%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}  
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès 
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-circ,pst-node,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-2cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {BTS Systèmes numériques},
pdftitle = {12 mai 2016},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH
}  
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Systèmes numériques}}
\rfoot{\small{12 mai 2016}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center}{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur 12 mai  2016 Systèmes numériques}}

\vspace{0,25cm}

{\large }   
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}

\medskip

On considère un filtre analogique de type passe bas du premier ordre utilisé dans de nombreux
modules électroniques. Il est constitué d'un résistor ayant une résistance $R$ et d'un condensateur de
capacité $C$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 4}
\begin{pspicture}(5,3.5)
\psline{->}(0.4,0)(0.4,2)\psline{->}(4,0)(4,2)
\uput[r](4,1){$s(t)$}\uput[r](0.4,1){$e(t)$}
\pnode(0.4,2){A}\pnode(2.8,2){B}\resistor(A)(B){$R$}
\pnode(2.8,0){C}\capacitor(C)(B){$C$}
\psline(0,0)(4,0)\psline(2.8,2)(4,2)
\end{pspicture}
\end{center}

Les tensions d'entrée et de sortie, exprimées en volt, dépendent du temps $t$ exprimé en seconde.

On les modélise par des fonctions $e$ et $s$ définies sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ et qui vérifient:

\[(s(0) = 0) \quad \text{et}\quad (R Cs'(t) + s(t) = e(t) \quad \text{pour tout}\: t \geqslant 0)\]

\textbf{On étudie dans l'exercice le cas particulier où} \boldmath$RC = 10^{-2}$ \unboldmath {} \textbf{seconde et} \boldmath $e(t) = 1$\unboldmath {} \textbf{pour tout}\:\:\: \boldmath$t \geqslant 0$ \unboldmath.

La fonction $s$ est donc la fonction nulle en 0 vérifiant sur $[0~;~+ \infty[$ l'équation différentielle :

\[0,01 y'(t) + y(t) = 1 \qquad (E)\]

d'inconnue la fonction $y$ , dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ et de fonction dérivée $y'$.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\emph{On rappelle que la dérivée d'une fonction }$f :\: x \longmapsto \text{e}^{u(x)}$, \emph{où } $u$ \emph{est une fonction dérivable, vérifie} :

\[f'(x) = u'(x)\times \text{e}^{u(x)}.\]

\begin{enumerate}
\item Vérifier que la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $f(t) = 1 - \text{e}^{-100 t}$ est la solution sur $[0~;~+ \infty[$ de l'équation différentielle $(E)$ qui s'annule en zéro.
\item On a donc pour tout $t$ appartenant à $[0~;~+ \infty[$ : $s(t) = 1  - \text{e}^{-100 t}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} s(t)$. Justifier.
		\item Étudier les variations de la fonction $s$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
		\item Sur le \textbf{document réponse 1}, tracer la représentation graphique de la fonctions sur
l'intervalle [0~;~0,20].
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On s'intéresse dans cette partie à un système d'entrée-sortie numérique destiné à approcher le
système analogique étudié dans l'exercice.

La tension d'entrée $e(t)$, exprimée en volt, est échantillonnée à la cadence $T_e$ avec $T_e = 10^{-3}$ s.

On obtient ainsi un signal discret causal $\left(a_n\right)$ vérifiant pour tout entier $n \geqslant 0 :\: a_n = e \left(nT_e\right) = 1$.

Par échantillonnage à la cadence $T_e$ de la fonction $s$ et discrétisation de l'équation
$RC s'Ct) + s(t) = e(t)$, on définit un signal discret causal $\left(b_n\right)$ vérifiant, pour tout $n \geqslant  1$ :

\[RC\dfrac{ b_n - b_{n-1}}{T_e} + b_n = a_n,\: \text{soit } \:  10\left(b_n - b_{n-1}\right) + b_n = a_n.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout $n \geqslant 1 \::\: b_n = \dfrac{1}{11}a_n + \dfrac{10}{11} b_{n-1}$.
		\item Quelle valeur faut-il donner à $b_0$ pour que la relation $b_n = \dfrac{1}{11}a_n + \dfrac{10}{11} b_{n-1}$ soit valable pour $n = 0$ ?
	\end{enumerate}
\item Désormais, on suppose que pour tout entier $n \geqslant 0$\: :\: $b_n = \dfrac{1}{11}a_n + \dfrac{10}{11} b_{n-1}$·

