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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Systèmes numériques}}
\rfoot{\small{11 mai 2017}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur 11 mai  2017~\decofourright\\[5pt] Systèmes numériques (Candidats libres)}}

\vspace{0,25cm}

{\large }   
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip

\textbf{Les questions de cet exercice à l'exception de la question 2. de la Partie A sont
des questions à choix multiples. Une seule réponse est exacte. On l'indiquera
sur la copie. Aucune justification n'est attendue.}

\medskip

On rappelle que la Transformée de Fourier Discrète (TFD) d'une séquence de
nombres complexes $\left(x_0~;~x_1~;~x_2~;~\ldots~;~x_{N-1}\right)$, où $N$ est un entier naturel non nul, est la séquence de nombres complexes $\left(X_0~;~X_1~;~X_2~;~\ldots~;~X_{N-1}\right)$ définie par:

\[X_{\ell} = \displaystyle\sum_{k=0}^{N-1} x_kw^{-k \ell}\]

pour tout entier $\ell$ compris entre $0$ et $N - 1$, avec $w = \text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{N}}$.
{

Soit le signal, noté $f$, périodique de période $T$ défini par : $\left\{\begin{array}{l c l}
f(t) &= &t \quad \text{si } t \in  \left[0~;~\frac{T}{2}\right]\\
f(t) &= &t - T \quad \text{si } t \in  \left]\frac{T}{2}~;~T\right]
\end{array}\right.$

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Parmi les figures ci-dessous, laquelle est une représentation graphique de la
fonction $f$ ?

\parbox{0.48\linewidth}{
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-4,-3)(4,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1](-4,-2)(4,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-4,-2)(4,2)\uput[dl](0,0){O}
\psline[linewidth=1.25pt](-4,-1)(-2,1)
\psline[linewidth=1.25pt]{>-<}(-2,-1)(0,1)
\psline[linewidth=1.25pt](0,-1)(2,1)
\psline[linewidth=1.25pt]{>-<}(2,-1)(4,1)
\rput(0,-2.5){figure 1}
\uput[ur](0,1){\footnotesize $\frac{T}{2}$}
\uput[d](2,-1){\footnotesize $\frac{T}{2}$}
\end{pspicture}}
\hfill\parbox{0.48\linewidth}{
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-4,-3)(4,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1](-4,-2)(4,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-4,-2)(4,2)\uput[dl](0,0){O}
\psline[linewidth=1.25pt](-4,1)(-2,-1)
\psline[linewidth=1.25pt]{>-<}(-2,1)(0,-1)
\psline[linewidth=1.25pt](0,1)(2,-1)
\psline[linewidth=1.25pt]{>-<}(2,1)(4,-1)
\rput(0,-2.5){figure 2}
\uput[l](0,1){\footnotesize $\frac{T}{2}$}
\uput[d](2,-1){\footnotesize $\frac{T}{2}$}
\end{pspicture}}

\begin{center}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-4,-3)(4,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1](-4,-2)(4,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-4,-2)(4,2)\uput[dl](0,0){O}
\psline[linewidth=1.25pt](-4,0)(-2,2)
\psline[linewidth=1.25pt]{>-}(-2,-2)(2,2)
\psline[linewidth=1.25pt]{>-}(2,-2)(4,0)
\rput(0,-2.5){figure 3}
\uput[l](0,2){\footnotesize $\frac{T}{2}$}
\uput[d](2,0){\footnotesize $\frac{T}{2}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau suivant avec les valeurs des $f\left(\frac{kT}{4}\right)$ pour $k$ variant de 0 à 3. Ces valeurs seront exprimées en fonction de $T$.
		
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Valeurs de $k$				&0	&1	&2	&3\\ \hline
$f\left(\frac{kT}{4}\right)$&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

		\item On note $\left(X_0~;~X_1~;~X_2~;~X_3\right)$ la TFD de la séquence :

\[\left(x_0~;~x_1~;~x_2~;~x_3\right) = (0~;~\np{0,0025}~;~0,005~;~- \np{0,0025}).\]

Calculer le coefficient $X_1$ de cette TFD.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on donne $T = \dfrac{1}{100}$.

On veut déterminer la TFD de la séquence obtenue par l'échantillonnage du signal
$f$ tous les $\frac{T}{4}$ sur l'intervalle $[0~;~T[$. 

