\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo} %Tapuscrit : Denis Vergès %Relecture : François Hache \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-node,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS}, pdftitle = {Métropole 17 mai 2023}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole} \lfoot{\small{Services informatiques aux organisations\\Épreuve obligatoire}} \rfoot{\small{17 mai 2023}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~BTS Métropole 17 mai 2023~\decofourright\\[7pt]Services informatiques aux organisations}} \medskip \textbf{Épreuve obligatoire} \vspace{0,25cm} \textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé} \textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé} \end{center} \smallskip \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \medskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.\\ Aucune justification n'est demandée.\\ Pour chaque question, une seule affirmation est exacte.\\ Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondante à la réponse exacte.\\ Une réponse exacte vaut 1 point.\\ Une réponse fausse ou une absence de réponse ne sera pas pénalisée.} \bigskip \textbf{Question 1.} On considère le nombre \np{2023} écrit en base dix. Son écriture en base seize est \begin{center} \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline A\::\quad E67& B\: \quad 7E7& C\::\quad 6E7\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 2.} On considère les nombres, écrits en base deux, $1010_2$ et $1011_2$. La somme écrite en base deux de ces nombres est égale à \begin{center} \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline A\::\quad $1111_2$& B\: \quad $10011_2$& C\::\quad $10101_2$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 3.} On considère la relation binaire $\mathcal{R}$ définie sur $\R$ par : \[x \mathcal{R} y \iff \left (\strut xy \leqslant 0 \wedge x \ne y\right ) .\] On a \begin{center} \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline A\::\quad $(-3) \mathcal{R} 3$& B\: \quad $(-3) \mathcal{R} (-4)$& C\::\quad $(-3) \mathcal{R} (-3)$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 4.} La relation binaire $\mathcal{R}$ définie à la question 3 est \begin{center} \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline A\::\quad réflexive& B\: \quad symétrique& C\::\quad transitive\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Question 5.} Une application $f$ d'un ensemble $E$ dans un ensemble $F$ est définie par le diagramme ci-dessous. \psset{xunit=1.2cm,yunit=0.8cm,arrowsize=2pt 3} \begin{center} \begin{pspicture}(12,8) \psellipse(3,4)(1.5,4) \psellipse(7,4)(1.25,3.5) \uput[u](3,8){$E$} \uput[u](7,8){$F$} \psdots(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(3,7) \psdots(7,2.5)(7,3.5)(7,4.5)(7,5.5)(7,6.5) \uput[l](3,1){7} \uput[l](3,2){6} \uput[l](3,3){5} \uput[l](3,4){4} \uput[l](3,5){3} \uput[l](3,6){2} \uput[l](3,7){1} \uput[r](7,2.5){$e$} \uput[r](7,3.5){$d$} \uput[r](7,4.5){$c$} \uput[r](7,5.5){$b$} \uput[r](7,6.5){$a$} \psline[ArrowInside=->](3,1)(7,2.5)\psline[ArrowInside=->](3,2)(7,2.5) \psline[ArrowInside=->](3,3)(7,3.5)\psline[ArrowInside=->](3,4)(7,4.5) \psline[ArrowInside=->](3,5)(7,5.5)\psline[ArrowInside=->](3,6)(7,5.5) \psline[ArrowInside=->](3,7)(7,6.5) \end{pspicture} \end{center} L'application ainsi définie est \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline A\::\quad injective et non surjective& B\: \quad surjective et non injective& C\::\quad bijective\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère le graphe orienté G comportant 3 sommets notés A, B et C dont la matrice d'adjacence est $P$, où $P = \begin{pmatrix}1&0&1\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}$. \medskip \begin{enumerate} \item Dessiner une représentation du graphe $G$. \item \begin{enumerate} \item Calculer la matrice $P^2$. \item Combien de chemins de longueur 2 ont pour origine B ? \end{enumerate} \item Déterminer la matrice de fermeture transitive $\hat{P}$ et le graphe de la fermeture transitive de $G$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Dans un graphe orienté, on définit: \begin{itemize} \item le \textbf{degré entrant} d'un sommet comme étant le nombre d'arcs menant à ce sommet. \item le \textbf{degré sortant} d'un sommet comme étant le nombre d'arcs issus de ce sommet. \end{itemize} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer le degré entrant du sommet C du graphe $G$ défini dans la partie A. \item Calculer le degré sortant du sommet C du graphe $G$ défini dans la partie A. \end{enumerate} \item On étudie dans cette question les graphes orientés à trois sommets numérotés de 1 à 3. On considère l'algorithme