la variable aléatoire qui à tout échantillon de 10 pesées associe la moyenne de ces pesées suit la loi normale. En prenant pour écart-type la valeur estimé en \textbf{2.}, donner un intervalle de confiance au seuil de 5\,\% de la moyenne $m$.
\item L'écart-type de l'appareil de pesée, mesuré à partir de nombreuses études antérieures, est en réalité, pour un objet ayant environ cette masse, de 0,08. Dans cette question, on prend donc 

$\sigma = 0,08$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner un intervalle de confiance au seuil de 5\,\% de la moyenne $m$.
		\item Déterminer $\alpha$ (à l'unité près) pour que au seuil de $\alpha$\,\%, un intervalle de confiance de $m$ soit $[72,31\,;\, 72,43]$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

{\large{\textbf{Exercice 2} [11 points] 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Suite à un incident nucléaire, on a consigné dans le tableau suivant, heure par heure, les résultats fournis par un appareil de mesure de la radioactivité. Les $N_i$ sont des nombres entiers représentant le nombre de particules  recueillies par l'appareil pendant une seconde.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\hline
$t_i$ en heure 	&0 	&1 	& 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\  \hline
$N_i$ 			&170&102&63 &39 &24 &16 &9\\\hline\hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On pose $z_i=\ln (N_i-2)$ pour tout $i$ variant de 0 à 6 (où $\ln$ désigne le logarithme néperien ).

 Donner les valeurs de $z_i$ arrondies au millième le plus proche.

 Représenter le nuage $\left(t_i~;~z_i\right)$ dans un repère orthogonal
(unités graphiques : 3~cm pour une heure en abscisse, 4~cm pour une unité en ordonnée).
\item Donner les coefficients de corrélation linéaire de la série $(t_i;z_i)$ et donner une équation de la droite
de régression de $z$ en $t$ (les coefficients seront arrondis au millième le plus proche).
\item Donner l'expression de $N$ en fonction de $t$ déduite de cet ajustement.
\item En supposant que l'expression obtenue en \textbf{3.} reste valable, déterminer à partir de quel relevé on 
obtiendra une valeur de $N$ inférieure ou égale à 3.
\end{enumerate}

\bigskip
  
\textbf{Partie B}\medskip

\vspace{0.2 cm}

Un étude plus approfondie amène à faire l'hypothèse que la fonction, qui au temps $t$ (en heure), associe le nombre $N(t)$ est une solution de l'équation différentielle :

\begin{center}
$y'=\alpha(y - 2)$ où $\alpha$ est une constante réelle.
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer la solution générale de l'équation différentielle ci-dessus.
\item En déduire la solution qui prend la valeur $170$ pour $t=0$ et la valeur 9 pour $t=6$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}\medskip

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = 168\textrm{e}^{- 0,53x} + 2\]

et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal (unités graphiques : 2~cm sur l'axe des abscisses, 1~mm sur l'axe des ordonnées).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $\displaystyle\lim_{x\to + \infty} f(x)$.

Interpréter géométriquement le résultat obtenu.
\item Chercher les variations de la fonctions $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
\item Construire la courbe $\mathcal(C)$.
\item Résoudre l'équation $f(x)\leqslant 30$ dans l'intervalle $[0~;~+\infty[$ ; vérifier graphiquement.
\item Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1~;~6]$ ; on donnera la valeur exacte et une valeur décimale approchée à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}
\end{document}