Reporter dans le tableau du \textbf{document réponse 1}, les valeurs de $a_n, b_{n-1}$ et $b_n$ arrondies à $10^{- 3}$ près pour $n$ compris entre 0 et 3.
\item On donne les formules suivantes relatives à la transformation en Z :
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline	
\textbf{Signal causal}					& \textbf{Transformée en Z}\\ \hline
$f(n) = a^n, \: a \in  \R*$				& $F(z) = \dfrac{z}{z - a}$\\ \hline
$x(n)$									& $X(z) = \displaystyle\sum_{n = 0}^{+ \infty} x(n)z^{- n}$\\ \hline
$y(n) = x\left(n - n_0\right),\: n_0\in \N$& $Y(z) = z^{- n_0}X(z)$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item On rappelle que le signal causal $\left(a_n\right)$ vérifie : $a_n = 1$ pour tout entier $n \geqslant  0$.
		
Donner la transformée en Z, notée $A(z)$, du signal $\left(a_n\right)$.
		\item On admet que le signal $\left(b_n\right)$ admet une transformée en Z notée $B(z)$.
		
En utilisant l'égalité $b_n = \dfrac{1}{11}a_n + \dfrac{10}{11} b_{n-1}$, valable pour tout entier $n \geqslant  0$, déterminer une expression de $B(z)$ en fonction de $z$. 
		\item Prouver que : $\dfrac{B(z)}{z} = \dfrac{1}{z - 1} - \dfrac{10}{11z - 10}$.
		\item On déduit de la question précédente que : $B(z) = \dfrac{z}{z - 1}  - \dfrac{10}{11}\dfrac{z}{z - \frac{10}{11}}$.

Déterminer $b_n$ pour tout entier $n \geqslant 0$.
	\end{enumerate}
\item On estime que l'équivalent numérique du filtre analogique est satisfaisant lorsque l'écart relatif
entre $b_n$ et $s\left(nT_e\right)$, pour $n \geqslant  1$, est strictement inférieur à 1\,\%, c'est-à-dire lorsque :
	
	\[\left|\dfrac{b_n}{s\left(nT_e\right)}  - 1 \right| < 0,01.\]
	
On rappelle que $T_e = 10^{- 3}s$ et que pour tout $t$ appartenant à $[0~;~+ \infty[$ :

 $s(t) = 1 - \text{e}^{- 100 t}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $s\left(nT_e\right)$ en fonction de $n$.
		\item Déterminer la plus petite valeur de l'entier $n,\  n \geqslant 1$, pour laquelle l'écart relatif entre $b_n$ et $s\left(nT_e\right)$ est strictement inférieur à 1\,\%.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\medskip

Une entreprise fabrique un très grand nombre de condensateurs électroniques.
Leurs caractéristiques d'utilisation normale sont: une tension nominale en Volt (V) ; une capacité
nominale en micro farad ($\mu$F); une tolérance sur la capacité en pourcentage (\%).

\medskip

Les trois parties de l'exercice peuvent être traitées de \textbf{façon indépendante}

\medskip

On arrondira les probabilités calculées dans chacune d'elles \textbf{au millième}.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On s'intéresse à un type de condensateur de découplage dans les amplificateurs. Le constructeur
indique une capacité C de 22 $\mu$F et une tolérance sur la capacité de $\pm5\,\%$.

Le condensateur est donc considéré comme conforme lorsque sa capacité est comprise entre
$0,95 \times 22~\mu$F et $1,05 \times 22~\mu$F ,c'est-à-dire entre $20,9~\mu$F et $23,1~\mu$F.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque condensateur prélevé au hasard dans la production
d'une journée, associe sa capacité en micro farad ($\mu$F).

