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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Services informatiques aux organisations épreuve obligatoire}}
\rfoot{\small{23 mai  2013}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Métropole~\decofourright\\ session mai 2013 - Services informatiques aux organisations}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Épreuve obligatoire}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}

\medskip

Le directeur des ressources humaines (DRH) d'une mairie doit recruter une personne pour un travail concernant la circulation des voitures dans le centre ville.

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Pour faire son choix, le DRH met en place trois critères de sélection concernant les connaissances en informatique, l'expérience dans le domaine concerné et le suivi d'un stage de formation spécifique.
 
La personne recrutée devra :

\setlength\parindent{6mm} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] avoir des connaissances informatiques et de l'expérience dans le domaine concerné ; 
\item[$\bullet~~$] ou ne pas avoir de connaissances informatiques mais avoir suivi un stage de formation spécifique; 
\item[$\bullet~~$] ou ne pas avoir d'expérience dans le domaine concerné, mais avoir suivi un stage de formation spécifique.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\medskip
 
On définit les trois variables booléennes $a, b$ et $c$ suivantes :

\setlength\parindent{6mm} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $a = 1$ si la personne possède des connaissances informatiques, $a = 0$ sinon ; 
\item[$\bullet~~$] $b = 1$ si la personne possède de l'expérience dans le domaine concerné, $b = 0$ sinon ; 
\item[$\bullet~~$]  $c = 1$ si la personne a suivi un stage de formation spécifique, $c = 0$ sinon. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Décrire la situation correspondant au produit abc. 
\item Définir l'expression booléenne E correspondant aux critères de sélection du DRH.
\item À l'aide d'un diagramme de Karnaugh ou d'un calcul booléen, trouver une écriture simplifiée de l'expression booléenne E sous la forme d'une somme de deux termes.
\item Écrire une phrase donnant les conditions de recrutement correspondant à la simplification précédente de l'expression booléenne E.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Le plan de circulation du centre ville peut être représenté par le graphe orienté suivant où les sommets A, B, C, D et E sont les carrefours et où les arcs indiquent les rues et leur sens de circulation.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}

\begin{pspicture}(8,4)
%\psgrid
\rput(0,0){D}\rput(8,0){C}
\rput(8,4){B}\rput(0,4){A}\rput(4,2){E}
\psline[arrowsize= 4pt 2]{->}(7.7,4)(0.3,4) \psline[arrowsize= 4pt 2]{->}(8,3.7)(8,0.3) \psline[arrowsize= 4pt 2]{->}(4.3,2.1)(7.7,3.9) 
\psline[arrowsize= 4pt 2]{->}(7.7,0.1)(4.3,1.9) \psline[arrowsize= 4pt 2]{->}(0.3,0.1)(3.7,1.9) \psline[arrowsize= 4pt 2]{->}(0,3.7)(0,0.3) 
\end{pspicture} 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Donner la matrice d'adjacence M de ce graphe orienté en considérant les sommets A, B, C, D et E dans cet ordre. 
\item On donne le carré de la matrice $M \::\quad  
M^2= \begin{pmatrix}0& 0 &0 &0&1\\ 
0&0&0&1&1\\ 
0&1& 0 &0 &0\\ 
0&1&0&0&0\\
1 &0 &1 &0 &0
\end{pmatrix}.$
 
Interpréter les chiffres \og 1 \fg{} de la deuxième ligne et donner les chemins correspondants. 
\item Calculer la somme booléenne $M \oplus M^{[2]}$ et donner la signification des termes de cette somme. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 7 points}

\medskip

Le but de cet exercice est d'étudier la dépréciation d'un modèle d'ordinateur en fonction du temps écoulé, exprimé en trimestre, depuis sa mise sur le marché. 

L'entreprise conceptrice de ce modèle souhaite déterminer l'évolution trimestrielle du prix de vente de cet ordinateur, exprimé en euro. On appelle $n$ le nombre de trimestres écoulés depuis la mise sur le marché de ce produit. Ainsi, à la mise sur le marché, on a $n = 0$.
 
Deux modélisations ont été retenues par cette entreprise.

\begin{center} 
\textbf{Partie A : 1\up{re} modélisation}
\end{center}
 
Le prix de vente initial à la mise sur le marché de ce modèle d'ordinateur est de 795~\euro. Chaque trimestre, le prix de vente de ce modèle diminue de 10\,\% en raison des progrès technologiques.
 
