%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{graphicx} \usepackage{textcomp} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-circ,pst-node,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-2cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS Systèmes numériques}, pdftitle = {12 mai 2016}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH } \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur} \lfoot{\small{Systèmes numériques}} \rfoot{\small{12 mai 2016}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center}{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur 12 mai 2016 Systèmes numériques}} \vspace{0,25cm} {\large } \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 8 points} \medskip On considère un filtre analogique de type passe bas du premier ordre utilisé dans de nombreux modules électroniques. Il est constitué d'un résistor ayant une résistance $R$ et d'un condensateur de capacité $C$. \begin{center} \psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 4} \begin{pspicture}(5,3.5) \psline{->}(0.4,0)(0.4,2)\psline{->}(4,0)(4,2) \uput[r](4,1){$s(t)$}\uput[r](0.4,1){$e(t)$} \pnode(0.4,2){A}\pnode(2.8,2){B}\resistor(A)(B){$R$} \pnode(2.8,0){C}\capacitor(C)(B){$C$} \psline(0,0)(4,0)\psline(2.8,2)(4,2) \end{pspicture} \end{center} Les tensions d'entrée et de sortie, exprimées en volt, dépendent du temps $t$ exprimé en seconde. On les modélise par des fonctions $e$ et $s$ définies sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ et qui vérifient: \[(s(0) = 0) \quad \text{et}\quad (R Cs'(t) + s(t) = e(t) \quad \text{pour tout}\: t \geqslant 0)\] \textbf{On étudie dans l'exercice le cas particulier où} \boldmath$RC = 10^{-2}$ \unboldmath {} \textbf{seconde et} \boldmath $e(t) = 1$\unboldmath {} \textbf{pour tout}\:\:\: \boldmath$t \geqslant 0$ \unboldmath. La fonction $s$ est donc la fonction nulle en 0 vérifiant sur $[0~;~+ \infty[$ l'équation différentielle : \[0,01 y'(t) + y(t) = 1 \qquad (E)\] d'inconnue la fonction $y$ , dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ et de fonction dérivée $y'$. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \emph{On rappelle que la dérivée d'une fonction }$f :\: x \longmapsto \text{e}^{u(x)}$, \emph{où } $u$ \emph{est une fonction dérivable, vérifie} : \[f'(x) = u'(x)\times \text{e}^{u(x)}.\] \begin{enumerate} \item Vérifier que la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $f(t) = 1 - \text{e}^{-100 t}$ est la solution sur $[0~;~+ \infty[$ de l'équation différentielle $(E)$ qui s'annule en zéro. \item On a donc pour tout $t$ appartenant à $[0~;~+ \infty[$ : $s(t) = 1 - \text{e}^{-100 t}$. \begin{enumerate} \item Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} s(t)$. Justifier. \item Étudier les variations de la fonction $s$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. \item Sur le \textbf{document réponse 1}, tracer la représentation graphique de la fonctions sur l'intervalle [0~;~0,20]. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On s'intéresse dans cette partie à un système d'entrée-sortie numérique destiné à approcher le système analogique étudié dans l'exercice. La tension d'entrée $e(t)$, exprimée en volt, est échantillonnée à la cadence $T_e$ avec $T_e = 10^{-3}$ s. On obtient ainsi un signal discret causal $\left(a_n\right)$ vérifiant pour tout entier $n \geqslant 0 :\: a_n = e \left(nT_e\right) = 1$. Par échantillonnage à la cadence $T_e$ de la fonction $s$ et discrétisation de l'équation $RC s'Ct) + s(t) = e(t)$, on définit un signal discret causal $\left(b_n\right)$ vérifiant, pour tout $n \geqslant 1$ : \[RC\dfrac{ b_n - b_{n-1}}{T_e} + b_n = a_n,\: \text{soit } \: 10\left(b_n - b_{n-1}\right) + b_n = a_n.