On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi normale de moyenne $m = 22~\mu$F et d'écart-type
$\sigma = 0,6~\mu$F.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'un condensateur prélevé au hasard soit conforme.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur, arrondie au centième, du nombre réel positif $h$ tel que :
		
\[P(22 - h \leqslant X \leqslant 22 + h) \approx 0,95 \text{ à}\: 0,01\: \text{ près par excès}.\]

		\item Traduire le résultat précédent par une phrase dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère à présent que 7\,\% des condensateurs fabriqués par l'entreprise sont non conformes.

On prélève 50 condensateurs dans la production d'un jour donné. La production est assez importante
pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.

On note $Y$ la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de $50$ condensateurs, associe le nombre de
condensateurs non conformes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la loi de la variable aléatoire $Y$ et préciser ses paramètres. On n'attend pas de
justifications.
\item Calculer la probabilité qu'un prélèvement contienne un seul condensateur non conforme.
\item Calculer la probabilité qu'il y ait au maximum un condensateur non conforme dans un
prélèvement.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On rappelle que si une variable aléatoire $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, alors:
\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item pour tout nombre réel positif $x : P(X \leqslant x) = \displaystyle\int_0^x  \lambda \text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t$,
\item l'espérance de $X$ vaut $\dfrac{1}{\lambda}$ et sa variance vaut $\dfrac{1}{\lambda^2}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On considère que la durée $D$ de fonctionnement, en heure, d'un condensateur fabriqué par
l'entreprise est une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 2\cdot10^{- 5}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'un condensateur fonctionne plus de \np{20000} heures.
\item Quelle est la durée de fonctionnement moyenne d'un condensateur fabriqué par l'entreprise ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 6 points}

\medskip

On rappelle que la transformée de Fourier discrète (T. F. D.) d'une séquence de nombres complexes
$\left(x_0,~x_1,~x_2, \ldots,~x_{N-1}\right)$ où $N$ est un entier naturel non nul, est la séquence de nombres complexes
$\left(X_0,~ X_1,~ X_2,~\ldots,~X_{N -1}\right)$ définie par :

\[X_l = \displaystyle\sum_{k=0}^{N-1} x_k\omega^{-kl},~\text{ pour tout entier }\:l \text{ compris entre }\:0 \text{ et}\: (N - 1) \text{ et avec }\:\omega = \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{N}}.\]

On considère le signal $s$ périodique de période $T = \dfrac{1}{400}$ défini par:

\[\left(s(t) = 800\pi t\: \text{si}\: - \dfrac{T}{4} \leqslant t \leqslant \dfrac{T}{4}\right) \quad \text{et}\:\: \left(s(t) = \pi - 800\pi t \:\text{si}\: \dfrac{T}{4} \leqslant t \leqslant \dfrac{3T}{4}\right).\]

\begin{enumerate}
\item Représenter le signal $s$ sur l'intervalle $[- T~;~2T]$ dans le repère du document réponse 2 .
\item On échantillonne le signal $s$ tous les $T_e = \dfrac{T}{8}$ sur l'intervalle $[0~;~T[$.
	\begin{enumerate}
		\item Placer sur le cercle trigonométrique donné dans le document réponse 2 le nombre complexe
$\omega = \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{8}} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$ et les nombres complexes 
		$\omega^n$ pour les entiers $n$ compris entre $- 8$ et $8$.
		\item Compléter le tableau du document réponse 2 avec les valeurs des échantillons $x_k = s\left(k \dfrac{T}{8}\right)$ et les formes algébriques des nombres complexes $\omega^{-k}$, pour $k$ compris entre 0 et 7.
		\item On note $\left(X_0,~ X_1,~ X_2,~\ldots,~X_{7}\right)$ la T. F. D. des échantillons $\left(x_0,~x_1,~x_2, \ldots,~x_{7}\right)$ du signal.
		
Calculer les formes algébriques des nombres complexes $X_0$ et $X_1$.
	\end{enumerate}
\item À l'aide du programme donné en page suivante  on simule l'échantillonnage du signal $s$
à la fréquence $F_e = \np{20000}$ Hz pendant une durée de $0,5$ seconde et on s'intéresse à son spectre.
	