On note $\left(u_{n}\right)$ la suite telle que, pour tout entier naturel $n, u_{n}$ désigne le prix de vente, exprimé en euro, de ce modèle d'ordinateur, $n$ trimestres après sa mise sur le marché.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner $u_{0}$ puis calculer $u_{1}$ et $u_{2}$. 
\item Déterminer la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ et préciser sa raison. 
\item En déduire que, pour tout entier $n$, on a : $u_{n} = 795 \times 0,9^n$. 
\item À partir de combien de trimestres le prix de vente d'un tel ordinateur devient-il strictement inférieur à 300~\euro{} ?
\end{enumerate}

\medskip
 
\begin{center} 
\textbf{Partie B : 2\up{e} modélisation}
\end{center}
 
Le prix de vente, exprimé en euro, de ce modèle d'ordinateur au bout de $n$ trimestres écoulés depuis sa mise sur le marché, noté $v_{n}$ est donné par : 

\[v_{n} = 525 \text{e}^{- 0,25n} + 270.\]
 
\begin{enumerate}
\item Vérifier que le prix de vente de ce modèle d'ordinateur à sa mise sur le marché est de 795~\euro. 
\item Déterminer le nombre minimal de trimestres écoulés depuis sa mise sur le marché à partir duquel le prix de vente de ce modèle d'ordinateur deviendra inférieur ou égal à 300~\euro.
\end{enumerate}
 
\begin{center} 
\textbf{Partie C : comparaison des deux modèles}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les prix de vente, dans chacune des modélisations, 5 trimestres après la mise sur le marché du modèle d'ordinateur. 
\item À long terme, laquelle des deux modélisations donne le prix de vente le plus bas ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 7 points}

\medskip 

Un jeu classique consiste à coder des messages. Pour cela, on utilise la correspondance entre les lettres de l'alphabet et un nombre entier $x$ compris entre 0 et 25. 

Le tableau ci-dessous donne cette correspondance: 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M\\ \hline
0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
N&O&P &Q &R &S &T &U &V &W &X &Y &Z\\ \hline 
13 &14 &15 &16 &17 &18 &19 &20 &21 &22 &23 &24 &25\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

Le codage consiste à choisir une clé formée de deux nombres entiers $a$ et $b$ compris entre $0$ et $25$ et à remplacer une lettre par une autre selon le principe suivant :

\setlength\parindent{6mm} 
\begin{itemize}
\item on lit sur le tableau le nombre $x$ correspondant à la lettre; on calcule le reste $r$ de la division de $ax + b$ par $26$ ;
\item on lit sur le tableau la lettre correspondant au nombre $r$ qui est donc la lettre codée. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Exemple : avec la clé $(a~;~b) = (7~;~12)$, pour coder la lettre T , on calcule $7\times 19 + 12 = 145$, puis le reste de la division euclidienne de $145$ par $26$, soit $15$. La lettre codée est ainsi la lettre P.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Coder les lettres A, K et W avec la clé $(a~;~b) = ( 5~;~17)$. 
\item Que se passe-t-il si on prend $a = 0$ et $b = 17$ ? 
\item On considère un entier x compris entre $0$ et $25$. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner, sans justification, les restes obtenus dans la division euclidienne de $13 x + 6$ par $26$ 
pour $x$ compris entre $0$ et $25$. 
		\item Coder le mot PREMIER avec la clé $(13~;~6)$. 
Commenter le résultat obtenu.
	\end{enumerate} 
\item Un codage est dit acceptable lorsque deux lettres distinctes quelconques sont toujours codées différemment. 
On admet que les clés $(a~;~b)$ donnant un codage acceptable sont celles pour lesquelles a est un entier premier avec $26$, quel que soit l'entier b compris entre 0 et 25. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la liste des nombres entiers compris entre 0 et 25 et premiers avec 26. 
		\item Déterminer le nombre de clés donnant un codage acceptable.
	\end{enumerate} 
\item Le mot ABSURDE a été codé à l'aide d'une clé $(a~;~b)$ selon le principe décrit ci-dessus et l'on a obtenu VOZLGAT. Déterminer cette clé. 
\end{enumerate}
\end{document}