On utilise le programme suivant, où $A(i~;~j)$ désigne
le coefficient de la matrice $A$ situé à la $i$-ème ligne et à la $j$ème colonne :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{X}
Variables :\\
\hspace{1cm}$N$, $k$ et $j$ sont des entiers\\
\hspace{1cm}$X$, $M$ et TFD sont des matrices\\
\hspace{1cm}$w$ est un complexe\\
Traitement:\\
\hspace{0.5cm}1. Lire $N$.\\
\hspace{0.5cm}2. Pour $k$ allant de $1$ à $N$,\\
\hspace{0.5cm}3. \hspace{1.5cm}Affecter à $X(k~;~1)$ la valeur $f\left(\frac{k -1}{N*100}\right)$\\
\hspace{0.5cm}4. FinPour\\
\hspace{0.5cm}5. Affecter à $w$ la valeur exp$\left(\frac{2\text{i}\pi}{N}\right)$\\
\hspace{0.5cm}6. Pour $k$ allant de $1$ à $N$,\\
\hspace{0.5cm}7. Pour $j$ allant de $1$ à $N$,\\
\hspace{0.5cm}8. Affecter à $M(k~;~j)$ la valeur \ldots\ldots\\
\hspace{0.5cm}9. FinPour\\
\hspace{0.5cm}10. FinPour\\
\hspace{0.5cm}11. Afficher $M$,\\
\hspace{0.5cm}12. Afficher $X$,\\
\hspace{0.5cm}13. Affecter à TFD la matrice \ldots\ldots\\
\hspace{0.5cm}14. Afficher TFD.\\
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Parmi les propositions suivantes, quel est le calcul à mettre à la place des
pointillés dans la ligne 8 :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $w^{-(k-1)*(j-1)}$& \textbf{b.~~} $w^{(k-1)*(j-1)}$ &\textbf{c.~~} $w^{-(j-1)}$\\
\end{tabularx}
\medskip

\item Parmi les propositions suivantes, quel est le calcul à mettre à la place des
pointillés dans la ligne 13 :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $MX^2$ &\textbf{b.~~}$MX$ &\textbf{c.~~} $M^{-1}X$
\end{tabularx}
\medskip

\item L'utilisateur rentre N = 4, le programme affiche :

\[M = \begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&- \text{i}&- 1&\text{i}\\1&- 1&1&- 1\\1&\text{i}&- 1&- \text{i}
\end{pmatrix}, \quad  X = \begin{pmatrix}0\\\np{0.0025}\\0,005\\$\np{- 0,0025}$\end{pmatrix}, \quad  \text{TFD} = \begin{pmatrix}0,005\\-0,005- 0,005\text{i}\\0,005\\\ldots\ldots \end{pmatrix}.\]

Parmi les propositions suivantes, quel est le coefficient manquant de la
matrice TFD :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $- 0,005 - 0,005\text{i}$& \textbf{b.~~} $- 0,005 + 0,005\text{i}$& \textbf{c.~~} $0,005\text{i}$\\
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes}

\medskip

Une société électronique commercialise différents types de composants et
notamment des conducteurs ohmiques de \np{1000}~$\Omega$.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\emph{Dans cette partie, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$.}

\smallskip

Lors de la fabrication de ces conducteurs ohmiques, on observe des variations au
niveau de la valeur de la résistance. On admet que la résistance, exprimée en
Ohms ($\Omega$), d'un conducteur ohmique peut être modélisée par une variable aléatoire
qui suit la loi normale de paramètres $\mu = \np{1000}$ et $\sigma = 40$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité qu'un conducteur ohmique pris au hasard ait une
résistance supérieure à \np{1040}~$\Omega$.
\item  Pour pouvoir être vendu, le conducteur ohmique doit avoir une résistance
comprise entre $935~\Omega$ et $\np{1065}~\Omega$.

Quelle est la probabilité qu'un conducteur ohmique pris au hasard soit
invendable ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Lors de la fabrication de ces conducteurs ohmiques, 10\,\% d'entre eux sont non
conformes à la vente.

Un contrôle qualité permet de rejeter 98\,\% des composants non conformes à la
vente. Malheureusement, lors de ce contrôle qualité, 3\,\% des conducteurs ohmiques
tout à fait conformes sont également rejetés.

On utilisera les notations suivantes :

\setlength\parindent{3cm}

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $C$ l'évènement \og le conducteur ohmique est conforme à la vente\fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $R$ l'évènement \og le conducteur ohmique est rejeté après le contrôle qualité \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On choisit au hasard un composant issu de la fabrication.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré traduisant la situation.
\item Quelle est la probabilité qu'un composant choisi au hasard soit non conforme à la
vente et qu'il soit rejeté lors du contrôle qualité ?
\item Montrer que la probabilité que le composant soit rejeté est de $0,125$.
\item Un conducteur ohmique est choisi parmi ceux qui sont rejetés.