Ce programme est écrit avec un logiciel de calcul vectoriel de type Scilab.
	
Certaines lignes de commande sont accompagnées de commentaires les explicitant (en italiques après
le symbole //). \%pi désigne une valeur approchée de la constante mathématique $\pi$.

Le calcul des échantillons du signal $s$ est effectué dans les lignes 4 et 5 de ce programme en utilisant
la fonction arcsinus, notée asin, qui à tout réel $x$ compris entre $- 1$ et $+ 1$ associe le réel compris entre
$- \dfrac{\pi}{2}$ et $+ \dfrac{\pi}{2}$ dont le sinus est égal  à $X$.

Aucune connaissance sur la fonction arcsinus n'est nécessaire pour comprendre le programme
puis traiter les questions posées.

\begin{center}
\textbf{PROGRAMME}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c l X|}\hline
01 &Fe=20000;&\\
02 &t= (0 : 1/Fe : 0.5-1/Fe);&//le vecteur-ligne $t$ contient les nombres $k\dfrac{1}{F_e}$ appartenant à l'intervalle [0~;~0,5[.\\
03 &N=size(t);&//$N$ est le nombre de termes du vecteur-ligne $t$.\\
04 &u=sin (800*\%pi*t);&\\
05 &s=asin(u);&//le vecteur-ligne $s$ contient les échantillons du signal associés aux valeurs contenues dans le vecteur-ligne $t$.\\
06 &TFs=fft(s);&//le vecteur-ligne TFs contient la TFD de la séquence $s$.\\
07 &modTFs=abs(TFs );&//le vecteur- ligne modTFs contient les modules des termes du
vecteur-ligne TFs.\\
08 &scf(1);clf(1);&//ouverture de l'écran graphique \no 1 et effacement de son
contenu antérieur.\\
09 &plot(modTFs);&//on représente en abscisses les rangs des termes du vecteur-ligne
modTFs et en ordonnées les valeurs de ces termes.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X}
\textbf{On rappelle que} la première moitié de la TFD $\left(X_0,~ X_1,~ X_2,~\ldots,~X_{N -1}\right)$ des échantillons d'un signal approxime, à un coefficient constant près, le spectre du signal aux fréquences $0, \dfrac{F_e}{N},\: \dfrac{2F_e}{N},$\ldots etc. Plus précisément :\\
$\left|X_l\right| \approx \dfrac{N}{2} \times A_l$  où $A_l$ est l'amplitude de la composante de fréquence $\dfrac{lF_e}{N}$ du signal.
\end{tabularx}

	\begin{enumerate}
		\item $N$ est le nombre d'échantillons du signal. On rappelle que l'échantillonnage est réalisé à la fréquence $F_e = \np{20000}$Hz pendant une durée de 0,5 seconde. Que vaut $N$ ?
		\item On a exécuté le programme ci-dessus et obtenu la \textbf{représentation graphique 1} donnée à la fin puis, en zoomant sur celle-ci, la \textbf{représentation graphique 2}.
		
D'après ces représentations graphiques :
		
		\begin{enumerate}
			\item Quelle semble être la fréquence de la composante du signal ayant la plus grande amplitude ?
			\item On s'intéresse à la deuxième composante la plus significative (relativement à l'amplitude) du signal.
			
Estimer, en pourcentage de l'amplitude de la composante du signal ayant la plus grande
amplitude, l'amplitude de cette deuxième composante.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\newpage
\begin{center}

\textbf{\large Représentation graphique 1}

\vspace{1cm}

\psset{unit=0.0011cm}
\begin{pspicture}(-1000,-500)(10000,7000)
\psframe(0,0)(10000,7000)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1000,Dy=1000,tickstyle=bottom](0,0)(10000,7000)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=500,Dy=500,tickstyle=bottom,labels=none](0,0)(10000,7000)
\psline(200,0)(200,6300)
\psline(550,0)(550,700)
\psline(1010,0)(1010,250)
\psline(1400,0)(1400,100)
\psline(1800,0)(1800,50)
\psline(1800,0)(1800,80)
\psline(2150,0)(2150,40)
\psline(2600,0)(2600,15)
\psline(7400,0)(7400,5)
\psline(7800,0)(7800,10)
\psline(8200,0)(8200,20)
\psline(8500,0)(8550,70)
\psline(9050,0)(9050,300)
\psline(9400,0)(9400,650)
\psline(9800,0)(9800,6300)
\uput[r](10000,0){$l$}
\uput[l](0,7300){$\left|X_l\right|$}
\end{pspicture}

