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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Services informatiques aux organisations\\ épreuve obligatoire}}
\rfoot{\small{14 mai 2018}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~BTS Métropole 14 mai 2018~\decofourright\\[5pt]Services informatiques aux organisations}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Épreuve obligatoire}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Sur une plateforme de vidéos en ligne, les vidéos sont notées de 0 à 5 par les utilisateurs.

Après une période d'observation, les administrateurs de la plateforme décident de mettre une vidéo
sur la page d'accueil lorsqu'elle satisfait à l'un au moins des critères suivants:
\begin{itemize}
\item la vidéo a obtenu la note 5 et comptabilise un nombre de vues supérieur ou égal à 200 ;
\item la vidéo a obtenu la note 5 et elle est récente;
\item la vidéo comptabilise un nombre de vues strictement inférieur à 200 et elle est récente;
\item la vidéo n'a pas obtenu la note 5 et comptabilise un nombre de vues supérieur ou égal à 200.
\end{itemize}

\smallskip

On définit les trois variables booléennes $a$, $b$, $c$ de la façon suivante:

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item $a = 1$ si la vidéo a obtenu la note 5, $a = 0$ sinon;
\item $b = 1$ si la vidéo comptabilise un nombre de vues supérieur ou égal à $200$, $b = 0$ sinon;
\item $c = 1$ si la vidéo est récente, $c = 0$ sinon.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'administrateur de la plateforme a traduit les conditions pour qu'une vidéo soit mise sur la page
d'accueil par l'expression booléenne $E = ab + a c + \barre{b} c + \barre{a} b$.

Justifier chacun des termes de cette somme.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Représenter l'expression $E$ dans un diagramme de Karnaugh.
		\item En déduire une expression simplifiée de $E$ sous la forme d'une somme de deux termes.
		\item Interpréter cette expression simplifiée de $E$ dans le contexte de l'exercice.
 	\end{enumerate}
\item  Une vidéo qui n'est pas récente, qui n'a pas obtenu la note 5 et qui comptabilise un nombre de
vues strictement inférieur à 200 sera-t-elle mise sur la page d'accueil ?
\item  Donner une expression de $\overline{E}$ à l'aide des variables booléennes précédemment définies.
	
En déduire une définition des vidéos qui ne seront pas mises sur la page d'accueil.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2  \hfill 10 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip


Quatre sites internet traitent les changements climatiques et leurs conséquences sur la planète. On
considère une page web sur chacun de ces sites, et on note ces quatre pages A, B, C et D. Les liens
hypertextes respectifs entre ces quatre pages sont tous récapitulés dans l'énumération suivante:

\medskip

\begin{itemize}
\item A reçoit un unique lien de B et un unique lien de C ;
\item B reçoit un unique lien de D ;
\item C reçoit un unique lien de B, un unique lien de D et un unique lien de A ;
\item D reçoit un unique lien de A.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter l'ensemble de ces liens par un graphe orienté $G$ de sommets A, B, C, D, dans lequel,
si une page $Y$ reçoit un lien d'une page $X$, on représente un arc du sommet $X$ vers le sommet $Y$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner la matrice d'adjacence $M$ du graphe $G$.
		\item Interpréter les valeurs des termes situés sur la diagonale de la matrice $M$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la matrice $M^4$.
		\item Le graphe contient-il des circuits ? Justifier la réponse.
		\item Interpréter le terme de la 1\up{re} ligne et  3\up{e} colonne  de la matrice $M^4$ en termes de chemins, puis donner la liste de ces chemins.
 	\end{enumerate}
\item Calculer $\hat{M}$, la matrice de la fermeture transitive du graphe $G$.
	
Interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
Un étudiant du BTS SIO a mis en place un moteur de recherche avec lequel les pages affichées sont
ordonnées par pertinence, selon le nombre de liens hypertextes pointant vers chaque page.
 
Cette partie étudie un exemple simplifié, en limitant ce moteur de recherche aux quatre pages web
A, B, C et D définies dans la partie A, et en considérant le graphe associé $G$.
 
La méthode mise en place par l'étudiant consiste à associer un score à chaque sommet du graphe.
 
Les scores $a$, $b$, $c$, $d$ de chacun des sommets A, B, C, D, sont calculés à partir des instructions
suivantes :
 
\begin{itemize}
\item on liste les prédécesseurs du sommet considéré dans le graphe $G$ ;
\item on divise le score de chaque prédécesseur par le nombre de ses successeurs;
\item le score d'un sommet est obtenu en ajoutant les quotients obtenus.
\end{itemize}
 
\emph{Exemple }: le sommet A possède deux prédécesseurs B et C ; B a 2 successeurs et C a 1 successeur.
 