Quelle est la probabilité qu'il soit en fait conforme à la vente ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Des études ont montré que la durée de vie moyenne de ces conducteurs ohmiques
est de \np{2500}~heures.

On modélise la durée de vie, en heures, de ces conducteurs ohmiques par une
variable aléatoire $Y$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la valeur de $\lambda$.
\item Calculer la probabilité que la durée de vie d'un conducteur ohmique soit
supérieure à \np{3000}~heures (\emph{on donnera un résultat arrondi à }$10^{-3}$).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, les résultats numériques seront arrondis à }$10^{-2}$.

\medskip

Pour faire face à l'explosion des besoins de transmission de données, la fibre
optique s'est imposée dans la plupart des réseaux de télécommunication.

Une des caractéristiques d'une fibre est son \emph{coefficient d'atténuation}, exprimé en
décibels par kilomètre (dB/km), qui permet de mesurer la perte de puissance d'un
signal lumineux transmis, en fonction de la longueur de la ligne.

Dans tout l'exercice on note : $L$ la longueur de la fibre en kilomètres, $P_e$ la puissance
du signal lumineux à l'entrée de la fibre et $P_s$ la puissance du signal lumineux à la
sortie de la fibre. Ces puissances sont exprimées en mW.

Le coefficient d'atténuation $A$ est donné par la formule : 

\[A = \dfrac{4,343}{L}\ln \left(\dfrac{P_e}{P_s}\right).\]

\begin{enumerate}
\item Un fabricant de fibre annonce dans son catalogue un coefficient d'atténuation de
$0,9$ dB/km. Un technicien procède à des vérifications sur des fibres de différentes
longueurs. Pour cela, il envoie un signal d'entrée de puissance $P_e = 5$~mW et
mesure le signal obtenu à la sortie d'une fibre de 5~km, puis d'une fibre de 10~km.
	\begin{enumerate}
		\item À la sortie d'une fibre de 5~km, il mesure un signal de $1,77$~mW .
		
Calculer le coefficient d'atténuation. Ce résultat est-il cohérent avec l'annonce
du fabricant ?
		\item On s'intéresse maintenant à une fibre de $10$~km.
		
Quelle valeur le technicien doit-il mesurer à la sortie de la fibre ?

\emph{Toute démarche même incomplète sera prise en compte dans l'évaluation.}
		\item Établir que $\dfrac{P_e}{P_s} = \text{e}^{\frac{AL}{4,343}}$ puis exprimer $P_s$ en fonction de $P_e$, $A$ et $L$.
	\end{enumerate}
\item La puissance du signal mesurée à la sortie de la fibre peut être modélisée par
une fonction $y$ vérifiant l'équation différentielle 

\[(E) :\quad  y'(x) = -0,21y(x),\]

 où $y'$ désigne la dérivée de $y$ et $x$ la longueur de la fibre en kilomètres.
 
Déterminer la solution de l'équation $(E)$ vérifiant la condition initiale : $y(0) = 5$.
\item On admet dans cette question que la puissance du signal mesurée à la sortie de
la fibre est modélisée par la fonction $f$ définie par $f(x) = 5\text{e}^{-0,21x}$. On considère
qu'un signal doit être amplifié lorsqu'il a perdu 90\,\% de sa puissance initiale.

À partir de quelle longueur, exprimée en kilomètres, le signal transmis par la fibre
devra-t-il être amplifié ?
\item Le signal transmis est maintenant modélisé par la fonction $S$ définie par :

\[S(t) = 5 \sin (2t).\]

L'énergie $E$ transportée sur une période par le signal $S$ est donnée par la
formule :

\[E = 2 \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} [S(t)]^2\:\text{d}t.\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de l'énergie transportée sur une période par ce
signal. 