\vspace{1.5cm}

\textbf{\large Représentation graphique 2}

\bigskip

\psset{xunit=0.0031cm,yunit=0.0012cm}
\begin{pspicture}(-300,-500)(3600,7000)
\psframe(0,0)(3600,7000)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=500,Dy=1000,tickstyle=bottom](0,0)(3600,7000)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=100,Dy=500,tickstyle=bottom,labels=none](0,0)(3600,7000)
\psline(200,0)(200,6300)
\psline(605,0)(605,700)
\psline(1000,0)(1000,250)
\psline(1400,0)(1400,120)
\uput[r](3600,0){$l$}
\uput[l](0,7300){$\left|X_l\right|$}
\end{pspicture}

\newpage

\textbf{Document réponse 1 à rendre avec la copie}

\bigskip

\begin{flushleft}
\textbf{Exercice 1. Partie A. Question 2 c. : Représentation graphique de la fonction $s$}
\end{flushleft}
\psset{xunit=47cm,yunit=8cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.02,-0.1)(0.24,1.2)
\multido{\n=0.00+0.01}{24}{\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](\n,0)(\n,1.2)}
\multido{\n=0.00+0.05}{25}{\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](0,\n)(0.23,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.01,Dy=0.1,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0.24,1.2)
\uput[u](0.224,0){$t$ (en s)}
\uput[r](0,1.15){$s(t)$ (en volts)}
\end{pspicture}

\vspace{0.5cm}

\begin{flushleft}
\textbf{Exercice 1. Partie B. Question 2}
\end{flushleft}

\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$			& 0 	&1 	&2 	&3\\ \hline
$a_n$ 		&1		&	&	&\\ \hline
$b_{n-1}$ 	&0		&	&	&\\ \hline
$b_n$ 		&0,091	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{1}
\newpage

\textbf{Document réponse 2 à rendre avec la copie}

\bigskip

\begin{flushleft}
\textbf{Exercice 3. Question 1 : Représentation du signal \boldmath$s$ sur \boldmath$[-T~;~2T]$\unboldmath}
\end{flushleft}

\bigskip

\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-5,-2.5)(9,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=10](-5,-2.5)(9,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-5,-2)(9,3)
\uput[dr](0,0){O} \uput[ur](0,2){$\frac{\pi}{2}$} \uput[ur](0,-2){$- \frac{\pi}{2}$}
\uput[ul](-4,0){$- T$} \uput[ul](-1,0){$- T/4$} \uput[ur](1,0){$T/4$} 
\uput[ur](4,0){$T$} \uput[ur](8,0){$2T$} 
\end{pspicture}


\vspace{0,5cm}

\begin{flushleft}
\textbf{Exercice 3. Question 2. a.}
\end{flushleft}

\bigskip

\psset{unit=2.15cm}
\begin{pspicture}(-3,-1.25)(2.5,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3,-1.25)(2.5,1.5)
\pscircle(0,0){1}
\uput[dr](0,0){O} \uput[ur](1,0){1}
\end{pspicture}

\bigskip

\begin{flushleft}
\textbf{Exercice 3. Question 2. b. : Tableau à compléter}
\end{flushleft}

\bigskip

\renewcommand\arraystretch{2.2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|>{\centering \arraybackslash}X|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$k$& 0 &1&2&3&4&5&6&7\\ \hline
$x_k = s\left(k\frac{T}{8}\right)$	&0&$\dfrac{\pi}{4}$&&&&$- \dfrac{\pi}{4}$&$- \dfrac{\pi}{2}$&\\ \hline
$\omega^{-k}$&1&$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\text{i}$&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}