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout $n \geqslant 1 \::\: b_n = \dfrac{1}{11}a_n + \dfrac{10}{11} b_{n-1}$. \item Quelle valeur faut-il donner à $b_0$ pour que la relation $b_n = \dfrac{1}{11}a_n + \dfrac{10}{11} b_{n-1}$ soit valable pour $n = 0$ ? \end{enumerate} \item Désormais, on suppose que pour tout entier $n \geqslant 0$\: :\: $b_n = \dfrac{1}{11}a_n + \dfrac{10}{11} b_{n-1}$· Reporter dans le tableau du \textbf{document réponse 1}, les valeurs de $a_n, b_{n-1}$ et $b_n$ arrondies à $10^{- 3}$ près pour $n$ compris entre 0 et 3. \item On donne les formules suivantes relatives à la transformation en Z : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \textbf{Signal causal} & \textbf{Transformée en Z}\\ \hline $f(n) = a^n, \: a \in \R*$ & $F(z) = \dfrac{z}{z - a}$\\ \hline $x(n)$ & $X(z) = \displaystyle\sum_{n = 0}^{+ \infty} x(n)z^{- n}$\\ \hline $y(n) = x\left(n - n_0\right),\: n_0\in \N$& $Y(z) = z^{- n_0}X(z)$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item On rappelle que le signal causal $\left(a_n\right)$ vérifie : $a_n = 1$ pour tout entier $n \geqslant 0$. Donner la transformée en Z, notée $A(z)$, du signal $\left(a_n\right)$. \item On admet que le signal $\left(b_n\right)$ admet une transformée en Z notée $B(z)$. En utilisant l'égalité $b_n = \dfrac{1}{11}a_n + \dfrac{10}{11} b_{n-1}$, valable pour tout entier $n \geqslant 0$, déterminer une expression de $B(z)$ en fonction de $z$. \item Prouver que : $\dfrac{B(z)}{z} = \dfrac{1}{z - 1} - \dfrac{10}{11z - 10}$. \item On déduit de la question précédente que : $B(z) = \dfrac{z}{z - 1} - \dfrac{10}{11}\dfrac{z}{z - \frac{10}{11}}$. Déterminer $b_n$ pour tout entier $n \geqslant 0$. \end{enumerate} \item On estime que l'équivalent numérique du filtre analogique est satisfaisant lorsque l'écart relatif entre $b_n$ et $s\left(nT_e\right)$, pour $n \geqslant 1$, est strictement inférieur à 1\,\%, c'est-à-dire lorsque : \[\left|\dfrac{b_n}{s\left(nT_e\right)} - 1 \right| < 0,01.\] On rappelle que $T_e = 10^{- 3}s$ et que pour tout $t$ appartenant à $[0~;~+ \infty[$ : $s(t) = 1 - \text{e}^{- 100 t}$. \begin{enumerate} \item Calculer $s\left(nT_e\right)$ en fonction de $n$. \item Déterminer la plus petite valeur de l'entier $n,\ n \geqslant 1$, pour laquelle l'écart relatif entre $b_n$ et $s\left(nT_e\right)$ est strictement inférieur à 1\,\%. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 6 points} \medskip Une entreprise fabrique un très grand nombre de condensateurs électroniques. Leurs caractéristiques d'utilisation normale sont: une tension nominale en Volt (V) ; une capacité nominale en micro farad ($\mu$F); une tolérance sur la capacité en pourcentage (\%). \medskip Les trois parties de l'exercice peuvent être traitées de \textbf{façon indépendante} \medskip On arrondira les probabilités calculées dans chacune d'elles \textbf{au millième}. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip On s'intéresse à un type de condensateur de découplage dans les amplificateurs. Le constructeur indique une capacité C de 22 $\mu$F et une tolérance sur la capacité de $\pm5\,\%$. Le condensateur est donc considéré comme conforme lorsque sa capacité est comprise entre $0,95 \times 22~\mu$F et $1,05 \times 22~\mu$F ,c'est-à-dire entre $20,9~\mu$F et $23,1~\mu$F. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque condensateur prélevé au hasard dans la production d'une journée, associe sa capacité en micro farad ($\mu$F). On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi normale de moyenne $m = 22~\mu$F et d'écart-type $\sigma = 0,6~\mu$F. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité qu'un condensateur prélevé au hasard soit conforme. \item \begin{enumerate} \item Déterminer la valeur, arrondie au centième, du nombre réel positif $h$ tel que : \[P(22 - h \leqslant X \leqslant 22 + h) \approx 0,95 \text{ à}\: 0,01\: \text{ près par excès}.\] \item Traduire le résultat précédent par une phrase dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On considère à présent que 7\,\% des condensateurs fabriqués par l'entreprise sont non conformes. On prélève 50 condensateurs dans la production d'un jour donné. La production est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On note $Y$ la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de $50$ condensateurs, associe le nombre de condensateurs non conformes. \medskip \begin{enumerate} \item Donner la loi de la variable aléatoire $Y$ et préciser ses paramètres. On n'attend pas de justifications. \item Calculer la probabilité qu'un prélèvement contienne un seul condensateur non conforme. \item Calculer la probabilité qu'il y ait au maximum un condensateur non conforme dans un prélèvement. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip On rappelle que si une variable aléatoire $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, alors: \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item pour tout nombre réel positif $x : P(X \leqslant x) = \displaystyle\int_0^x \lambda \text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t$, \item l'espérance de $X$ vaut $\dfrac{1}{\lambda}$ et sa variance vaut $\dfrac{1}{\lambda^2}$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On considère que la durée $D$ de fonctionnement, en heure, d'un condensateur fabriqué par l'entreprise est une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 2\cdot10^{- 5}$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité qu'un condensateur fonctionne plus de \np{20000} heures. \item Quelle est la durée de fonctionnement moyenne d'un condensateur fabriqué par l'entreprise ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 \hfill 6 points} \medskip On rappelle que la transformée de Fourier discrète (T. F. D.) d'une séquence de nombres complexes $\left(x_0,~x_1,~x_2, \ldots,~x_{N-1}\right)$ où $N$ est un entier naturel non nul, est la séquence de nombres complexes $\left(X_0,~ X_1,~ X_2,~\ldots,~X_{N -1}\right)$ définie par : \[X_l = \displaystyle\sum_{k=0}^{N-1} x_k\omega^{-kl},~\text{ pour tout entier }\:l \text{ compris entre }\:0 \text{ et}\: (N - 1) \text{ et avec }\:\omega = \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{N}}.\] On considère le signal $s$ périodique de période $T = \dfrac{1}{400}$ défini par: \[\left(s(t) = 800\pi t\: \text{si}\: - \dfrac{T}{4} \leqslant t \leqslant \dfrac{T}{4}\right) \quad \text{et}\:\: \left(s(t) = \pi - 800\pi t \:\text{si}\: \dfrac{T}{4} \leqslant t \leqslant \dfrac{3T}{4}\right).\] \begin{enumerate} \item Représenter le signal $s$ sur l'intervalle $[- T~;~2T]$ dans le repère du document réponse 2 . \item On échantillonne le signal $s$ tous les $T_e = \dfrac{T}{8}$ sur l'intervalle $[0~;~T[$. \begin{enumerate} \item Placer sur le cercle trigonométrique donné dans le document réponse 2 le nombre complexe $\omega = \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{8}} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$ et les nombres complexes $\omega^n$ pour les entiers $n$ compris entre $- 8$ et $8$. \item Compléter le tableau du document réponse 2 avec les valeurs des échantillons $x_k = s\left(k \dfrac{T}{8}\right)$ et les formes