Pour le calcul de primitive, on pourra utiliser la formule de trigonométrie
suivante : 

\[\sin^2 (x) = \dfrac{1 - \cos (2x)}{2}.\]

		\item Donner une valeur approchée à $10^{-1}$ près de $E$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 6 points}

\medskip

\textbf{Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\emph{La variation du niveau de liquide dans un capteur capacitif fait varier la fréquence de
l'oscillateur dans lequel il est inséré. Le signal de sortie de l'oscillateur est ensuite
traité numériquement.}

\emph{Ce système peut être utilisé, par exemple pour mesurer la quantité de carburant
dans le réservoir d'un avion. Son objectif est de \og lisser \fg{} les variations brutales du
niveau de carburant dans le réservoir, qui pourraient être dues par exemple à des
trous d'air que traverserait l'avion.}

\emph{Le réservoir en mouvement autour d'une position moyenne horizontale engendre des
variations de niveau sur le capteur qu'il faut éliminer par traitement numérique. On
utilise pour cela un filtre passe bas (réalisant un moyennage sur 4 échantillons).}

\medskip

$x$ représente le signal discret causal issu de la numérisation du signal d'entrée et $y$ le
signal discret causal correspondant au signal de sortie. Une période
d'échantillonnage $T_e$ étant choisie, les signaux $x$ et $y$ vérifient pour tout entier $n$ la
relation $(R)$ suivante :

\[y(n) = \dfrac{1}{4} \left[x(n) + x(n - 1) + x(n - 2) + x(n - 3)\right] \quad(R)\]

\begin{enumerate}
\item Étude de cas particuliers
	\begin{enumerate}
		\item Dans le cas où $x$ est l'échelon unité discret : $\left\{\begin{array}{l c l}
		x(n)& =& 0 \quad \text{si } n < 0\\
		x(n)& =&1 \quad \text{si } n \geqslant 0
		\end{array}\right.$, représenter sur la figure 1 en annexe, le signal discret $y$ pour $n$ entier tel que $- 1\leqslant n \leqslant 5$.
		
\emph{On peut ainsi vérifier que le filtre passe-bas laisse passer le signal continu reçu en
entrée}.
		\item Une variation non significative du niveau de liquide dans le réservoir peut
être assimilée à une entrée impulsionnelle.
		
Dans ce cas, $x$ est défini pour tout $n$ entier par: $\left\{\begin{array}{l c l}
		x(0)& =&1 \quad\\
		x(n)& =&0 \quad \text{si } n \ne 0
		\end{array}\right.$
		
Représenter, sur la figure 2 en annexe pour $n$ entier tel que : $- 1\leqslant n \leqslant 5$, le
signal discret $y$ correspondant.
		
\emph{On peut vérifier, dans ce cas, qu'une impulsion de $1$ en entrée se retrouve divisée
par $4$ en sortie. En réalité le moyennage s'effectue sur $100$ échantillons,
l'impulsion de $1$ en entrée est alors divisée par $100$.}
	\end{enumerate}
\item Étude du cas général
	
On note respectivement $X$ et $Y$ les transformées en $Z$ de $x$ et de $y$. 
	
\textbf{On rappelle dans le tableau en fin d'exercice les formules de transformations}

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item En utilisant la relation $(R)$, déterminer la fonction de transfert : $F(z) = \dfrac{Y(z)}{X(z)}$.
		\item On note $\omega$ la pulsation du signal d'entrée. Montrer que :

\[F\left(\text{e}^{\text{i}\omega T_e}\right) = \dfrac{1}{4}\left[1 + \text{e}^{-\text{i}\omega T_e} + \text{e}^{-2\text{i}\omega T_e} + \text{e}^{-3\text{i}\omega T_e}\right].\]

		\item  En utilisant la formule $\cos \alpha = \dfrac{\text{e}^{\text{i}\alpha} + \text{e}^{-\text{i}\alpha}}{2}$ montrer que : 
		
\[\dfrac{1}{4}\left[1 + \text{e}^{-\text{i}\omega T_e} + \text{e}^{-2\text{i}\omega T_e} + \text{e}^{-3\text{i}\omega T_e}\right] = 0,5 \cdot [\cos(1,5\omega T_e) + \cos(0,5\omega T_e)]\cdot \text{e}^{-1,5\text{i}\omega T_e}.\]
		
		\item La période d'échantillonnage $T_e$ est suffisamment petite pour que $\cos(1,5\omega T_e)$ et $\cos(0,5\omega T_e)$ soient positifs.
		
Déduire de ce qui précède le module et un argument de $F\left(\text{e}^{\text{i} \omega T_e}\right)$, exprimés en fonction de $T_e$ et $\omega$.

\smallskip
		
\emph{L'argument de $F\left(\text{e}^{\text{i} \omega T_e}\right)$ permet de lire le retard introduit par ce filtre dans la transmission des informations.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On note $r$, le signal causal discret vérifiant $r(n) = n$ pour tout $n$ entier naturel.