ci-dessous écrit en langage naturel où Degré\_sortant désigne une fonction de paramètres $M$ et $s$, $M$ étant une matrice à 3 lignes et 3 colonnes et $s$ un entier compris entre 1 et 3. Le coefficient de la matrice $M$ situé ligne $i$ colonne $j$ est noté $m_{ij}$. \begin{center} \begin{tabular}{|l|}\hline \textbf{Fonction} Degré\_sortant $(M, s)$\\ \qquad deg $\gets 0$\\ \qquad Pour $j$ allant de 1 à 3 \:\textbf{Faire}\\ \qquad \qquad \textbf{Si} $m_{sj}$ \ldots \ldots \textbf{Faire}\\ \qquad \qquad \ldots \ldots\\ \qquad \qquad \textbf{Fin de Si}\\ \qquad \textbf{Fin de Pour}\\ \textbf{Retourner} deg\\ \hline \end{tabular} \end{center} Compléter cet algorithme pour que la fonction renvoie le degré sortant du sommet numéroté $s$ dans un graphe dont la matrice d'adjacence est $M$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3 \hfill 10 points} \medskip Une entreprise décide de mettre en place une authentification à plusieurs étapes permettant à ses employés d'accéder aux services en ligne qu'elle propose. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip La première authentification consiste à utiliser un mot de passe. À la première connexion, l'utilisateur doit créer un mot de passe de 8 à 16 caractères. Ces caractères peuvent être des lettres majuscules de l'alphabet ou des chiffres ou des caractères spéciaux (?,\&, \! etc.). Pour être valide, un mot de passe doit remplir au moins l'une des trois conditions suivantes : \begin{itemize} \item il contient au moins trois chiffres et au moins deux caractères spéciaux ; \item il contient moins de trois chiffres, au moins deux caractères spéciaux et au moins dix lettres; \item il contient moins de deux caractères spéciaux et au moins dix lettres. \end{itemize} \medskip \begin{enumerate} \item Les mots de passe suivants sont-ils valides ? Justifier. \begin{center}ABCDABCD\text{?}\# \qquad STU27ABCABCDE\& \end{center} \end{enumerate} On définit les variables booléennes $a$,\: $b$ et $c$ de la manière suivante : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $a$ lorsque le mot de passe contient au moins trois chiffres, $\barre{a}$ sinon ; \item[$\bullet~~$] $b$ lorsque le mot de passe contient au moins deux caractères spéciaux, $\barre{b}$ sinon ; \item[$\bullet~~$] $c$ lorsque le mot de passe contient au moins dix lettres, $\barre{c}$ sinon. \end{itemize} \begin{enumerate}[resume] \item \begin{enumerate} \item On appelle $E$ l'expression booléenne qui traduit la validité d'un mot de passe. Traduire chacune des conditions de validité d'un mot de passe à l'aide des variables $a, b$ et $c$, puis en déduire une expression de $E$. \item Représenter $E$ dans un tableau de Karnaugh, puis en déduire une expression simplifiée de $E$ sous la forme d'une somme de deux termes. \item Traduire par une phrase l'expression simplifiée de $E$. \end{enumerate} \item Déterminer l'expression booléenne $\barre{E}$ négation de $E$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Pour la seconde authentification, le serveur de l'entreprise envoie à l'utilisateur un mot de passe codé qu'il devra décoder. Le serveur de l'entreprise code un mot de passe de la façon suivante: \begin{itemize} \item à chaque lettre de l'alphabet, on associe son rang $x$ selon le tableau ci-dessous \smallskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{13}{>{\centering \arraybackslash} X|}} \hline Lettre & A & B & C & D & E & F & G & H & I & J & K & L & M\\ \hline Rang & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ \hline Lettre & N & O & P & Q & R & S & T & U & V & W & X & Y & Z\\ \hline Code & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\ \hline \end{tabularx} \smallskip \item on fixe une clé $(a\,; b)$, où $a$ et $b$ sont deux entiers naturels compris entre 0 et 25; \item on calcule le reste $y$ de la division de $ax+b$ par 26; on détermine ainsi le plus petit entier naturel $y$ vérifiant $y \equiv ax+b\;[26]$; \item on cherche ensuite la lettre de l'alphabet dont le rang est $y$; \item cette lettre code la lettre donnée au départ. \end{itemize} \begin{enumerate} \item Le serveur de l'entreprise utilise la clé $(9\,; 15)$. \begin{enumerate} \item Montrer que la lettre C est codée par la lettre H. \item Par quelle lettre est codée la lettre E? \end{enumerate} \item L'utilisateur veut décoder la lettre V associée à l'entier $y=21$. Pour cela il doit déterminer le plus petit entier naturel $x$ vérifiant $21 \equiv 9x+15\;[26]$. \begin{enumerate} \item Déterminer un entier $c$ vérifiant $9\times c \equiv 1 \; [26]$. \item Montrer que si $21 \equiv 9x+15\;[26]$ alors $x\equiv 18\;[26]$. \item Décoder la lettre V. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}