D'où $a = \dfrac{b}{2} + \dfrac{c}{1}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier l'égalité : $c = \dfrac{a}{2} + \dfrac{b}{2} + \dfrac{d}{2}$.

\item  En établissant les quatre égalités vérifiées par les scores $a$, $b$, $c$, $d$, on obtient un système de quatre équations linéaires aux inconnues $a$, $b$, $c$, $d$. Ce système ayant une infinité de solutions,
toutes proportionnelles entre elles, on pose $a = 1$ et on admet que la résolution se ramène à celle
du système :

\[(S) \quad \left\{\begin{array}{l c r}
0,5b + c &=& 1\\
\phantom{0,5} b \phantom{+ c } - 0,5d &=&0\\
0,5b - c + 0,5d &=& - 0,5
\end{array}\right.\]

On définit les matrices $X = \begin{pmatrix}b\\c\\d\end{pmatrix}$,\quad  $A = \begin{pmatrix}0,5&1&0\\1&0&-0,5\\0,5&- 1&0,5
\end{pmatrix}$  et $B = \begin{pmatrix}0,5 &0,5& 0,5\\0,75& - 0,25&- 0,25\\1&- 1&1\end{pmatrix}$

	\begin{enumerate}
		\item Exprimer le système $(S)$ sous la forme $A \times X = Y$, où $Y$ est une matrice à préciser.
		\item Calculer le produit $B \times A$.
		\item En déduire que $X = B \times Y$, puis donner la solution du système $(S)$.
 	\end{enumerate}
\item  Donner, en justifiant, le classement des pages web A, B, C et D selon la méthode mise en place.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

Les publications en série, comme les journaux et les périodiques, sont toutes identifiées par un
numéro ISSN (Intemational Standard Serial Number). En France, ce numéro est attribué par Je
Centre national d'enregistrement des publications en série.

L'ISSN comporte huit caractères répartis en deux groupes de quatre, ces groupes étant séparés par
un tiret. Le tableau ci-après donne les numéros ISSN de quelques journaux ou périodiques français.

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.55\linewidth}{|l|X|}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Journal ou périodique}}& \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Numéro ISSN}}\\ \hline
Le Monde 				&1950--6244\\ \hline
Le Figaro 				&1241--1248\\ \hline
Le Nouvel Observateur	&0029--4713\\ \hline
Les Échos 				&0153--4831\\ \hline
Libération 				&0335--1793\\ \hline
Le Canard Enchaîné 		&0008--5405\\ \hline
Courrier International 	&1154--516X\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

Les sept premiers caractères d'un numéro ISSN sont des chiffres qui caractérisent la publication. Le
dernier caractère, situé en huitième position, sert de clé de contrôle et est pris dans l'ensemble
$E = \{0~;~1~;~2~;~3~;~4~;~5~;~6~;~7~;~8~;~9~;~\text{X}\}$ où les chiffres de 0 à 9 représentent le nombre correspondant et le caractère X représente le nombre 10.

\smallskip

Pour déterminer la clé de contrôle d'un numéro ISSN dont les sept premiers chiffres correspondent
aux nombres $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$, $g$ :

\begin{itemize}
\item on calcule le nombre $N = 8a + 7b + 6c + 5d + 4e +3f + 2g$ ;
\item on détermine le reste $r$ de $-N$ dans la division euclidienne par $11$ ;
\item la clé de contrôle est le caractère de l'ensemble $E$ correspondant au nombre $r$.
\end{itemize}

\medskip

Par exemple, pour \emph{Le Monde}, on a 

$N = 8 \times 1 + 7 \times 9 + 6 \times 5 + 5 \times 0 + 4 \times 6 + 3 \times 2 + 2 \times 4 = 139$.

D'où $- N \equiv -139 \equiv 4 \:\text{mod}\: 11$.  La clé de contrôle est donc bien égale à $4$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En détaillant les étapes, retrouver la clé de contrôle du périodique \emph{Courrier International}.
\item On considère l'application $f :\: F \to  E$ où $F$ est l'ensemble des $7$ numéros ISSN du tableau ci-dessus.

L'application $f$ associe à tout élément de numéro ISSN sa clé de contrôle.
	\begin{enumerate}
		\item L'application $f$ est-elle injective ? Justifier.
		\item L'application $f$ est-elle surjective ? Justifier.
 	\end{enumerate}
\item  Le deuxième caractère du numéro ISSN d'un journal est illisible. Si l'on note $n$ ce caractère, le
numéro ISSN est $3n08-2138$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $81 + 7n \equiv 3\: \text{ mod }\: 11$.
		\item En déduire la valeur de $n$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}