Soit $t$ le signal causal discret vérifiant pour tout n entier naturel l'équation aux
différences:

\[t(n + 2) + t(n + 1) - 6t(n) = r(n + 2) + r(n + 1).\]

Avec les conditions initiales suivantes: $t(0) = 0$ et $t(1) = 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la transformée en $Z$, notée $A$, de la fonction $a$ définie par :

\[a(n) = r(n + 2) + r(n + 1).\]

\item Soit $T$ la transformée en $Z$ de $t$. On admet que : $\dfrac{T(z)}{z} = \dfrac{z^2 + z}{
(z-1)^2(z-2)(z+3)}$.

Un logiciel de calcul formel donne le résultat ci-dessous:

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.8}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|X|}\hline
partfrac ((z $\wedge$ 2 + z) / ((z - 1) $\wedge$ 2 $\star$ (z - 2) $\star$ (z + 3)))\\ \hline
\multicolumn{1}{|r|}{$\dfrac{6}{(z - 2)\star 5} - \dfrac{1}{(z - 1)^2\star 2} - \dfrac{9}{(z - 1) \star 8} - \dfrac{3}{(z + 3) \star 40}$} \\ \hline 
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{1}
\end{center}

L'instruction \og partfrac(expression) \fg{} donne la décomposition en éléments simples
de l'expression passée en argument.

Utiliser ce résultat pour déterminer l'expression de $t(n)$ pour tout $n$ entier naturel.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.8}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.8cm}|X|}\hline
\textbf{Signal causal}		& \textbf{Transformée en Z}\\ \hline
$n \longmapsto 1$			&$z \longmapsto \dfrac{z}{z - 1}$\\ \hline
\footnotesize $n\longmapsto d(n)$ avec 
$\left\{\begin{array}{l c l}
d(0)&=&1\\d(n)&=&0\:\ \text{si }
 n \ne 0 \end{array}\right.$&$z \longmapsto 1$\\ \hline
$n \longmapsto r(n) =n$			&$z \longmapsto \dfrac{z}{(z - 1)^2}$\\ \hline
$n \longmapsto n^2$			&$z \longmapsto \dfrac{z(z+1)}{(z - 1)^3}$\\ \hline
$n \longmapsto  a^n$ avec
$a$ réel non nul.			& $z \longmapsto \dfrac{z}{z - a}$\\ \hline
\multicolumn{2}{|c|}{\textbf{Propriétés}}\\ \hline
$n \longmapsto x(n)$		& $z \longmapsto X(z)$ \\ \hline
$y :  n \longmapsto  
a^nx(n)$ avec $a$ réel
 non nul					&$Y(z) = X\left(\dfrac{z}{a} \right)$\\ \hline
$y : n \longmapsto x
\left(n - n_0\right)$ pour
$n \geqslant n_0$			&$Y(z) = z^{- n_0}X(z)$\\ \hline
$y : n \longmapsto  x(n + 1)$&$Y(z) = z[X(z) - x(0)]$ \\ \hline
$y : n \longmapsto  x(n + 2)$&$Y(z) = z^2\left[X(z) - x(0) - x(1)z^{-1}\right]$ \\ \hline
$y : n \longmapsto  
x\left(n + n_0\right)$,
 avec $n_0 \geqslant 1$		&\footnotesize $Y(z) = z^{n_0}\left[X(z) - x(0) - x(1)z^{-1} - x(2)z^{-2} - \ldots - x\left(n_0 - 1 \right)z^{-\left(n_0 - 1\right)} \right]$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE à rendre avec la copie}
\end{center}
\bigskip

\textbf{Figure 1. Représentation du signal discret $y$ de l'exercice 4, partie A, question 1. a.}

\medskip
\begin{center}
\psset{xunit=1.25cm,yunit=5cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-2,-0.3)(5.5,1.6)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.2pt,subgriddiv=1](-2,-1)(5.5,1.6)
\multido{\n=-0.25+0.25}{8}{\psline[linewidth=0.2pt](-2,\n)(5.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.25]{->}(0,0)(-2,-0.25)(5.5,1.6)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=5](0,0)(0,0)(5.5,1.6)
\uput[u](5.3,0){$n$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

\textbf{Figure 2. Représentation du signal discret $y$ de l'exercice 4, partie A, question 1. b.}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=1.25cm,yunit=5cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-2,-0.3)(5.5,1.6)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.2pt,subgriddiv=1](-2,-1)(5.5,1.6)
\multido{\n=-0.25+0.25}{8}{\psline[linewidth=0.2pt](-2,\n)(5.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.25]{->}(0,0)(-2,-0.25)(5.5,1.6)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=5](0,0)(0,0)(5.5,1.6)
\uput[u](5.3,0){$n$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}