algébriques des nombres complexes $\omega^{-k}$, pour $k$ compris entre 0 et 7. \item On note $\left(X_0,~ X_1,~ X_2,~\ldots,~X_{7}\right)$ la T. F. D. des échantillons $\left(x_0,~x_1,~x_2, \ldots,~x_{7}\right)$ du signal. Calculer les formes algébriques des nombres complexes $X_0$ et $X_1$. \end{enumerate} \item À l'aide du programme donné en page suivante on simule l'échantillonnage du signal $s$ à la fréquence $F_e = \np{20000}$ Hz pendant une durée de $0,5$ seconde et on s'intéresse à son spectre. Ce programme est écrit avec un logiciel de calcul vectoriel de type Scilab. Certaines lignes de commande sont accompagnées de commentaires les explicitant (en italiques après le symbole //). \%pi désigne une valeur approchée de la constante mathématique $\pi$. Le calcul des échantillons du signal $s$ est effectué dans les lignes 4 et 5 de ce programme en utilisant la fonction arcsinus, notée asin, qui à tout réel $x$ compris entre $- 1$ et $+ 1$ associe le réel compris entre $- \dfrac{\pi}{2}$ et $+ \dfrac{\pi}{2}$ dont le sinus est égal à $X$. Aucune connaissance sur la fonction arcsinus n'est nécessaire pour comprendre le programme puis traiter les questions posées. \begin{center} \textbf{PROGRAMME} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c l X|}\hline 01 &Fe=20000;&\\ 02 &t= (0 : 1/Fe : 0.5-1/Fe);&//le vecteur-ligne $t$ contient les nombres $k\dfrac{1}{F_e}$ appartenant à l'intervalle [0~;~0,5[.\\ 03 &N=size(t);&//$N$ est le nombre de termes du vecteur-ligne $t$.\\ 04 &u=sin (800*\%pi*t);&\\ 05 &s=asin(u);&//le vecteur-ligne $s$ contient les échantillons du signal associés aux valeurs contenues dans le vecteur-ligne $t$.\\ 06 &TFs=fft(s);&//le vecteur-ligne TFs contient la TFD de la séquence $s$.\\ 07 &modTFs=abs(TFs );&//le vecteur- ligne modTFs contient les modules des termes du vecteur-ligne TFs.\\ 08 &scf(1);clf(1);&//ouverture de l'écran graphique \no 1 et effacement de son contenu antérieur.\\ 09 &plot(modTFs);&//on représente en abscisses les rangs des termes du vecteur-ligne modTFs et en ordonnées les valeurs de ces termes.\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X} \textbf{On rappelle que} la première moitié de la TFD $\left(X_0,~ X_1,~ X_2,~\ldots,~X_{N -1}\right)$ des échantillons d'un signal approxime, à un coefficient constant près, le spectre du signal aux fréquences $0, \dfrac{F_e}{N},\: \dfrac{2F_e}{N},$\ldots etc. Plus précisément :\\ $\left|X_l\right| \approx \dfrac{N}{2} \times A_l$ où $A_l$ est l'amplitude de la composante de fréquence $\dfrac{lF_e}{N}$ du signal. \end{tabularx} \begin{enumerate} \item $N$ est le nombre d'échantillons du signal. On rappelle que l'échantillonnage est réalisé à la fréquence $F_e = \np{20000}$Hz pendant une durée de 0,5 seconde. Que vaut $N$ ? \item On a exécuté le programme ci-dessus et obtenu la \textbf{représentation graphique 1} donnée à la fin puis, en zoomant sur celle-ci, la \textbf{représentation graphique 2}. D'après ces représentations graphiques : \begin{enumerate} \item Quelle semble être la fréquence de la composante du signal ayant la plus grande amplitude ? \item On s'intéresse à la deuxième composante la plus significative (relativement à l'amplitude) du signal. Estimer, en pourcentage de l'amplitude de la composante du signal ayant la plus grande amplitude, l'amplitude de cette deuxième composante. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large Représentation graphique 1} \vspace{1cm} \psset{unit=0.0011cm} \begin{pspicture}(-1000,-500)(10000,7000) \psframe(0,0)(10000,7000) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1000,Dy=1000,tickstyle=bottom](0,0)(10000,7000) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=500,Dy=500,tickstyle=bottom,labels=none](0,0)(10000,7000) \psline(200,0)(200,6300) \psline(550,0)(550,700) \psline(1010,0)(1010,250) \psline(1400,0)(1400,100) \psline(1800,0)(1800,50) \psline(1800,0)(1800,80) \psline(2150,0)(2150,40) \psline(2600,0)(2600,15) \psline(7400,0)(7400,5) \psline(7800,0)(7800,10) \psline(8200,0)(8200,20) \psline(8500,0)(8550,70) \psline(9050,0)(9050,300) \psline(9400,0)(9400,650) \psline(9800,0)(9800,6300) \uput[r](10000,0){$l$} \uput[l](0,7300){$\left|X_l\right|$} \end{pspicture} \vspace{1.5cm} \textbf{\large Représentation graphique 2} \bigskip \psset{xunit=0.0031cm,yunit=0.0012cm} \begin{pspicture}(-300,-500)(3600,7000) \psframe(0,0)(3600,7000) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=500,Dy=1000,tickstyle=bottom](0,0)(3600,7000) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=100,Dy=500,tickstyle=bottom,labels=none](0,0)(3600,7000) \psline(200,0)(200,6300) \psline(605,0)(605,700) \psline(1000,0)(1000,250) \psline(1400,0)(1400,120) \uput[r](3600,0){$l$} \uput[l](0,7300){$\left|X_l\right|$} \end{pspicture} \newpage \textbf{Document réponse 1 à rendre avec la copie} \bigskip \begin{flushleft} \textbf{Exercice 1. Partie A. Question 2 c. : Représentation graphique de la fonction $s$} \end{flushleft} \psset{xunit=47cm,yunit=8cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.02,-0.1)(0.24,1.2) \multido{\n=0.00+0.01}{24}{\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](\n,0)(\n,1.2)} \multido{\n=0.00+0.05}{25}{\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](0,\n)(0.23,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.01,Dy=0.1,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0.24,1.2) \uput[u](0.224,0){$t$ (en s)} \uput[r](0,1.15){$s(t)$ (en volts)} \end{pspicture} \vspace{0.5cm} \begin{flushleft} \textbf{Exercice 1. Partie B. Question 2} \end{flushleft} \renewcommand\arraystretch{1.5} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $n$ & 0 &1 &2 &3\\ \hline $a_n$ &1 & & &\\ \hline $b_{n-1}$ &0 & & &\\ \hline $b_n$ &0,091 & & &\\ \hline \end{tabularx} \renewcommand\arraystretch{1} \newpage \textbf{Document réponse 2 à rendre avec la copie} \bigskip \begin{flushleft} \textbf{Exercice 3. Question 1 : Représentation du signal \boldmath$s$ sur \boldmath$[-T~;~2T]$\unboldmath} \end{flushleft} \bigskip \psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(-5,-2.5)(9,3) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=10](-5,-2.5)(9,3) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-5,-2)(9,3) \uput[dr](0,0){O} \uput[ur](0,2){$\frac{\pi}{2}$} \uput[ur](0,-2){$- \frac{\pi}{2}$} \uput[ul](-4,0){$- T$} \uput[ul](-1,0){$- T/4$} \uput[ur](1,0){$T/4$} \uput[ur](4,0){$T$} \uput[ur](8,0){$2T$} \end{pspicture} \vspace{0,5cm} \begin{flushleft} \textbf{Exercice 3. Question 2. a.} \end{flushleft} \bigskip \psset{unit=2.15cm} \begin{pspicture}(-3,-1.25)(2.5,1.5) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3,-1.25)(2.5,1.5) \pscircle(0,0){1} \uput[dr](0,0){O} \uput[ur](1,0){1} \end{pspicture} \bigskip \begin{flushleft} \textbf{Exercice 3. Question 2. b. : Tableau à compléter} \end{flushleft} \bigskip \renewcommand\arraystretch{2.2} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|>{\centering \arraybackslash}X|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $k$& 0 &1&2&3&4&5&6&7\\ \hline $x_k = s\left(k\frac{T}{8}\right)$ &0&$\dfrac{\pi}{4}$&&&&$- \dfrac{\pi}{4}$&$- \dfrac{\pi}{2}$&\\ \hline $\omega^{-k}$&1&$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\text{i}$&&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{document}